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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查直線與圓的相交、相切問題，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；2.計算弦長、面積，考查與圓有關(guān)的最值；根據(jù)條件求圓的方程．
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.會用代數(shù)法或幾何法判定點、直線與圓的位置關(guān)系；2.掌握圓的幾何性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長等直線與圓的綜合問題，體會用代數(shù)法處理幾何問題的思想．
1． 直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，
圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，
d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.
幾何法
代數(shù)法
相交
d
0
相切
d＝r
Δ＝0
相離
d>r
Δ<0
2. 圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r (r2>0).
方法
位置關(guān)系
幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系
代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況
相離
d>r1＋r2
無解
外切
d＝r1＋r2
一組實數(shù)解
相交
|r1－r2|1，解得－0，
所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點．
(2)解 設(shè)直線與圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，
則直線l被圓C截得的弦長
|AB|＝|x1－x2|
＝2＝2 ，
令t＝，則tk2－4k＋(t－3)＝0，
當(dāng)t＝0時，k＝－，當(dāng)t≠0時，因為k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值為4，此時|AB|最小為2.
方法二 (1)證明 圓心C(1，－1)到直線l的距離d＝，圓C的半徑R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，
Δ＝(－4)2－4118<0，
故11k2－4k＋8>0對k∈R恒成立，
所以R2－d2>0，即d5，即2a2＋6a＋5>25時，兩圓外離，此時a>2或a<－5.
(4)當(dāng)d＝1，即2a2＋6a＋5＝1時，兩圓內(nèi)切，此時a＝－1或a＝－2.
探究提高 判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．
已知圓C與圓C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并且與直線l：x＋y＝0相切于點P(3，－)，求圓C的方程．
解 設(shè)所求圓的圓心為C(a，b)，半徑長為r，
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∵C(a，b)在過點P且與l垂直的直線上，
∴＝.①
又∵圓C與l相切于點P，∴r＝.②
∵圓C與圓C1相外切，∴＝r＋1.③
由①得a－b－4＝0，
從而由②③④可得＝|2a－6|＋1，④
解得，或，此時，r＝2或r＝6.
即所求的圓C的方程為
(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
題型三 直線與圓的綜合問題
例3 已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點．
(1)若|AB|＝，求|MQ|、Q點的坐標(biāo)以及直線MQ的方程；
(2)求證：直線AB恒過定點．
思維啟迪：第(1)問利用平面幾何的知識解決；第(2)問設(shè)點Q的坐標(biāo)，從而確定點A、B的坐標(biāo)與AB的直線方程．
(1)解 設(shè)直線MQ交AB于點P，則|AP|＝，
又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，
得|MP|＝＝，
又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.
設(shè)Q(x,0)，而點M(0,2)，由＝3，
得x＝，則Q點的坐標(biāo)為(，0)或(－，0)．
從而直線MQ的方程為2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.
(2)證明 設(shè)點Q(q,0)，由幾何性質(zhì)，可知A、B兩點在以QM為直徑的圓上，此圓的方程為x(x－q)＋y(y－2)＝0，而線段AB是此圓與已知圓的公共弦，即為qx－2y＋3＝0，所以直線AB恒過定點.
探究提高 在解決直線與圓的位置關(guān)系時要充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數(shù)計算，這樣既簡單又不容易出錯．
已知點P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程；
(2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程．
解 (1)如圖所示，|AB|＝4，將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝16，
∴圓C的圓心坐標(biāo)為(－2,6)，半徑r＝4，設(shè)D是線段AB的中點，則CD⊥AB，
∴|AD|＝2，|AC|＝4.C點坐標(biāo)為(－2,6)．
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由點C到直線AB的距離公式：＝2，
得k＝.
故直線l的方程為3x－4y＋20＝0.
又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x＝0.
∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)設(shè)過P點的圓C的弦的中點為D(x，y)，
則CD⊥PD，即＝0，
∴(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，
化簡得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
與圓有關(guān)的探索問題
典例：(12分)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.問在圓C上是否存在兩點A、B關(guān)于直線y＝kx－1對稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說明理由．
審題視角 (1)假設(shè)存在兩點A、B關(guān)于直線對稱，則直線過圓心．
(2)若以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，轉(zhuǎn)化為＝0.
規(guī)范解答
解 圓C的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓心為C(1，－2)．假設(shè)在圓C上存在兩點A、B滿足條件，
則圓心C(1，－2)在直線y＝kx－1上，即k＝－1.[3分]
于是可知，kAB＝1.
設(shè)lAB：y＝x＋b，代入圓C的方程，
整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
則Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，即b2＋6b－9<0.
解得－3－30，
即直線AB的方程為x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.[12分]
答題模板
第一步：假設(shè)符合要求的結(jié)論存在．
第二步：從條件出發(fā)(即假設(shè))利用直線與圓的關(guān)系求解．
第三步：確定符合要求的結(jié)論存在或不存在．
第四步：給出明確結(jié)果．
第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點，易錯點及答題規(guī)范．
溫馨提醒 (1)本題是與圓有關(guān)的探索類問題，要注意充分利用圓的幾何性質(zhì)答題．(2)要注意解答這類題目的答題格式．使答題過程完整規(guī)范．(3)本題的易錯點是轉(zhuǎn)化方向不明確，思路不清晰．
方法與技巧
1． 過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法
先求切點與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系知切線斜率為－，由點斜式方程可求切線方程．若切線斜率不存在，則由圖形寫出切線方程x＝x0.
2． 過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法
(1)幾何方法
當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程．
(2)代數(shù)方法
設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓方程，得一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出．
3． 兩圓公共弦所在直線方程求法
若兩圓相交時，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程．
4． 圓的弦長的求法
(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則2＝r2－d2.
(2)代數(shù)法：設(shè)直線與圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，解方程組消y后得關(guān)于x的一元二次方程，從而求得x1＋x2，x1x2，則弦長為
|AB|＝(k為直線斜率)．
失誤與防范
1． 求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來簡化運算．
2． 過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．
A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． “a＝3”是“直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的 ( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 若直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，則有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但當(dāng)a＝3時，直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要條件．
2． (xx重慶)對任意的實數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是 ( )
A．相離 B．相切
C．相交但直線不過圓心 D．相交且直線過圓心
答案 C
解析 ∵x2＋y2＝2的圓心(0,0)到直線y＝kx＋1的距離
d＝＝≤1，
又∵r＝，∴00)的公共弦長為2，則a＝________.
答案 1
解析 方程x2＋y2＋2ay－6＝0與x2＋y2＝4.
相減得2ay＝2，則y＝.由已知條件＝，
即a＝1.
7． (xx江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是________．
答案
解析 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0)．
由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2，
即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.
故k的最大值是.
三、解答題(共22分)
8． (10分)求過點P(4，－1)且與圓C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于點M(1,2)的圓的方程．
解 設(shè)所求圓的圓心為A(m，n)，半徑為r，
則A，M，C三點共線，且有|MA|＝|AP|＝r，
因為圓C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圓心為C(－1,3)，
則，
解得m＝3，n＝1，r＝，
所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝5.
9． (12分)已知點A(1，a)，圓x2＋y2＝4.
(1)若過點A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程；
(2)若過點A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線與圓相切，求a的值及切線方程．
解 (1)由于過點A的圓的切線只有一條，則點A在圓上，故12＋a2＝4，∴a＝.
當(dāng)a＝時，A(1，)，切線方程為x＋y－4＝0；
當(dāng)a＝－時，A(1，－)，切線方程為x－y－4＝0，
∴a＝時，切線方程為x＋y－4＝0，
a＝－時，切線方程為x－y－4＝0.
(2)設(shè)直線方程為x＋y＝b，由于直線過點A，∴1＋a＝b，
∴直線方程為x＋y＝1＋a，即x＋y－a－1＝0.
又直線與圓相切，∴d＝＝2，∴a＝2－1.
∴切線方程為x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0.
B組 專項能力提升
(時間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． (xx天津)設(shè)m，n∈R，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，則m＋n的取值范圍是 ( )
A．[1－，1＋]
B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)
C．[2－2，2＋2]
D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)
答案 D
解析 圓心(1,1)到直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距離為＝1，
所以m＋n＋1＝mn≤(m＋n)2，
所以m＋n≥2＋2或m＋n≤2－2.
2． (xx江西)若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是 ( )
A．(－，) B．(－，0)∪(0，)
C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案 B
解析 C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
當(dāng)m＝0時，C2：y＝0，此時C1與C2顯然只有兩個交點；
當(dāng)m≠0時，要滿足題意，需圓(x－1)2＋y2＝1與直線y＝m(x＋1)有兩交點，當(dāng)圓與直線相切時，m＝，即直線處于兩切線之間時滿足題意，則－
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