2019-2020年高中數學 2.3《數學歸納法》教案 新人教A版選修2-2.doc
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2019-2020年高中數學 2.3數學歸納法教案 新人教A版選修2-2第一課時 2.3 數學歸納法(一)教學要求:了解數學歸納法的原理,并能以遞推思想作指導,理解數學歸納法的操作步驟,能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題,并能嚴格按照數學歸納法證明問題的格式書寫.教學重點:能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.教學難點:數學歸納法中遞推思想的理解.教學過程:一、復習準備:1. 問題1: 在數列中,先算出a2,a3,a4的值,再推測通項an的公式. (過程:,由此得到:)2. 問題2:,當nN時,是否都為質數?過程:=41,=43,=47,=53,=61,=71,=83,=97,=113,=131,=151, =1 601但是=1 681=412是合數3. 問題3:多米諾骨牌游戲. 成功的兩個條件:(1)第一張牌被推倒;(2)骨牌的排列,保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒.二、講授新課:1. 教學數學歸納法概念: 給出定義:歸納法:由一些特殊事例推出一般結論的推理方法. 特點:由特殊一般.不完全歸納法:根據事物的部分(而不是全部)特例得出一般結論的推理方法叫不完全歸納法.完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法. 討論:問題1中,如果n=k猜想成立,那么n=k+1是否成立?對所有的正整數n是否成立? 提出數學歸納法兩大步:(i)歸納奠基:證明當n取第一個值n0時命題成立;(ii)歸納遞推:假設n=k(kn0, kN*)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立. 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立. 原因:在基礎和遞推關系都成立時,可以遞推出對所有不小于n0的正整數n0+1,n0+2,命題都成立. 關鍵:從假設n=k成立,證得n=k+1成立. 2. 教學例題: 出示例1:.分析:第1步如何寫?n=k的假設如何寫? 待證的目標式是什么?如何從假設出發(fā)?小結:證n=k+1時,需從假設出發(fā),對比目標,分析等式兩邊同增的項,朝目標進行變形. 練習:求證:. 出示例2:設a+ (nN*),求證:a(n1).關鍵:a(k1)+(k+1)+n(n1) 3. 小結:書寫時必須明確寫出兩個步驟與一個結論,注意“遞推基礎不可少,歸納假設要用到,結論寫明莫忘掉”;從n=k到n=k+1時,變形方法有乘法公式、因式分解、添拆項、配方等.三、鞏固練習: 1. 練習:教材108 練習1、2題 2. 作業(yè):教材108 B組1、2、3題.第二課時 2.3 數學歸納法(二)教學要求:了解數學歸納法的原理,并能以遞推思想作指導,理解數學歸納法的操作步驟,能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題,并能嚴格按照數學歸納法證明問題的格式書寫.教學重點:能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.教學難點:經歷試值、猜想、歸納、證明的過程來解決問題.教學過程:一、復習準備:1. 練習:已知,猜想的表達式,并給出證明? 過程:試值, 猜想 用數學歸納法證明.2. 提問:數學歸納法的基本步驟?二、講授新課:1. 教學例題: 出示例1:已知數列,猜想的表達式,并證明. 分析:如何進行猜想?(試值猜想) 學生練習用數學歸納法證明 討論:如何直接求此題的? (裂項相消法) 小結:探索性問題的解決過程(試值猜想、歸納證明) 練習:是否存在常數a、b、c使得等式對一切自然數n都成立,試證明你的結論. 解題要點:試值n=1,2,3, 猜想a、b、c 數學歸納法證明2. 練習: 已知 ,考察;之后,歸納出對也成立的類似不等式,并證明你的結論. (89年全國理科高考題)是否存在常數a、b、c,使得等式 (答案:a=3,b=11,c=10)1對一切自然數n都成立?并證明你的結論3. 小結:探索性問題的解決模式為“一試驗二歸納三猜想四證明”.三、鞏固練習:1. 平面內有n個圓,任意兩個圓都相交于兩點,任何三個圓都不相交于同一點,求證這n個圓將平面分成f(n)=n2n+2個部分.2. 是否存在正整數m,使得f(n)=(2n+7)3n+9對任意正整數n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并證明你的結論;若不存在,請說明理由. (答案:m=36)3. 試證明面值為3分和5分的郵票可支付任何的郵資. 證明:(1)當時,由可知命題成立;(2)假設時,命題成立. 則當時,由(1)及歸納假設,顯然時成立.根據(1)和(2),可知命題成立.小結:新的遞推形式,即(1)驗證 成立;(2)假設成立,并在此基礎上,推出成立. 根據(1)和(2),對一切自然數,命題都成立.2. 作業(yè):- 配套講稿:
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