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1、
一題多解、一題多變
原題條件或結(jié)論的變化
所謂條件或結(jié)論的變化，就是對某一問題的條件或結(jié)論進(jìn)行變化探討，并針對問題的內(nèi)涵與外延進(jìn)行深入與拓展，從而得到一類變式題組。通過對問題的分析解決，使我們掌握某類問題的題型結(jié)構(gòu)，深入認(rèn)識問題的本質(zhì)，提高解題能力。
例1 求證：順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。
變式1 求證：順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。
變式2 求證：順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形。
變式3 求證：順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形。
變式4 順次連接什么四邊形各邊中點(diǎn)可以得到平行四邊形？
變式5 順次連接什么四邊
2、形各邊中點(diǎn)可以得到矩形？
變式6 順次連接什么四邊形各邊中點(diǎn)可以得到菱形？
……
通過這樣一系列變式訓(xùn)練，使學(xué)生充分掌握了四邊形這一章節(jié)所有基礎(chǔ)知識和基本概念，強(qiáng)化溝通了常見特殊四邊形的性質(zhì)定理、判定定理、三角形中位線定理等，極大地拓展了學(xué)生的解題思路，活躍了思維，激發(fā)了興趣。
一、 幾何圖形形狀的變化
如圖1，分別以RtABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別為，則之間的關(guān)系是
圖1 圖2 圖3
變式1
3、：如圖2，如果以RtABC的三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別為，則之間的關(guān)系是
變式2：如圖3，如果以RtABC的三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別為，則之間的關(guān)系是
變式3：如果以RtABC的三邊為邊向外作三個(gè)一般三角形，其面積分別為，為使之間仍具有上述這種關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件？證明你的結(jié)論。
之間的關(guān)系是
圖4 圖5 圖6
之間的關(guān)系是
4、
之間的關(guān)系是
上述題組設(shè)置由易到難，層次分明，把學(xué)生的思維逐漸引向深入。這樣的安排不僅使學(xué)生復(fù)習(xí)了勾股定理，又在逐漸深入的問題中品嘗到成功的喜悅；既掌握了基礎(chǔ)知識，也充分認(rèn)識了問題的本質(zhì)，可謂是一舉兩得。
二、 圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化
例2.已知：如圖7，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM、CBN是等邊三角形。
求證：AN=BM
圖7 圖8
≌
5、
變式1：在例2中，連接DE，求證：（1）DCE是等邊三角形（2）DE//AB
分析：(1)可證≌，則DC=EC,因?yàn)椤螪CE=,所以DCE是等邊三角形。
(2)由（1）易證∠EDC=∠ACM=,所以DE//AB
變式2：例2中，連接CF，求證：CF平分∠AFB
分析：過點(diǎn)C作CG⊥AN于G,CH⊥BM于H,由≌，可得到CG=CH,
所以CF平分∠AFB
變式3：如圖8，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM、CBN是等邊三角形，P是AN的中
6、點(diǎn)，Q是BM的中點(diǎn)，求證：是等邊三角形
證明：≌
,
≌
圖7是一個(gè)很常見的圖形，其中蘊(yùn)含著很多的關(guān)系式，此題還可
適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生探索當(dāng)點(diǎn)C不在線段AB上時(shí)所產(chǎn)生的圖形中的一些結(jié)論，通過該題的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生利用自己已有的知識去探索、猜想，進(jìn)而培養(yǎng)了學(xué)生思維的創(chuàng)造性。
三、 因某一基本問題遷移的變化
例4如圖9，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，問泵站修在什么地方使所用的輸氣管線最短？ 圖9
分析：設(shè)泵站應(yīng)建在P處。取點(diǎn)B關(guān)于L的對稱點(diǎn)B’,如圖1，PB’=PB,要
7、使PA+PB最小只要PB’+PA最小，而兩點(diǎn)之間距離最短，連接AB’與L的交點(diǎn)P即是泵站所建的位置。本題特點(diǎn)：一直線同旁有兩定點(diǎn)，關(guān)鍵要在直線上確定動(dòng)點(diǎn)的位置，使動(dòng)點(diǎn)到定
點(diǎn)的距離之和最短，我們常常把這類問題稱作“泵站問題”。
變式1：如圖2，在ABC中，AC=BC=2,∠ACB=,D是BC的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值是
圖2
解：C、D是兩定點(diǎn)，E是在直線AB上移動(dòng)的一動(dòng)點(diǎn)，以CA、CB為邊作正方形ACBF，則C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)一定是F,連接DF交AB于E,這時(shí)EC+ED最小。因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，在直角三角形FBD中，
8、
.
變式2：如圖3，點(diǎn)P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值
分析：M、N是兩定點(diǎn)，P是在直線AC上移動(dòng)的一動(dòng)點(diǎn)，作N關(guān)于AC的對稱點(diǎn)G，由于四邊形ABCD是菱形，所以G一定在DC上，且為DC的中點(diǎn)，連接MG交AC于P,四邊形AMGD為平行四邊形，連接PM、PN，則PM+PN最小，PM+PN=PM+PG=MG=BC=1
變式3：如圖，梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=AD=1, ∠B=,直線MN為梯形的對稱軸，P為MN上一點(diǎn)，那么PC+PD的最小值為
解:C、D是兩定點(diǎn)，P
9、是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)閳D形ABCD中，AD//BC,AB=CD=AD=1,所以四邊形ABCD為等腰梯形，而直線MN為梯形ABCD的對稱軸，則D關(guān)于MN的對稱點(diǎn)是A點(diǎn)，連接AC交MN于點(diǎn)P,連接PD,則有PA=PD,要使PC+PD的值最小，就要使PA+PC最小，所以PC+PD=PA+PC=AC,因?yàn)椤螧=，可證得為直角三角形，AC=ABtan∠B=1tan=,則PC+PD
的最小值為.
變式4：如圖，已知⊙O的半徑為r , C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，弧AC的度數(shù)為，弧BD的度數(shù)為,動(dòng)點(diǎn)P在AB上，則CP+PD的最小值為
解：如圖，設(shè)D’是D關(guān)于直徑AB的對稱點(diǎn)，連接CD’交AB于P，則P點(diǎn)使CP+PD最小。
弧CD的度數(shù)為，弧CD’的度數(shù)為，
所以∠COD’=,從而易求CP+PD=CD’=,所以CP+PD的最小值為.
本例利用“泵站問題”進(jìn)行遷移變式，逐步探究了幾種常見的圖形中兩條線段之和最短問題，這樣有利于學(xué)生解題思想方法的形成、鞏固，達(dá)到了透徹理解該基本問題的目的。
初中數(shù)學(xué)一題多變、一題多解
