換個角看問題--數學一題多解

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1、換個角度看問題，這邊風景獨好 一題多解面面觀 山東省鄲城一中梁桂梅 數學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關系。我們在學習每一分 支時，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關系結成一張網，就可覆蓋全部內容，使之融會貫通” ，這 里所說的橫向聯(lián)系， 主要是靠一題多解來完成的。 通過用不同的方法解決同一道數學題， 既 可以開拓解題思路， 鞏固所學知識；又可激發(fā)學習數學的興趣和積極性，達到開發(fā)潛能，發(fā) 展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。 下面僅舉一例進行一題多解和一題多變來說明： 例：已知、》且，求的取值范圍。 解答此題的方法比較多，下面給出幾種常見的思想方法，以作示

2、例。 解法一：（函數思想）由得，則 （）一（一） 由于e [,],根據二次函數的圖象與性質知 當時，取最小值；當或時，取最大值。 評注：函數思想是中學階段基本的數學思想之一，揭示了一種變量之間的聯(lián) 系，往往用函數觀點來探求變量的最值。對于二元或多元函數的最值問題，往往 是通過變量替換轉化為一元函數來解決，這是一種基本的數學思想方法。解決函 數的最值問題，我們已經有比較深的函數理論，函數性質，如單調性的運用、導 數的運用等都可以求函數的最值。 解法二：（三角換元思想）由于，、》，則可設 9 , 9 其中 8 e [,] 則 88 （99）- 88 一（00） — 0 —X 9

3、 于是，當8 —時，取最小值； 當8時，取最小值。 評注：三角換元思想也是高中數學的基本思想方法之一， 通過三角換元就將 問題轉化為三角恒等式變形后來解決，而三角包等變形卻有著一系列的三角公 式，所以運用三角換元解決某些問題往往比較方便。 解法三：（對稱換元思想）由于，、》，則可設 ，一,其中 C [一,] 于是，（）（-） C[,] 所以，當時，取最小值；當時，取最大值。 評注：對稱換元將減元結果進行簡化了，從而更容易求最值。 這三種方法，在本質上都一樣，都是通過函數觀點來求最值，只是換元方式 的不同而已，也就導致了化簡運算量大小不同， 教師通過引導、啟發(fā)學生主動思 考、運

4、用，提高了學生對數學的認識，也增強了學生思維能力的提高。 解法四：（運用基本不等式）由于、》且 則 <,從而 于是，（） 所以，當時，取最大值；當時，取最小值。 評注：運用基本不等式可以解決一些含有兩個未知量的最值問題， 但要注意 等號成立的條件是否同時滿足。 解法四：（解析幾何思想）設，則為動點（，）到原點（，）的距離，于是 x + y = 1 只需求線段｛x至0 上的點到原點的最大和最小距離就可。 J之 十 當點與或重合時，，則（） 當，時），則（） \ 評注：用幾何的觀點研究代數問題，可以加強學生幽幽淪思即勺養(yǎng)成， 使 學生在數和形的理解把握好一個聯(lián)系的尺度，

5、 能夠由數川到形的意父,由形想到 數的結構，從而達到快速解決這類問題的目的。 事實上，有許多解析幾何最值問 題和代數中許多最值問題都可以用類似的方法解決， 這對學生數學思維能力的培 養(yǎng)，有著很積極的作用。 解法五：（數形結合思想）設（>）,此二元方程表示以坐標原點為圓心、 半徑為的動圓，記為。。 x y = 1 于是，問題轉化為。與線段 x.0 豐.、 y-0 有公共點，求的變化范圍。 I 當。經過線段端點時；當。與線段相切時） 則 << 評注：此解法與解法四并無本質區(qū)別，關鍵是數形結合思想的形成。 至此，解答本題的幾種常見方法介紹完畢，下面展示對本題的變式和推廣。 解法六：設z=x2+y2. 2 2 1 2 1 2 1 1 x y=1, z = x y-x—y1=（x ） （y ） . 2 2 2 2 二當x = y =1時，z最小=1.即x2 + y2的最小值為-. 2 2 2 評注：配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結合所求式 子，配方后得兩個實數平方和的形式，從而達到求最值的目的。