線性變換、時(shí)域法、頻域法.ppt

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為這條鐵路而工作！,小故事,盛夏的一天，一群人正在鐵路的路基上工作。這時(shí)，一列緩緩開來的火車打斷了他們的工作?；疖囃Ａ讼聛?，一節(jié)特制的并且?guī)в锌照{(diào)車廂的窗戶被人打開了，一個(gè)低沉、友好的聲音：“大衛(wèi)，是你嗎?” 大衛(wèi)—這群人的主管回答說： “是我，吉姆，見到你真高興?！庇谑?，大衛(wèi)和吉姆—鐵路的總裁，進(jìn)行了愉快的交談。在長達(dá)1個(gè)多小時(shí)的愉快交談之后，兩人熱情地握手道別。,大衛(wèi)下屬立刻包圍了他，對于他是吉姆鐵路總裁的朋友感到非常震驚。大衛(wèi)解釋說，20多年以前他和吉姆是在同一天開始為這條鐵路工作的。 其中一個(gè)下屬半認(rèn)真半開玩笑地問大衛(wèi)，為什么他現(xiàn)在仍在驕陽下工作，而吉姆墨菲卻成了總裁。大衛(wèi)非常惆悵地說“23年前我為1小時(shí)1.75美元的薪水而工作，而吉姆卻是為這條鐵路而工作。” 這就是平凡者與卓越者之間差別的根源所在。,積極心態(tài)的重要性！,態(tài),= 掌控心的能力,第六講 回顧,1、從普通函數(shù)微積分的概念推廣到隨 機(jī)過程均方微積分 2、用自相關(guān)函數(shù)刻劃隨機(jī)過程連續(xù)、可導(dǎo)和可積的條件 3、微分與積分作為線性變換，來看輸出自相關(guān)、輸入與輸出互相關(guān) 4、作為平穩(wěn)隨機(jī)過程，以上2、3有更進(jìn)一步的結(jié)論,,,案例1：濾波器設(shè)計(jì)，如何消除噪聲？ 案例2：信道均衡，如何獲得h(t)估計(jì)？ 案例3：雷達(dá)目標(biāo)估計(jì)、石油探測等 案例4：故障檢測與故障診斷……,回顧線性系統(tǒng)與變換,時(shí)域分析與設(shè)計(jì)方法 頻域分析與設(shè)計(jì)方法,第07講：,主要內(nèi)容,線性系統(tǒng)—描述及其分類 線性系統(tǒng)—基本關(guān)系式 隨機(jī)過程線性變換－時(shí)域法 隨機(jī)過程線性變換－頻域法,一、線性系統(tǒng)—描述及分類,1、描述—系統(tǒng) 2、描述—線性系統(tǒng) 3、分類—基于系統(tǒng)末端特性 4、分類—基于微分方程 5、分類—確定性系統(tǒng),1、系統(tǒng) — 定義,系統(tǒng)定義 為實(shí)現(xiàn)某種特性要求而構(gòu)成的集合 數(shù)學(xué)觀點(diǎn) 系統(tǒng)的輸出只不過是系統(tǒng)對輸入信號(hào)進(jìn)行一定數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果 系統(tǒng)可以看作是由輸入到輸出的數(shù)學(xué)映射,2、系統(tǒng) — 描述,T表示函數(shù)x(t)與y(t)之間對應(yīng)的變換規(guī)則,3、基于系統(tǒng)末端特性的分類,假定對兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果 和 有： 當(dāng) 有,T為確定性變換 T為隨機(jī)性變換,4、基于描述線性系統(tǒng)的微分方程的分類,系數(shù)是隨機(jī)變量，為隨機(jī)系統(tǒng) 系數(shù)是常系數(shù)，為定常線性系統(tǒng),5、分類—確定性系統(tǒng),線性時(shí)不變 非線性時(shí)不變 線性時(shí)變 非線性時(shí)變,二、線性系統(tǒng)—基本關(guān)系式,1、線性系統(tǒng) — 變換規(guī)則 2、線性系統(tǒng) — 疊加性 3、線性系統(tǒng) — 比例性 4、線性系統(tǒng) — 時(shí)不變性 5、線性系統(tǒng) — 數(shù)學(xué)模型 6、線性系統(tǒng) — 頻率響應(yīng),1、線性系統(tǒng)：變換規(guī)則,若x(t)是線性系統(tǒng)的輸入信號(hào)，則輸出y(t)可以表示成 y(t) = L [x(t)] L表示 x(t)和y(t)之間的相對應(yīng)的變換規(guī)則，這個(gè)線性系統(tǒng)就由變換規(guī)則L來定義。,2、線性系統(tǒng) — 疊加性,,對任意的 都成立，則稱該系統(tǒng)具有疊加性,若等式,3、線性系統(tǒng) — 比例性,若k為任一常數(shù)，有下列等式成立 則該系統(tǒng)具有比例性。,4、線性系統(tǒng) — 時(shí)不變性,若線性系統(tǒng)的輸出對輸入的依賴關(guān)系不隨時(shí)間的推移而改變，即 則稱線性系統(tǒng)為具有時(shí)不變性， 例如：常系數(shù)線性微分方程所描述的系統(tǒng)。,如無特殊聲明，以后提到的線性系統(tǒng)都指線性時(shí)不變系統(tǒng)。,5、數(shù)學(xué)模型,線性時(shí)不變系統(tǒng)：常系數(shù)線性微分方程：,思考1：為什么nm? 思考2：拉氏變換與 傅里葉變換,運(yùn)用拉氏變換來解方程式，則有,稱它為系統(tǒng)傳遞函數(shù) 它與系統(tǒng)的特性有關(guān),6、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù),若系統(tǒng)的輸入x(t)是平方可積的函數(shù)，即 則x(t)可表示為傅立葉積分 。,稱為頻譜函數(shù),x(t)是 的極限,若L是連續(xù)的，當(dāng) 收斂于x(t)時(shí)，,比較兩式：,表明了系統(tǒng)輸出、輸入在頻域上的關(guān)系,系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和沖激響應(yīng)函數(shù),利用時(shí)域卷積定理，有 表明了線性系統(tǒng)的輸出是輸入和系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。,物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，也即 其輸出可表述為：,如果h(t)絕對可積，即 則該系統(tǒng)穩(wěn)定。,頻率響應(yīng) 函數(shù)為,三、時(shí)域法－沖擊響應(yīng)法,隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 數(shù)字特征—自相關(guān)函數(shù) 數(shù)字特征—協(xié)方差函數(shù),目的是尋找輸出自相關(guān)、輸入自相關(guān)和系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系,1、線性系統(tǒng)的輸出響應(yīng),沖激響應(yīng)為h(t)，輸入隨機(jī)過程為X(t)， 則系統(tǒng)輸出端的隨機(jī)過程Y(t)為：,1、線性系統(tǒng)的輸出響應(yīng),也即：,系統(tǒng)的輸出響應(yīng) = 系統(tǒng)的輸入過程與沖激響應(yīng)的卷積,2、自相關(guān)函數(shù) 法,若假定輸入、輸出過程均為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且輸入過程的相關(guān)函數(shù)為 則輸出過程的自相關(guān)函數(shù)為,作變量代換，令 ，則有,得到,令z=u-v，并消去u，上式可以改寫為,上式中 稱為系統(tǒng)權(quán)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)。,由此：,可見，輸出過程的自相關(guān)函數(shù)等于輸入過程的自相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)權(quán)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)的卷積。,3、協(xié)方差函數(shù)方法 （一）,輸出過程Y(t)的協(xié)方差函數(shù)為,證明：對于一個(gè)廣義平穩(wěn)過程，有,輸出隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)分別為,因此,類似于求 ，令z=u-v，并消去u,上式可以改寫為：,4、協(xié)方差函數(shù)－方法2,思考題？,既然微分變換與積分變換都是線性變換，那么借用自相關(guān)定理得出的結(jié)論是否與前面介紹的定理一致？ 微分變換的輸出自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)； 積分變換的輸出自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)；,四、頻域法,1、輸出過程的功率譜密度 2、時(shí)域法和頻域法總結(jié),1、功率譜密度,對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，按維納－辛欽定理，輸出過程有 和,將 代入式 可得：,令 ，則 有,－ 是功率增益因子，無相位，功率譜密度是無相位的實(shí)函數(shù)。 即輸出功率譜密度僅與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的幅頻特性有關(guān)，而與其相頻特性無關(guān)。,直接求解???,兩邊求傅里葉變換,問題：復(fù)雜證明的意義何在？可以簡化證明嗎？,舉例說明,已知輸入平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù) ，求通過RC積分電路后，輸出隨機(jī)過程Y(t)在穩(wěn)態(tài)時(shí)的相關(guān)函數(shù)。 解：第一種方法，時(shí)域法： 線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)為,第一項(xiàng)積分,第二項(xiàng)積分,于是可得：,第二種方法：頻域法,輸入過程得功率譜密度,RC積分電路傳遞函數(shù)：,2、時(shí)域法 總結(jié),時(shí)域法是求隨機(jī)過程線性變換后輸出隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的一種基本方法。 優(yōu)點(diǎn)： 可以用于平穩(wěn)與非平穩(wěn)輸出過程的相關(guān)函數(shù)。 當(dāng)系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)h(t)比較簡單時(shí)，應(yīng)用此法比較方便。,2、時(shí)域法和頻域法總結(jié),頻譜法簡單，但是只能用于輸出為平穩(wěn)過程！,為什么強(qiáng)調(diào)？,因?yàn)椋狠斎肫椒€(wěn)過程輸出不一定時(shí)平穩(wěn)過程！,本次作業(yè),P128, 第6、第7 P129， 第9,,謝謝大家,,