2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 15直線與拋物線的位置關(guān)系課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 15直線與拋物線的位置關(guān)系課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修2-1 1．已知直線y＝kx－k及拋物線y2＝2px(p＞0)，則(　　) A．直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn) B．直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn) C．直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn) D．直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn) 解析：∵直線y＝kx－k＝k(x－1)， ∴直線過點(diǎn)(1,0)． 又點(diǎn)(1,0)在拋物線y2＝2px的內(nèi)部． ∴當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)k≠0，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)． 答案：C 2．過點(diǎn)(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為(　　) A．2　B．2 C．2 D．2 解析：設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 由直線AB斜率為－2，且過點(diǎn)(1,0)得直線AB的方程為y＝－2(x－1)， 代入拋物線方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0， 則x1＋x2＝4，x1x2＝1， |AB|＝＝＝2. 答案：B 3．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A． B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 解析：準(zhǔn)線x＝－2，Q(－2,0)， 設(shè)l：y＝k(x＋2)，由 得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0. 當(dāng)k＝0時(shí)，x＝0，即交點(diǎn)為(0,0)， 當(dāng)k≠0時(shí)，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1. 綜上，k的取值范圍是[－1,1]． 答案：C 4．與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程為(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 解析：設(shè)切線方程為2x－y＋m＝0，與y＝x2聯(lián)立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1， 即切線方程為2x－y－1＝0. 答案：D 5．過點(diǎn)(0，－2)的直線與拋物線y2＝8x交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則|AB|等于(　　) A．2 B. C．2 D. 解析：設(shè)直線方程為y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)． 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0. ∵直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)， ∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1. 又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)． ∴|AB|＝|x1－x2|＝＝.＝2. 答案：C 6．已知直線y＝k(x＋2)(k＞0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，則k＝(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞0， 由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， ∴x1x2＝4.① ∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2， 且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.② 由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝. 答案：D 7．已知拋物線y2＝4x，過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則y＋y的最小值是________． 解析：設(shè)AB的方程為x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，當(dāng)m＝0時(shí)，y＋y最小為32. 答案：32 8．拋物線y2＝4x上的點(diǎn)到直線x－y＋4＝0的最小距離為________． 解析：可判斷直線y＝x＋4與拋物線y2＝4x相離， 設(shè)y＝x＋m與拋物線y2＝4x相切， 則由消去x得y2－4y＋4m＝0. ∴Δ＝16－16m＝0，m＝1. 又y＝x＋4與y＝x＋1的距離d＝＝， 則所求的最小距離為. 答案： 9．給定拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，過F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)．若|FA|＝2|BF|，求直線l的方程． 解析：顯然直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l：y＝k(x－1)， 聯(lián)立，消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 則x1x2＝1，故x1＝，① 又|FA|＝2|BF|，∴＝2，則x1－1＝2(1－x2)② 由①②得x2＝(x2＝1舍去)， 所以B，得直線l的斜率為k＝kBF＝2， ∴直線l的方程為y＝2(x－1)． 10．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則p＝________. 解析：∵F，∴設(shè)AB：y＝x－，與y2＝2px聯(lián)立，得x2－3px＋＝0.∴xA＋xB＝3p.由焦半徑公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2. 答案：2 11．已知拋物線y2＝2x，直線l的方程為x－y＋3＝0，點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最短距離為________，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是y2＝2x上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x－y＋3＝0的距離為d＝＝＝，當(dāng)y0＝1時(shí)，dmin＝＝，此時(shí)x0＝，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 答案：　 12．已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9. (1)求該拋物線的方程； (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若＝＋λ，求λ的值． 解析： (1)直線AB的方程是y＝2， 與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝. 由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9， 所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x. (2)由于p＝4，則4x2－5px＋p2＝0即x2－5x＋4＝0， 從而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4， 從而A(1，－2)，B(4,4)． 設(shè)C(x3，y3)，則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1,4λ－2)， 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 13．拋物線y2＝x上，存在P、Q兩點(diǎn)，并且P、Q關(guān)于直線y－1＝k(x－1)對稱，求k的取值范圍． 解析：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ∴?(y1－y2)(y1＋y2)＝(x1－x2)， ∴ ∴y1＋y2＝－k. ∴－1＝k＝[(y1＋y2)2－2y1y2－2] ∴－k－2＝k[k2－2y1(－k－y1)－2]， ∴2ky＋2k2y1＋k3－k＋2＝0， ∴Δ＝4k4－8k(k3－k＋2)＞0，∴k(－k3＋2k－4)＞0， ∴k(k3－2k＋4)＜0，∴k(k＋2)(k2－2k＋2)＜0， ∴k∈(－2,0)． 14．已知AB是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求證： (1)若AB的傾斜角為θ，則|AB|＝； (2)＋為定值. 解析： (1)當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y＝k，(k≠0)， 由消去y得：k2x2－p(k2＋2)x＋＝0， ∴x1＋x2＝p.又k＝tanθ＝， 代入|AB|＝x1＋x2＋p，得：|AB|＝p＋p＝. 當(dāng)AB斜率不存在時(shí)也成立． (2)由拋物線的定義，知： |FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋， ∴＋＝＋ 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，x1＝x2＝， ＋＝＋＝＋＝. 當(dāng)AB的斜率存在時(shí) ＋＝＝＝＝. ∴總有＋＝.