2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 4.2拋物線的幾何性質(zhì) 蘇教版選修2-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 4.2拋物線的幾何性質(zhì) 蘇教版選修2-1 課時(shí)目標(biāo) 1.了解拋物線的幾何圖形,知道拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),學(xué)會(huì)利用拋物線方程研究拋物線的幾何性質(zhì)的方法.2.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 1.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0) (1)范圍:拋物線上的點(diǎn)(x,y)的橫坐標(biāo)x的取值范圍是________,拋物線在y軸的______側(cè),當(dāng)x的值增大時(shí),|y|也________,拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸. (2)對(duì)稱性:拋物線關(guān)于________對(duì)稱,拋物線的對(duì)稱軸叫做________________. (3)頂點(diǎn):拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的________.拋物線的頂點(diǎn)為_(kāi)_____________. (4)離心率:拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比,叫做拋物線的__________,用e表示,其值為_(kāi)_____. (5)拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_____,這就是p的幾何意義,頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 為,焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為_(kāi)_______. 2.拋物線的焦點(diǎn)弦 設(shè)拋物線y2=2px(p>0),AB為過(guò)焦點(diǎn)的一條弦,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)M(x0,y0),則有以下結(jié)論. (1)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線________. (2)AB=__________(焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系). (3)AB=x1+x2+______. (4)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值,即x1x2=________,y1y2=________. 一、填空題 1.邊長(zhǎng)為1的等邊三角形AOB,O為原點(diǎn),AB⊥x軸,以O(shè)為頂點(diǎn)且過(guò)A,B的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是______________________. 2.拋物線y2=2px (p>0)上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則此拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線之間的距離是________. 3.若過(guò)拋物線x2=-2py (p>0)的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)為6,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________. 4.若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓+=1的右焦點(diǎn)重合,則p的值為_(kāi)_______. 5.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),A、B是拋物線C上的兩個(gè)點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(2,2),則△ABF的面積為_(kāi)_______. 6.拋物線y2=2px與直線ax+y-4=0的一個(gè)交點(diǎn)是(1,2),則拋物線的焦點(diǎn)到該直線的距離為_(kāi)_____. 7.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),A為拋物線上一點(diǎn),若=-4,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____________. 8.已知點(diǎn)Q(4,0),P為y2=x+1上任意一點(diǎn),則PQ的最小值為_(kāi)_______. 二、解答題 9.設(shè)拋物線y=mx2 (m≠0)的準(zhǔn)線與直線y=1的距離為3,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 10.已知拋物線y2=2px (p>0)的一條過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB被焦點(diǎn)F分成長(zhǎng)度為m,n的兩部分.求證:+為定值. 能力提升 11.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足,如果直線AF的斜率為-,那么PF=________. 12.已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn). (1)若AF=4,求點(diǎn)A的坐標(biāo); (2)求線段AB的長(zhǎng)的最小值. 1.研究拋物線的性質(zhì)要結(jié)合定義,理解參數(shù)p的幾何意義,注意拋物線的開(kāi)口方向. 2.解決過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交有關(guān)的問(wèn)題時(shí),一是注意直線方程和拋物線方程聯(lián)立得方程組,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題,二是注意焦點(diǎn)弦,焦半徑公式的應(yīng)用.解題時(shí)注意整體代入的思想,可以使運(yùn)算、化簡(jiǎn)簡(jiǎn)便. 3.與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題 具備定義背景的最值問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題;一般方法是建立目標(biāo)函數(shù),求函數(shù)的最值. 2.4.2 拋物線的幾何性質(zhì) 知識(shí)梳理 1.(1)x≥0 右 增大 (2)x軸 拋物線的軸 (3)頂點(diǎn) 坐標(biāo)原點(diǎn) (4)離心率 1 (5)p 2.(1)相切 (2)2(x0+) (3)p (4)?。璸2 作業(yè)設(shè)計(jì) 1.y2=x 解析 易求得A,B的坐標(biāo)為或,又由題意可設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px (p>0),將A,B的坐標(biāo)代入即可求得. 2.2 解析 由拋物線的定義可知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,故4+=5,p=2,此拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線之間的距離為p=2. 3. 解析 易知弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,則有2p=6,p=3.故焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 4.4 解析 橢圓+=1的右焦點(diǎn)為(2,0),即=2,得p=4. 5.2 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則y=4x1,y=4x2. ∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).∵x1≠x2, ∴==1. ∴直線AB的方程為y-2=x-2,即y=x. 將其代入y2=4x,得A(0,0),B(4,4). ∴AB=4.又F(1,0)到y(tǒng)=x的距離為, ∴S△ABF=4=2. 6. 解析 由已知得拋物線方程為y2=4x,直線方程為2x+y-4=0,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(1,0),到直線2x+y-4=0的距離d==. 7.(1,2)或(1,-2) 解析設(shè)A(x0,y0),F(1,0),=(x0,y0), =(1-x0,-y0), =x0(1-x0)-y=-4. ∵y=4x0,∴x0-x-4x0+4=0, 即x+3x0-4=0,x0=1或x0=-4(舍). ∴x0=1,y0=2. 8. 解析 設(shè)點(diǎn)P(x,y).∵y2=x+1,∴x≥-1. ∴PQ== ==. ∴當(dāng)x=時(shí),PQmin=. 9.解 由y=mx2 (m≠0)可化為x2=y(tǒng), 其準(zhǔn)線方程為y=-. 由題意知-=-2或-=4, 解得m=或m=-. 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y或x2=-16y. 10.證明 若AB⊥x軸,直線AB的方程為x=, 則A,B,∴m=n=p, ∴+=, 若AB不與x軸垂直,設(shè)直線AB的方程為 y=k,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則m=AF=x1+,n=BF=x2+. 將AB方程代入拋物線方程,得 k2x2-(k2p+2p)x+=0. ∴x1+x2=,x1x2=, ∴+= ==. 故+為定值. 11.8 解析 如圖所示,直線AF的方程為y=-(x-2),與準(zhǔn)線方程x=-2聯(lián)立得A (-2,4). 設(shè)P(x0,4),代入拋物線y2=8x,得8x0=48,∴x0=6, ∴PF=x0+2=8. 12.解 由y2=4x,得p=2,其準(zhǔn)線方程為x=-1,焦點(diǎn)F(1,0). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 分別過(guò)A、B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為A′、B′. (1)由拋物線的定義可知,AF=x1+, 從而x1=4-1=3. 代入y2=4x,解得y1=2. ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (3,2)或(3,-2). (2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí), 設(shè)直線l的方程為y=k(x-1). 與拋物線方程聯(lián)立, 消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 因?yàn)橹本€與拋物線相交于A、B兩點(diǎn), 則k≠0,并設(shè)其兩根為x1,x2,則x1+x2=2+. 由拋物線的定義可知, AB=x1+x2+p=4+>4. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=1,與拋物線相交于A(1,2),B(1,-2),此時(shí)AB=4, 所以,AB≥4,即線段AB的長(zhǎng)的最小值為4.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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