數(shù)學分析選講教案-1

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1、《數(shù)學分析選講》教案1 授課時間 2005 年9月12日第3周星期一 第 四 大節(jié) 授課地點 6402 實到人數(shù) 117 授課題目 函數(shù)的概念與性質、實數(shù)理論 授課專業(yè) 班級 信息與計算科學 教學目的 與 教學要求 1. 掌握函數(shù)的概念、性質和運算的方法。 2. 理解實數(shù)理論的完備性，并會熟練運用，證明有關問題,. 主 要 內 容 1、各種符號，函數(shù)的概念，幾類重要函數(shù)，函數(shù)的性質， 定理1.1 Contor閉區(qū)間套定理，定理1.2 （Bolzano --Weierstrass定理）任何的有界數(shù)列必有收斂子列（列緊性），定理1. 3 (完備性

2、定理) 數(shù)列收斂的充要條件是它為基本數(shù)列。定理1.4 （單調收斂定理） 單調有界數(shù)列必收斂。定理1.5 （確界存在定理）上有界的數(shù)集必有上確界；下有界的數(shù)集必有下確界。定理 1.6 （Heine－Borel有限覆蓋定理） 重點與難點 重點：函數(shù)的性質和實數(shù)理論。 難點：實數(shù)理論 教學方法 手段（教具） 討論法，傳統(tǒng)教學方法與使用多媒體相結合 參考資料 數(shù)學分析，高等數(shù)學，2005年數(shù)學研究生考題 2006年高等數(shù)學考試測試題 課后作業(yè)與 思考題 作業(yè)1.2.3.4.5.6 思考題：六個實數(shù)完備性定理的相互證明。 教學后記 講稿部分

3、 教學過程 時間分配 第一講：函數(shù)的概念與性質，實數(shù)理論 一、函數(shù)的概念與性質 （一）常用符號 N, Z, R, (二) 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義 2. 幾個重要函數(shù) l 分段函數(shù) l 符號函數(shù) l Dirichlet 函數(shù) l Rinmann 函數(shù) 3. 初等函數(shù) 4. 周期函數(shù) 5.奇偶函數(shù)　　6. 復合函數(shù) 7. 反函數(shù) (三) 函數(shù)的性質 l 有界性 l 周期性 l 奇偶性 l 單調性 20m 第 1 頁 共 頁 講稿部分 教學過程 時間分配

4、, 求 = ， 求 設 = 由數(shù)學歸納法 證明 為R上的有界函數(shù)。 二、實數(shù)完備性定理 在研究數(shù)列極限以前，我們要討論一下極限存在的環(huán)境問題。它是數(shù)學分析的另一個基礎：實數(shù)系和它的完備性。所謂完備性，實質上就是對極限運算的“封閉性”。正因為實數(shù)系有完備性（或連續(xù)統(tǒng)），所以在實數(shù)系中討論極限問題時才沒有后顧之憂。 定理1.1 Contor閉區(qū)間套定理， 定理1.2 （Bolzano --Weierstrass定理）任何的有界數(shù)列必有收斂子列（列緊性）。 定理1. 3 (完備性

5、定理) 數(shù)列收斂的充要條件是它為基本數(shù)列。 20m 第 2 頁 共 頁 講稿部分 教學過程 時間分配 定理1.4 （單調收斂定理） 單調有界數(shù)列必收斂。 定理1.5 （確界存在定理）上有界的數(shù)集必有上確界；下有界的數(shù)集必有下確界。 定理 1.6 （Heine－Borel有限覆蓋定理） 三、概念辨析與問題證明 1、 區(qū)間套與有限覆蓋定理的應用 區(qū)間套定理通常用于將函數(shù)在某一閉區(qū)間上成立的性質歸結為在某點鄰域的性質，體現(xiàn)了整體收縮為局部的特點。他所證明的結論涉及到某一點的問題，例如，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點存在性問題，有界數(shù)列存在收斂子列問題等。 而有限覆蓋定理得

6、作用與區(qū)間套定理相反，它是把函數(shù)在每點某鄰域的性質拓展為函數(shù)在閉區(qū)間上所共有的性質。例如函數(shù)在閉區(qū)間上逐點連續(xù)推出函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)。 區(qū)間套與有限覆蓋定理是同一事物的兩個方面，可以相互轉化，從反證法的觀點來看，局部點的反面變成了整體，，反之亦然。 若函數(shù) 在上有定義恒取正值， = 則在[a, b] 上必有正的下界。 2 聚點與聚點定理 是的聚點， 聚點是對數(shù)集而言，極限是對數(shù)列而言。聚點不一定是極限點，極限點也不一定是聚點。當收斂數(shù)列有無窮項相異時，則極限點比為聚點。 ，不是的聚點，但數(shù)列有極限。

7、有聚點但不是沒有極限點 20m 第 3 頁 共 頁 講稿部分 教學過程 時間分配 聚點的等價定義：是的聚點，以下三個定義等價： I 含有的無窮多個點 II 含有內至少一個點 III 使得 3．確界原理應用舉例 設函數(shù) 在上單調遞增，且 證明 使得 ： 由， E非空有上界，必有上確界 欲證 單增 是的一個上界，所以 （1） 又單增， 得到 即 （2） 由（1）（2）知道 3. 致密性定理應用舉例 設函數(shù)， 且有唯一最值點， 若 且 證明 ：

8、 為有界數(shù)列，有收斂的子列記作 20m 第 4 頁 共 頁 講稿部分 教學過程 時間分配 并記 顯然 再由 這與為的唯一最值點矛盾。 4．多種方法證明 設函數(shù) 在上只有第一類間斷點（可以有無窮多個），證明 在上有界 1．：（致密性定理）反證，若在上無界，存在，可找出，有界，必有收斂的子列 時在上無界。 小結：掌握函數(shù)的各種性質，理解初等函數(shù)的概念及復合運算。 20m 第 5頁 共 頁 講稿部分 教學過程 時間分配 作業(yè)題 1 , 求 2

9、試證 不是周期函數(shù) 3 證明 每一點都有有限值，但每一點的鄰域內函數(shù)無界。 4 證明是滿足不等式 一切正有理數(shù)的下確界。 5 已知在每一點極限存在，證明在上有界 6．設函數(shù) 且有界，，=在至多有有限實根，證明存在 35m 第 6 頁 共 頁 《數(shù)學分析選講》教案2 授課時間 2005 年9月14日第3周星期三 第二 大節(jié) 授課地點 6403 實到人數(shù) 117 授課題目 數(shù)列極限，實數(shù)理論 授課專業(yè) 班級 信息與計算科學 教學目的 與 教學要求 1 掌握數(shù)列的概念、性質和運算的方法。

10、2．掌握數(shù)列收斂的判別方法，并會熟練運用，證明有關問題,. 主 要 內 容 1、數(shù)列極限概念、 性質，唯一性、有界性、包號性、保序性、 迫斂性。（Bolzano --Weierstrass定理）任何的有界數(shù)列必有收斂子列（列緊性），柯西基本列。 2、 收斂數(shù)列判別 單調收斂定理、 單調有界數(shù)列必收斂。海因定理。Stolz 定理，壓縮影響原理 3、 判別法應用及運算技巧 重點與難點 重點：各種判別法。 難點：運算技巧 教學方法 手段（教具） 討論法，傳統(tǒng)教學方法與使用多媒體相結合 參考資料 數(shù)學分析，高等數(shù)學，2005年數(shù)學研究生考題 2006年高等數(shù)學考試測

11、試題 課后作業(yè)與 思考題 作業(yè)1.2.3.4.5.6 思考題：各種判別法相互關系。 教學后記 講稿部分 教學過程 時間分配 第二講 數(shù)列的極限 數(shù)學分析的最根本的概念是極限。數(shù)學分析所有的概念都基于極限。如數(shù)列極限，函數(shù)極限，連續(xù)，導數(shù)，積分等的定義都是某種類型的極限。 （一）基本概念和定理 1． 性質 唯一性，有界性，保號性，保序性迫斂性 2． 四則運算 3． 幾個公式 4常用收斂判別方法 （1）Cauchy Principl

12、e, （2）單調有界定理，（3）兩面夾定理， （4）Stolz定理。 （5）壓縮映像原理，（6）定積分法 5 三個不等式 （1）Bernulli Inequality (2) Schwarz Inequality (3)AG Inequality 20m 第 1頁 共 頁 講稿部分不 教學過程 時間分配 （二）應用舉例 　用Cauchy Principle證明調和級數(shù)發(fā)散。 　用單調有界定理證明 　　　　

13、　　　證明 　　　　　 　　　 　　　　　單調遞減　下確界為零 設為兩正實數(shù)， 證明 收斂，并有相同的極限。 20m 第 2頁 共 頁 講稿部分 教學過程 時間分配 （三） 壓縮映像原理 1．壓縮數(shù)列 2．壓縮函數(shù) 3 有界變差數(shù)列 20m 第 3頁 共 頁 講稿部分 教學過程 時間分配 有界變差數(shù)列，壓縮數(shù)列均收斂 先證有界變差數(shù)列收斂 單調地遞增有上界 故收斂

14、 收斂 再證壓縮數(shù)列收斂 ++ 2．壓縮函數(shù) 壓縮函數(shù)列應用 設 證明 20m 第 4頁 共 頁 講稿部分 教學過程 時間分配 此題證明有理數(shù)逼近無理數(shù)。 為壓縮數(shù)列 (四)Stolz 定理 1． 如果 單調遞增趨于正無窮， 2應用舉例 1 （算術平均收斂公式）設 證明 2 3 （五）運用定積分求極限 1 求 （） 20m 第 5頁 共 頁 講稿部分 教學過程 時間分配 2

15、 3 （六）運用級數(shù)收的必要條件證明極限為零 1 證明 2 （七）運用海因定理求極限 1 令 20m 第 6頁 共 頁 講稿部分 教學過程 時間分配 小結： 本次課主要掌握數(shù)列極限的各種收斂定理，判別方法，以及求極限的各種技巧，要多做練習，達到熟能生巧，融會貫通。 作業(yè)2 1．設 求 2． 證明 3 若 證明 4 求 5求 6 已知 求 20m 第 7頁 共 頁