2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考　1.考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式；2.利用公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡與求值． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.理解記憶同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式，特別要對誘導(dǎo)公式的口訣理解透徹；2.通過訓(xùn)練加強(qiáng)公式運(yùn)用能力的培養(yǎng)，尋找化簡求值中的規(guī)律． 1． 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α. 2． 下列各角的終邊與角α的終邊的關(guān)系 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α 圖示 與角α終邊的關(guān)系 相同 關(guān)于原點(diǎn)對稱 關(guān)于x軸對稱 角 π－α －α ＋α 圖示 與角α終邊的關(guān)系 關(guān)于y軸 對稱 關(guān)于直線y＝x 對稱 3. 六組誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α 口訣 函數(shù)名不變 符號(hào)看象限 函數(shù)名改變 符號(hào)看象限 [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 同角三角函數(shù)關(guān)系式 (1)利用平方關(guān)系解決問題時(shí)，要注意開方運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，需要根據(jù)角α的范圍進(jìn)行確定． (2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系反映了同一個(gè)角的不同三角函數(shù)之間的必然聯(lián)系，它為三角函數(shù)的化簡、求值、證明等又提供了一種重要的方法． 2． 誘導(dǎo)公式 誘導(dǎo)公式可概括為kα(k∈Z)的各三角函數(shù)值的化簡公式．記憶規(guī)律是“奇變偶不變，符號(hào)看象限”．其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化． 1． (xx大綱全國)已知α∈，tan α＝2，則cos α＝________. 答案　－ 解析　∵tan α＝2，∴＝2，∴sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，∴(2cos α)2＋cos2α＝1，∴cos2α＝. 又∵α∈，∴cos α＝－. 2． 若tan α＝2，則的值為________． 答案　 解析　原式＝＝. 3． 已知α是第二象限的角，tan α＝－，則cos α＝________. 答案　－ 解析　∵α是第二象限的角，∴cos α<0. 又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－， ∴cos α＝－. 4． sin πcos πtan的值是________． 答案?。? 解析　原式＝sincostan ＝ ＝(－)＝－. 5． 已知cos＝，則sin＝________. 答案　－ 解析　sin＝sin ＝－sin＝－cos＝－. 題型一　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用 例1　已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值； (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形； (3)求tan A的值． 思維啟迪：由sin A＋cos A＝及sin2A＋cos2A＝1，可求sin A，cos A的值． 解　(1)∵sin A＋cos A＝① ∴兩邊平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－. (2)由sin Acos A＝－<0，且00，cos A<0，∴sin A－cos A>0， ∴sin A－cos A＝.② ∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－， ∴tan A＝＝＝－. 探究提高　(1)對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求．轉(zhuǎn)化的公式為(sin αcos α)2＝12sin αcos α；(2)關(guān)于sin α，cos α的齊次式，往往化為關(guān)于tan α的式子． (1)已知tan α＝2，求sin2α＋sin αcos α－2cos2α； (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解　(1)sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝ ＝＝. (2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin2α＝4sin2β，① tan2α＝9tan2β，② 由①②得：9cos2α＝4cos2β，③ ①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4， ∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝，即cos α＝. 題型二　三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 例2　(1)已知cos＝，求cos的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)tan的值． 思維啟迪：(1)將＋α看作一個(gè)整體，觀察＋α與－α的關(guān)系． (2)先化簡已知，求出cos α的值，然后化簡結(jié)論并代入求值． 解　(1)∵＋＝π， ∴－α＝π－. ∴cos＝cos ＝－cos＝－， 即cos＝－. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝. ∴sin(3π＋α)tan ＝sin(π＋α) ＝sin αtan ＝sin α ＝sin α＝cos α＝. 探究提高　熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧． (1)化簡：； (2)已知f(x)＝，求f的值． 解　(1)原式＝ ＝＝ ＝－＝－＝－1. (2)∵f(x)＝ ＝－cos xtan x＝－sin x， ∴f＝－sin＝sin ＝sin＝sin ＝. 題型三　三角函數(shù)式的化簡與求值 例3　(1)已知tan α＝，求的值； (2)化簡：. 思維啟迪：三角函數(shù)式的化簡與求值，都是按照從繁到簡的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要認(rèn)真觀察式子的規(guī)律，使用恰當(dāng)?shù)墓剑? 解　(1)因?yàn)閠an α＝， 所以＝ ＝＝. (2)原式＝ ＝＝＝－1. 探究提高　在三角變換中，要注意尋找式子中的角，函數(shù)式子的特點(diǎn)和聯(lián)系，可以切化弦，約分或抵消，減少函數(shù)種類，對式子進(jìn)行化簡． 已知sin＝－，α∈(0，π)， 求的值． 解　∵sin＝－， ∴cos α＝－，又α∈(0，π)，∴sin α＝. ＝ ＝＝＝－. 分類討論思想在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用 典例：(12分)化簡：sin＋cos (n∈Z)． 審題視角　(1)角中含有變量n，因而需對n的奇偶分類討論． (2)利用誘導(dǎo)公式，需將角寫成符合公式的某種形式，這就需要將角中的某一部分作為一個(gè)整體來看． 規(guī)范解答 解　當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k (k∈Z)，則[1分] 原式＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝－sin＋cos ＝－sin＋sin＝0.[5分] 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k＋1 (k∈Z)，則[6分] 原式＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin－cos ＝sin－cos ＝sin－sin＝0.[10分] 故sin＋cos＝0.[12分] 溫馨提醒　(1)本題的化簡過程，突出體現(xiàn)了分類討論的思想，當(dāng)然除了運(yùn)用分類討論的思想將n分兩類情況來討論外，在解答過程中還處處體現(xiàn)了化歸思想和整體思想． (2)在轉(zhuǎn)化過程中，缺乏整體意識(shí)，是出錯(cuò)的主要原因. 方法與技巧 同角三角恒等變形是三角恒等變形的基礎(chǔ)，主要是變名、變式． 1． 同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對三角函數(shù)符號(hào)的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時(shí)，進(jìn)行開方時(shí)要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號(hào)后，正確取舍． 2． 三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝化成正弦、余弦函數(shù)；(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin θcos θ)2＝12sin θcos θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化；(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝…. 失誤與防范 1． 利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳． 特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定． 2． 在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào)． 3． 注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．已知α和β的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，且β＝－，則sin α等于 (　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　因?yàn)棣梁挺碌慕K邊關(guān)于直線y＝x對稱，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝. 2． cos(－2 013π)的值為 (　　) A. B．－1 C．－ D．0 答案　B 解析　cos(－2 013π)＝cos(－2 014π＋π)＝cos π＝－1. 3． 已知f(α)＝，則f的值為 (　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　∵f(α)＝＝cos α， ∴f＝cos ＝cos＝cos ＝. 4． 當(dāng)0

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