2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.1矩陣的概念教案 蘇教版選修4-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.1矩陣的概念教案 蘇教版選修4-2 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.掌握矩陣的概念以及基本組成的含義(行、列、元素) 2.掌握零矩陣、行矩陣、列矩陣、矩陣相等的概念. 3.嘗試將矩陣與生活中的問題聯(lián)系起來, 用矩陣表示豐富的問題, 體會矩陣的現(xiàn)實意義. 過程與方法： 從具體的實例開始，通過具體的實例讓學(xué)生認識到，某些幾何變換可以用矩陣來表示，豐富學(xué)生對矩陣幾何意義的理解，并引導(dǎo)學(xué)生用映射的觀點來認識矩陣、解線性方程組 情感、態(tài)度與價值觀： 體會代數(shù)與幾何的有機結(jié)合，突出數(shù)形結(jié)合的重要思想 教學(xué)重點：矩陣的概念以及基本組成的含義 教學(xué)難點：矩陣的概念以及基本組成的含義 教學(xué)過程： 一、問題情境: y x 2 3 O P (2, 3) 設(shè)O(0, 0)，P(2, 3)，則向量 = (2, 3)，將的坐標(biāo)排成一列，并簡記為 2 3 2 3 2．日常生活——矩陣 （1）某電視臺舉辦歌唱比賽，甲、乙兩名選手初、復(fù)賽成績?nèi)缦拢? 初賽 復(fù)賽 甲 80 90 乙 86 88 （2）某牛仔褲商店經(jīng)銷A、B、C、D、E五種不同牌子的牛仔褲，其腰圍大小分別有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四種，在一個星期內(nèi)，該商店的銷售情況可用下列矩陣形式表示： A B C D E 28英寸 1 3 0 1 2 30英寸 5 8 6 1 2 32英寸 2 3 5 6 0 34英寸 0 1 1 0 3 3．圖——矩陣 A B C D A B C D 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 B A C D 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 A B C A 0 3 1 B 3 0 0 C 1 0 2 A C B 二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 矩陣： 記號：A，B，C，…或（aij）(其中i,j分別元素aij所在的行和列) 要素：行——列——元素 矩陣相等行列數(shù)目相等并且對應(yīng)元素相等。 特別：（1）21矩陣，22矩陣（二階矩陣），23矩陣 （2）零矩陣 （3）行矩陣：[a11,a12] 列矩陣：，一般用a，b等表示。 （4）行向量與列向量 三、教學(xué)運用 A B C y x O 例1、用矩陣表示圖中的△ABC , 其中A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0) . 思考: 如果用矩陣M= 表示平面中的圖形, 那么該圖形有什么幾何特征? 例2、某種水果的產(chǎn)地為A1 , A2 , 銷地為B1 , B2 , 請用矩陣表示產(chǎn)地Ai 運到銷地Bj 的水果數(shù)量(aij), 其中i=1 , 2 , j=1 , 2 . 例3、用矩陣表示下列方程組中的未知量的系數(shù). (1) (2) 例4、已知A= , B= , 若A=B , 試求x , y , z . 四、課堂小結(jié) 五、課堂練習(xí)： 1.書P10 1 , 2 , 4 2.設(shè)A= , B= , 若A=B , 試求x , y , m , n的值. 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.用矩陣表示圖中的△ABC, 其中A(2 , 3) , B(-4, 6), C(5 , -3). y x A C B O 2.在學(xué)校組織的數(shù)學(xué)智力競賽中, 甲、乙、丙三位同學(xué)獲得的成績分別為: 甲95分, 乙99分, 丙89分, 如果分別用1 , 2 , 3表示甲、乙、丙三位同學(xué), 試用矩陣表示各位同學(xué)的得分情況. 3.設(shè)A= , B= , 若A=B , 試求x , y , m , n . 4.下圖是各大洋面積統(tǒng)計表. 海洋名 面積/萬千米2 太平洋 17967.9 大西洋 9165.5 印度洋 7617.4 北冰洋 1475.0 如果分別用1 , 2 , 3 , 4表示太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋, 試用矩陣表示各大洋的面積. 5.請設(shè)計一個可用矩陣 來表示的實際問題. 2.1.2二階矩陣與平面列向量的乘法- 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能： 1.掌握二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則, 并了解其現(xiàn)實背景. 2.理解變換的含義, 了解變換與矩陣之間的聯(lián)系. 3.能夠熟練進行由矩陣確定的變換 過程與方法： 從具體的實例開始，通過具體的實例讓學(xué)生認識到，某些幾何變換可以用矩陣來表示，豐富學(xué)生對矩陣幾何意義的理解，并引導(dǎo)學(xué)生用映射的觀點來認識矩陣、解線性方程組 情感、態(tài)度與價值觀：體會代數(shù)與幾何的有機結(jié)合，突出數(shù)形結(jié)合的重要思想 教學(xué)重點：二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則 教學(xué)難點：二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則 教學(xué)過程： 一、問題情境: 在某次歌唱比賽中, 甲的初賽和復(fù)賽的成績用A=[80 90]表示, 乙的初賽和復(fù)賽成績用B=[60 85]表示, C=表示初賽和復(fù)賽成績在比賽總分中所占的比重, 那么如何用矩陣的形式表示甲、乙的最后成績呢? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1.行矩陣和列矩陣的乘法規(guī)則 2.二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則 3.變換 三、教學(xué)運用 例1、計算: (1) (2) (3) 例2、求在矩陣 對應(yīng)的變換作用下得到點(3 , 2)的平面上的點P的坐標(biāo). 例3、(1)已知變換 , 試將它寫成坐標(biāo)變換的形式; (2)已知變換→, 試將它寫成矩陣乘法的形式. 例4、 求△ABC在矩陣 對應(yīng)的變換作用下得到的幾何圖形, 其中A(1 , 2) , B(0 , 3) , C(2 , 4). 例5、求直線y=2x在矩陣 作用下變換得到的圖形. 四、課堂小結(jié) 五、課堂練習(xí)： 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.計算 (1) (2) 2. (1)已知→ , 試將它寫成坐標(biāo)變換形式; (2)已知→, 試將它寫成矩陣的乘法形式. 3. (1)點A(5 , 7)在矩陣 對應(yīng)的變換作用下得到的點為________ ; (2)在矩陣 對應(yīng)的變換作用下得到點(19 , -19)的平面上點P的坐標(biāo)為 . 4.已知矩陣P=, Q=且Px=Q , 求矩陣x . 5.線段AB , A(-2 , 3) , B(1 , -4)在矩陣 作用下變換成何種圖形? 與原線段有何區(qū)別? 6.求直線x+y=1在矩陣 作用下變換所得圖形. 2.2幾種常見的平面變換（1）-恒等變換、伸壓變換 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能： 1.掌握恒等變換矩陣和伸壓變換矩陣的特點. 2.熟練運用恒等變換和伸壓變換進行平面圖形的變換 過程與方法： 借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程 情感、態(tài)度與價值觀： 提供自主探索的空間，通過研究實例，學(xué)會從實際出發(fā)探究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。 教學(xué)重點：恒等變換、伸壓變換的概念 教學(xué)難點：恒等變換、伸壓變換的矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: 已知△ABC , A(2 , 0) , B(-1 , 0) , C(0 , 2) , 它們在變換T作用下保持位置不變, 能否用矩陣M來表示這一變換? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1.恒等變換矩陣(單位矩陣) 2.恒等變換 3.伸壓變換矩陣 4.伸壓變換 三、教學(xué)運用 例1、求x2+y2=1在矩陣M= 作用下的圖形 例2、已知曲線y=sinx經(jīng)過變換T作用后變?yōu)樾碌那€C , 試求變換T對應(yīng)的矩陣M , 以及曲線C的解析表達式. 例3、驗證圖C : x2+y2=1在矩陣A= 對應(yīng)的伸壓變換下變?yōu)橐粋€橢圓, 并求此橢圓的方程. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：P33 1 , 2 . 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.已知平行四邊形ABCD, A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(3 , 2) , D(0 , 2) , 它們在變換T作用前后保持位置不變, 則變換矩陣M=__________ . 2.已知菱形ABCD, A(2 , 0) , B(0 , 1) , C(-2 , 0) , D(0 , -1), 在矩陣M= 作用下變?yōu)锳′, B′, C′, D′, 求A′, B′, C′, D′的坐標(biāo), 并畫出圖形. 3.求△OBC在矩陣 作用下變換的結(jié)果, 其中O為原點, B(-1 , 0) , C(1 , 0) . 4.求正方形ABCD在矩陣 作用下得到的圖形, 并畫出示意圖, 其中A(1 , 0) , B(0 , 1) , C(-1 , 0) , D(0 , -1) . 5.求拋物線 y=x2在矩陣 作用下得到的新的曲線C , 并求曲線C的函數(shù)表達式. 6.研究函數(shù)y=cosx在矩陣變換作用下的結(jié)果. 2.2幾種常見的平面變換（2）-反射變換 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.理解反射變換的有關(guān)概念, 熟知常用的幾種反射變換矩陣. 2.能熟練地對各種平面圖形進行反射變換. 過程與方法： 借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程 情感、態(tài)度與價值觀： 提供自主探索的空間，通過研究實例，學(xué)會從實際出發(fā)探究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。 教學(xué)重點：反射變換的概念 教學(xué)難點：反射變換矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: 已知在平面直角坐標(biāo)的第一象限有一張汽車圖片F(xiàn), 將它做關(guān)于x軸、y軸和坐標(biāo)原點對稱的變換, 分別得到圖片F(xiàn)1 , F2 , F3 , 這些變換能用矩陣來刻畫嗎? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué): 1.反射變換的有關(guān)概念 2.常用的幾種反射變換矩陣 3.二階非零矩陣對應(yīng)的變換的特點及線性變換. 三、教學(xué)運用 例1、求直線y=4x在矩陣 作用下變換所得的圖形. 例2、求曲線y=(x≥0)在矩陣 作用下變換所得的圖形. 例3、求矩形OBCD在矩陣 作用下變換所得的圖形, 并畫出示意圖, 其中O(0 , 0), B(2 , 0) , C(2 , 1), D(0 , 1). A E B C D 1 2 3 1 4 2 3 y x 練習(xí): 1.如圖, 已知格紙上有一面小旗子, 請在格紙上畫出它關(guān)于x軸、y軸和原點對稱的圖形, 并利用矩陣計算進行驗證. 2.求平行四邊形ABCD在矩陣M= 作用下變換所得的 幾何圖形, 并畫出示意圖, 其中A(0 , 0), B(3 , 0) , C(4 , 2), D(1 , 2). 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)： 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1. 將圖形變換為關(guān)于x軸對稱的圖形的變換矩陣為_____________ . 將圖形變換為關(guān)于y軸對稱的圖形的變換矩陣為_____________ . 將圖形變換為關(guān)于原點對稱的圖形的變換矩陣為_____________ . 2.求△ABC在矩陣M= 作用下變換得到的圖形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) . 3.求出曲線y=(x>0)在矩陣M= 作用下變換得到的曲線. 4.求曲線y=lgx(x>0), 在矩陣M= 作用下變換得到的曲線. 5.求曲線y=經(jīng)M1= 和M2= 作用下變換得到的曲線. 2.2幾種常見的平面變換（3）-旋轉(zhuǎn)變換 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.理解旋轉(zhuǎn)變換的有關(guān)概念, 掌握旋轉(zhuǎn)變換的特點. 2.熟練運用旋轉(zhuǎn)變換矩陣對平面圖形進行旋轉(zhuǎn)變換 過程與方法： 借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程 情感、態(tài)度與價值觀： 提供自主探索的空間，通過研究實例，學(xué)會從實際出發(fā)探究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。 教學(xué)重點：旋轉(zhuǎn)變換的概念 教學(xué)難點：旋轉(zhuǎn)變換矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: y x P P′ O 如圖, OP繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角到OP′, 這種幾何變換如何用矩陣來刻畫? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué): 1.旋轉(zhuǎn)變換的有關(guān)概念 2.旋轉(zhuǎn)變換的特點 三、教學(xué)運用 例1、已知A(0 , 0), B(2 , 0) , C(2 , 1) , D(0 , 1) , 求矩形ABCD繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90后得到的圖形, 并求出其頂點坐標(biāo), 畫出示意圖. 思考: 若旋轉(zhuǎn)30, 結(jié)果如何呢? 旋轉(zhuǎn)45呢? 例2、求△ABC在矩陣M= 作用下變換得到的圖形, 并畫出示意圖, 其中A(0 , 0) , B(2 , ), C(0 , 3) . 例3、已知曲線C : y=lgx , 將它繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90得到曲線C′, 求C′的方程. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：練習(xí): 書P33 7 , 8 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.矩陣 對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)角θ=____________ . 矩陣 對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)角θ=____________ (0≤θ<360) 2.已知△ABC, A(0 , 0) , B(2 , 0) , C(1 , 2) , 求△ABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90后所得到的圖形, 并求出其頂點坐標(biāo), 畫出示意圖. 3.已知 ABCD, A(0 , 0) , B(2 , 0) , C(3 , 1) , D(1 , 1) , 求 ABCD繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90后所得到的圖形, 并求出其頂點坐標(biāo). 4.研究函數(shù)y=sinx , x∈[0 , 2π]的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90得到的曲線. 5.已知曲線xy=1 , 將它繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90后得到什么曲線? 曲線方程是什么? 2.2幾種常見的平面變換（4）-投影變換 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.理解投影變換的有關(guān)概念, 掌握投影變換的特點. 2.熟知常用的幾種投影變換矩陣, 能熟練地對各種平面圖形進行投影變換. 過程與方法： 借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程 情感、態(tài)度與價值觀： 提供自主探索的空間，通過研究實例，學(xué)會從實際出發(fā)探究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。 教學(xué)重點：投影變換的概念 教學(xué)難點：投影變換的矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: 1.研究矩陣 所確定的變換. 2.研究矩陣 所確定的變換. 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.投影變換矩陣, 投影變換. 2.投影變換的特點. 三、教學(xué)運用 例1、矩陣 對應(yīng)的變換是投影變換嗎? 它的變換作用如何? 例2、研究線段AB在矩陣 作用下變換得到的圖形, 其中A(0 , 0) , B(1 , 2). 例3、研究直線x+y=0在矩陣 作用下變換得到的圖形. 例4、△ABC在矩陣 作用下變換得到何種圖形? 并畫出示意圖, 其中A(1, 1) , B(1 , 0) , C(0 , 1) . 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：練習(xí): P34 9 , 10 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.直線x+2y=5在矩陣 對應(yīng)的變換作用下變成了什么圖形? 2.研究△ABC在矩陣 作用下其面積發(fā)生了什么變化? 其中A(1 , 1) , B(2 , 0) , C(3 , 1) 3.圓x2+y2=1在矩陣 對應(yīng)的變換作用下變成了何種圖形? 4.求直線y=4x在矩陣 變換后, 再經(jīng)過矩陣 的變換, 最終得到什么圖形? 5.說明線段AB在矩陣 作用下變換得到的圖形, 其中A(1 , 1) , B(2 , 3). 2.2幾種常見的平面變換（5）-切變變換 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.掌握切變變換的特點, 熟知常用的幾種切變變換矩陣. 2.能熟練地對各種平面圖形進行切變變換 過程與方法： 借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程 情感、態(tài)度與價值觀： 提供自主探索的空間，通過研究實例，學(xué)會從實際出發(fā)探究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。 教學(xué)重點：切變變換的概念 教學(xué)難點：切變變換的矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.切變變換 2.切變變換矩陣 3.切變變換的特點 三、教學(xué)運用 例1、如圖所示, 已知矩形ABCD在變換T的作用下變成圖形A′B′C′D′, 試求變換T對應(yīng)的矩陣M . y x 1 2 D′ 1 C′ A′ B′ 3 y x 1 2 D 1 C A B 例2、求矩形ABCD在矩陣作用下變換得到的幾何圖形, 其中A(-2 , 0) , B(2 , 0), C(2 , 2) , D(-2 , 2) , 并說明圖形的變換特點. 例3、求把三角形ABC變成三角形A′B′C′的變換矩陣, 其中A(2 , 1) , B(1 , 3) , C(4 , 2) , A′(, 1), B′(, 3) , C′(5 , 2) . 例4、研究函數(shù)y=cosx在矩陣 變換作用下的結(jié)果. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：練習(xí): P34 11 , 12 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.矩陣 的作用是把平面上的點P(x , y)沿x軸方向平移________個單位, 當(dāng)y>0時 , 沿x軸_______方向移動, 當(dāng)y<0時, 沿x軸________方向移動, 當(dāng)y=0時, 原地不動, 在此變換作用下, __________上的點為不動點. 2.直線x－2y=3在矩陣 對應(yīng)的變換作用下變成了什么圖形? 畫出此圖形. 3.求曲線y=|x|在矩陣 對應(yīng)的變換作用下變成的圖形. 4.求出正方形ABCD在矩陣M= 作用后的圖形, 其中A(0 , 0) , B(2 , 0) , C(2 , 2) , D(0 , 2). y x B A C O y x O A′ C′ B′ 5.求把△ABC變換成△A′B′C′的變換矩陣, 其中A(-2 , 1) , B(0 , 1) , C(0 , -1) , A′(-2 , -3), B′(0 , 1), C′(0 , -1) . 2.3.1矩陣乘法的概念 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.掌握二階矩陣乘法法則及矩陣乘法的幾何意義. 2.能靈活運用矩陣乘法進行平面圖形的變換 . 3.了解初等變換及初等變換矩陣的含義. 過程與方法：從實例中理解矩陣乘法的代數(shù)運算和幾何意義，掌握運算規(guī)則，從幾何角度驗證乘法規(guī)則 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：二階矩陣乘法法則及矩陣乘法的幾何意義 教學(xué)難點：二階矩陣乘法法則及矩陣乘法的幾何意義 教學(xué)過程： 一、問題情境: 對向量先做變換矩陣為N=的反射變換T1, 得到向量, 再對所得向量做變換矩陣為M=的伸壓變換T2得到向量, 這兩次變換能否用一個矩陣來表示? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.矩陣乘法的乘法規(guī)則 2.矩陣乘法的幾何意義 3.初等變換, 初等變換矩陣 三、教學(xué)運用 例1、(1)已知A=, B=; 計算AB . (2)已知A=, B= , 計算AB, BA . (3)已知A=, B=, C=, 計算AB、AC . 例2、已知A=, 求A2, A3 , A4 , 你能得到An的結(jié)果嗎? (n∈N*) 例3、已知梯形ABCD, 其中A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(1 , 2) , D((1 , 2), 先將梯形作關(guān)于x軸的反射變換, 再將所得圖形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90. (1)求連續(xù)兩次變換所對應(yīng)的變換矩陣M ; (2)求點A , B , C , D在TM作用下所得到的結(jié)果; (3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩次變換對應(yīng)的幾何圖形, 并驗證(2)中的結(jié)論. 例4、已知A= , B= , 求AB, 并對其幾何意義給予解釋. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：練習(xí): P46 1 , 2 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.計算: (1) (2) (3) (4) 2.已知A= , 求A2 , A3 , 你能得到An的結(jié)果嗎? (n∈N*) . 3.計算, 并用文字描述二階矩陣對應(yīng)的變換方式. 4.已知△ABC, 其中A(1 , 2), B(2 , 0), C(4 , -2), 先將三角形繞原點按順時針旋轉(zhuǎn)90, 再將所得圖形的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍, 縱坐標(biāo)不變. (1)求連續(xù)兩次變換所對應(yīng)的變換矩陣M ; (2)求點A , B , C在變換矩陣M作用下所得到的結(jié)果; (3)如果先將圖形的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍, 再將所得圖形繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90, 則連續(xù)兩次變換所對應(yīng)的變換矩陣M′是什么呢? 5.設(shè)m , n∈k , 若矩陣A=把直線l : x－5y+1=0變換成另一直線 l′: 2x+y+3=0, 試求出m , n的值. 2.3.2矩陣乘法的的簡單性質(zhì) 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.能從矩陣運算和圖形變換的角度理解矩陣乘法的簡單性質(zhì). 2.能運用矩陣乘法的簡單性質(zhì)進行矩陣乘法的運算 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：矩陣乘法的簡單性質(zhì) 教學(xué)難點：矩陣乘法的簡單性質(zhì) 教學(xué)過程： 一、問題情境: 實數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律和消去律, 那么矩陣的乘法是否也滿足這些運算律呢? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.矩陣的乘法不滿足交換律 2.矩陣的乘法滿足結(jié)合律 3.矩陣的乘法不滿足消去律 三、教學(xué)運用： 例1、已知梯形ABCD , A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(2 , 2 ) , D(1 , 2) , 變換T1對應(yīng)的矩陣P=, 變換T2對應(yīng)的矩陣Q=, 計算PQ , QP , 比較它們是否相同, 并從幾何變換的角度予以解釋. 例2、已知M= , P=, Q=, 求PMQ . 例3、已知M= , N= , J= . (1)試求滿足方程MX=N的二階方陣X ; (2)試求滿足方程JYN=M的二階方陣Y . 例4、已知A= , B= , 證明AB=BA , 并從幾何變換的角度予以解釋. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：練習(xí): P46 1 , 2 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.(1)已知M=, N=, 求MN , NM . （2）已知M= , N=, 求MN , NM . 2.已知A= , P= , Q= , 求PAQ . 3.證明下列等式, 并從幾何變換的角度給予解釋. (1) = (2) = 4.已知△ABC , A(0 , 0) , B(2 , 0), C(1 , 2) , 對它先作M=對應(yīng)的變換, 再作N=對應(yīng)的變換, 試研究變換作用后的結(jié)果, 并用一個矩陣來表示這兩次變換. y x A B C C′ B′ A′ O 1 2 -1 1 2 3 5.兩個矩陣的乘法的幾何意義是對應(yīng)變換的復(fù)合, 反過來, 可以對平面中的某些幾何變換進行簡單的分解, 你能根據(jù)如圖所示變換后的圖形進行分解, 從而知道它是從原來圖形經(jīng)過怎樣的復(fù)合變換過來的嗎? 2.4.1逆矩陣的概念 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.理解逆變換和逆矩陣的概念, 能用幾何變換的觀點判斷一個矩陣是否存在逆矩陣. 2.掌握求矩陣的逆矩陣的方法. 3.掌握AB可逆的條件及(AB) -1 的求法, 理解矩陣乘法滿足消去解的條件 . 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：逆變換和逆矩陣的概念 教學(xué)難點：求矩陣的逆矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: 已知二階矩陣對應(yīng)的變換把點(x , y)變換為 (x′, y′) , 是否存在一個變換能把點(x′, y′)變換為(x , y)呢? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.逆變換和逆矩陣的概念 注: ①如果A可逆, 那么逆矩陣唯一. ②二階矩陣可逆的條件 2.逆矩陣的求法: ①定義法 ②幾何變換法 3.AB可逆的條件及(AB) -1 的求法 4.矩陣乘法滿足消去解的條件. 三、教學(xué)運用： 例1、用幾何變換的觀點判斷下列矩陣是否存在逆矩陣, 若存在, 求出其逆矩陣. (1)A= (2)B= (3)C= (4)D= 例2、求下列矩陣的逆矩陣. (1)A= (2) B= 例3、試從幾何變換的角度求解AB的逆矩陣. (1) A= , B= (2) A= , B= 例4、設(shè)可逆矩陣A= 的逆矩陣A -1 = , 求a , b . 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：P63 1. (1) (2) 2. (1) 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.用幾何變換的觀點判斷下列矩陣是否存在逆矩陣, 若存在, 把它求出來. (1) A= (2) B= (3) C= (4) D= 2.求下列矩陣的逆矩陣 (1) A= (2) B= (3) C= 3.試從幾何變換的角度求矩陣AB的逆矩陣. (1) A= , B= (2) A= , B= 4.已知矩陣A=, B=, 求A-1 , B-1 , (AB)-1 5.已知二階矩陣A , B , C的逆矩陣分別為A -1 , B -1 , C -1 , 那么(ABC) -1 , (ACB) -1 , (BCA) -1 分別等于什么? 你能將你的結(jié)論作進一步的推廣嗎? 2.4.2二階矩陣與二元一次方程組 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.掌握二階行列式的定義及運算方法, 了解行列式與矩陣的異同. 2.掌握運用行列式解方程組的方法. 3.能利用逆矩陣理解二元一次方程組的求解過程, 掌握從幾何變換的角度判斷方程組的解的情況 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：二階行列式的定義及運算方法 教學(xué)難點：運用行列式解方程組 教學(xué)過程： 一、問題情境: 關(guān)于x , y的二元一次方程組當(dāng)ab－bc≠0時, 方程的解為, 觀察方程組的解的結(jié)果, 與矩陣, , 有何聯(lián)系? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.二階行列式及運算公式; 2.二元一次方程組的行列式解法; 3.利用逆矩陣理解二元一次方程組的求解過程及從幾何變換的角度判斷方程組的解的情況. 三、教學(xué)運用： 例1、利用行列式解方程組. 思考: 如何用逆矩陣的知識解這個方程組? 例2、利用行列式方法求矩陣A=的逆矩陣. 例3、試從幾何變換的角度說明方程組 解的存在性和唯一性. 例4、已知二元一次方程組Ax=B, A=, B=, 試從幾何變換的角度研究方程組解的情況. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)： 1.設(shè)A=, x=, B=, 用兩種方法解方程組Ax=B ; 2.已知方程組Ax=B , A=, x=, B=, 試從幾何變換的角度研究方程組解的情況. 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.已知M= , 且det(M)=0 , 求λ. 2.設(shè)A= , B= . (1)計算det(A) , det(B) (2)判斷矩陣AB是否可逆, 若可逆, 求其逆矩陣. 3.利用行列式解下列方程組: (1) (2) 4.設(shè)A= , x=, B=, 用兩種方法解方程Ax=B . 5.試從幾何變換角度說明方程的解的存在性和唯一性. 6.已知=A, 求使等式成立的矩陣A . 2.5特征值與特征向量（1） 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能： 1.理解特征值與特征向量的含義. 2.掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法, 并能從幾何變換的角度加以解釋. 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：特征值與特征向量的含義 教學(xué)難點：求矩陣的特征值和特征向量 教學(xué)過程： 一、問題情境: 已知伸壓變換矩陣M=, 向量α=和β=在M對應(yīng)的變換作用下得到的向量α′和β′分別與α, β有什么關(guān)系? 對伸壓變壓矩陣N=呢? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.矩陣的特征值和特征向量的定義. 2.特征多項式 3.矩陣M=的特征值和特征向量的計算方法: (1)構(gòu)造特征多項式f (λ)=0; (2)解方程f(λ)=0 ; (2)將λ代入, 求出對應(yīng)的一個特征向量. 注: 如果向量α是屬于λ的特征向量, 那么tα(t∈R , t≠0)也是屬于λ的特征向量. 三、教學(xué)運用： 例1.求下列矩陣的特征值和特征向量, 并從幾何變換的角度加以解釋. (1)A= (2) B= 例2.已知A=, P=, Q=, 試求矩陣PAQ的特征值與特征向量. 例3.已知α是矩陣M屬于特征值λ=3的特征向量, 其中M=, α=, 且a+b+m=3 , 求a , b , m . 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：P72 1 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.向量在矩陣變換下（ ） A.改變了方向, 長度不變 B.改變了長度, 方向不變 C.方向和長度都不變 D.以上都不對 2.下列對于矩陣A的特征值λ的描述正確的是 ( ) A.存在向量α, 使得Aα=λα B.對任意向量α, 有Aα=λα C.對任意非零向量α, Aα=λα成立 D.存在一個非零向量α, 有Aα=λα 3.矩陣 的特征值為__________ , 對應(yīng)的特征向量為_____________ . 4.求下列矩陣的特征值和特征向量: (1) (2) 5.已知M=, 試說明和都是矩陣A的對應(yīng)于不同的特征值的特征向量. 6.已知α是矩陣A屬于特征值λ=－2的特征向量, 其中A=, α=, 求a , b . 7.如果向量α既是矩陣M的特征向量, 又是矩陣N的特征向量, 證明: α必是MN及NM的特征向量. 2.5特征值與特征向量（2） 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能： 1.進一步理解特征值與特征向量的概念, 能熟練求矩陣的特征值和特征向量. 2.能利用矩陣的特征值和特征向量求向量多次變換的結(jié)果. 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：特征值與特征向量的概念 教學(xué)難點：求矩陣的特征值和特征向量 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)回顧: 1.已知A= , B=, 求矩陣BA的特征值與特征向量; 2.說明矩陣 沒有實數(shù)特征值和特征向量. 注意： 1.矩陣M有特征值λ及對應(yīng)的特征向量α, 則M n α=λn α(n∈N*). 2.如果矩陣M有兩個不共線的特征向量α1 ,α2 , 其對應(yīng)的特征值分別為λ1 , λ2 , 那么平面內(nèi)任意個向量α=Sα1+tα2 , 因此M nα=Sλ1 nα1 +tλ2 nα2 . 二、教學(xué)運用： 例1、已知M=, β=, 求M2β. 例2、已知M=,β=, 計算M50β. 例3、 已知矩陣M=有屬于特征值λ1 = 8的特征向量α1 = , 及屬于特征值λ2=－3的特征向量α2 =. (1)對向量α=, 記作α=α1－3α2 , 利用這一表達式計算M3α及M50α; (2)對向量β=, 求M5β及M100β. 三、課堂小結(jié)： 四、課堂練習(xí)：P72 1 五、回顧反思： 六、課外作業(yè)： 1.設(shè)A=, 矩陣A的特征值為 ( ) A. 3和1 B. 3和－1 C. －3和1 D. －3和－1 2.設(shè)M= , 矩陣M的特征向量可以是 ( ) A. B. C. D. 3.設(shè)A是旋轉(zhuǎn)角為π的旋轉(zhuǎn)變換, μ是一個任意向量, μ在A下的象Aμ=－μ, 則A的屬于特征－1的特征向量為平面上的____________ . 4.(1)求矩陣M=的特征值與特征向量; (2)向量α=, 求M 4α, M 100α. 5.已知矩陣A=及向量α=. (1)計算A nα, 并分析討論當(dāng)n的值越來越大時, A nα的變化趨勢. (2)給出A nα的一個近似公式, 并利用這一近似公式計算A 100α. 6.若矩陣A有特征向量i =和j =, 且它們所對應(yīng)的特征值分別為λ1 =2 , λ2 =－1 . (1)求矩陣A及其逆矩陣A -1 ; (2)求逆矩陣A-1 的特征值及特征向量; (3)對任意向量α=, 求A 100α及A -1α. 2.6矩陣的簡單應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.熟悉線階矩陣的一些簡單應(yīng)用, 能利用矩陣解決一些簡單的實際問題. 2.通過矩陣的一些計算, 認識各種問題中的數(shù)學(xué)規(guī)律. 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：矩陣的一些簡單應(yīng)用 教學(xué)難點：利用矩陣解決一些簡單的實際問題 教學(xué)過程： 一、問題情境: A B C 如圖是A、B、C三個城市間的交通情況, 小月想從其中某一城市出發(fā)直達另一個城市, 她可以有幾種選擇? 如果她想從某一城市出發(fā), 先經(jīng)過一個城市再到達另一個城市, 她又可以有幾種選擇? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.網(wǎng)絡(luò)圖 2.一級路矩陣和二級路矩陣 三、教學(xué)運用 例1、已知一級路矩陣表示一個網(wǎng)絡(luò)圖, 它們的結(jié)點分別為A , B , C , 試畫出一個網(wǎng)絡(luò)圖. 思考: 你能求出“七橋問題”中的一級路矩陣和二級路矩陣嗎? 例2、已知盒子A中裝有3只大小和重量相同的小球, 其中2只黑色的, 1只白色的; 盒子B中裝有5只大小和重量相同的小球, 其中3只黑色的, 2只白色的. 假定A、B兩個盒子很難分辨, 而且可以任取一個, 現(xiàn)在要求先取一個盒子, 那么從中摸到一只黑色小球的概率有多大? 例3. 書 P74 例2 例4. 書 P77 例5 例5. 書 P77 例6 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：P72 1 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.有甲、乙兩個車間都生產(chǎn)a , b , c , d四種產(chǎn)品, 每月生產(chǎn)量(單位: 千件) 由矩陣A=給出, 每生產(chǎn)一千件同一種產(chǎn)品, 一、二、三月份的耗電量各不相同, a、b、c、d四種產(chǎn)品的這三個月的耗電量(單位: 千度) 由下面的矩陣給出: B= ,問甲、乙兩個車間一、二、三月份的耗電量為多少? 2.已知一級路矩陣表示一個網(wǎng)絡(luò)圖, 它們的結(jié)點分別是A , B , C , 試畫出一個網(wǎng)絡(luò)圖, 并依圖寫出其二級路矩陣. 3.在一次軍事密碼發(fā)送任務(wù)中, 需要對方獲知的密碼信息為“stop”, 雙方約定的可逆方陣A=, 問發(fā)送方傳送出的密碼是什么? 4.已知甲、乙兩個種群相互影響, 其數(shù)量分別為{an} , {bn} , a1=20 , b1=30 , 且有關(guān)系式, 試求10個時段后甲、乙兩個種群的數(shù)量. 2矩陣與變換章節(jié)復(fù)習(xí) 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.對本章的知識進行歸納和梳理 2.熟練進行圖形的變換和矩陣運算 3.能運用矩陣解決實際問題. 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：本章的知識 教學(xué)難點：進行圖形的變換和矩陣運算、能運用矩陣解決實際問題. 教學(xué)過程： 一、知識梳理: 二、例題分析： 例1、已知M=, 試求在M對應(yīng)的變換TM作用下對應(yīng)得到P(1 , 0) , Q(0 , 1)的原象點. 例2、已知. a , b∈R , 若M= 所對應(yīng)的變換TM把直線l: 2x－y=3變換為自身, 求實數(shù)a , b的值. 例3、已知M= , N= , J= . (1)試求滿足方程MX=N的二階方陣X ; (2)試求滿足方程NYM=J的二階方程Y . 例4、已知M= 為可逆矩陣, 求x的取值范圍及M -1 . 例5、給定矩陣M= 及向量α=. (1)求M的特征值及對應(yīng)的特征向量; (2)確定實數(shù)a , b , 使α=ae1+be 2 ; (3)利用(2)計算M3α, M nα. 例6、已知點列P1 (x1 , y1) , P2(x2 , y2), … , Pn (x n , y n ), 滿足 且x1=1 , y1=－2, n=1 , 2 , 3 , … , 問: 當(dāng)n逐漸變大時, Pn (xn , yn)有何變化趨勢. 三、課外作業(yè)： 1.已知變換T把平面上的點(2 , －1), (－1, 2)分別變換成點(3 , －4) , (0 , 5), 試求變換T對應(yīng)的矩陣M . 2.變換矩陣把曲線y=lgx變換成什么幾何圖形? 3.判斷下列矩陣是否存在逆矩陣, 若存在, 求出逆矩陣. (1) (2) (3) 4.已知矩陣M= , N=及向量1 =, 2 =. (1)證明M和N互為逆矩陣; (2)證明1 和2 同時是M和N的特征向量. 5.設(shè)A=, 利用矩陣的特征值和特征向量計算A3 . 6.矩陣A=有特征向量α1 =,α2 =. (1)求出α1 ,α2 對應(yīng)的特征值; (2)對向量α=, 計算A4α, A20α, Anα.