2021年全國乙卷高考理科數學真題及答案

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1、2021年全國乙卷高考理科數學真題及答案 注意事項： 1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。 2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.設2（z+z）+3(z-z)=4+6i，則z=( ). A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i 2.已知集合S=｛s|s=2

2、n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，則S∩T=( ) A.? B.S C.T D.Z 3.已知命題p：?x∈R，sinx＜1；命題q：?x∈R，e|x|≥1，則下列命題中為真命題的是（ ） A.p∧q B.p∧q C.p∧q D.(pVq) 4.設函數f(x)=1-x1+x，則下列函數中為奇函數的是（ ） A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為（ ） A.π2 B. π3 C. π4 D. π6

3、 6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ） A.60種 B.120種 C.240種 D.480種 7.把函數y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數y=sin(x-π4)的圖像，則f(x)=（ ） A.sin(x2-7π12) B. sin(x2+π12) C. sin(2x-7π12) D. sin(2x+π12) 8.在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機取1個數，則兩數之和大于74的概

4、率為（ ） A. 74 B. 2332 C. 932 D. 29 9.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海盜的高。如圖，點E,H,G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”。則海島的高AB=（ ）. A：表高表距表目距的差+表高 B：表高表距表目距的差-表高 C：表高表距表目距的差+表距 D：表高表距表目距的差-表距 10.設a≠0，若x=a為函數fx=ax-a2x-b的極大值點，則（ ）. A：a＜b B：

5、a＞b C：ab＜a2 D：ab＞a2 11.設B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足PB≤2b，則C的離心率的取值范圍是（ ）. A：22,1 B：12,1 C：0,22 D：0,12 12.設a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，則（ ）. A：a＜b＜c B：b＜c＜a C：b＜a＜c D：c＜a＜b 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13.已知雙曲線C：x2m-y2=1（m>0）的一條漸近線為3x+my=0，則C的焦距為 . 14.已知向量a=（1，3），b=

6、（3，4），若（a-λb）⊥b，則λ= 。 15.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為3，B=60，a2+c2=3ac，則b= . 16.以圖①為正視圖和俯視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為 （寫出符合要求的一組答案即可）. 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。 （一）必考題：共60分。 17.（12分） 某廠研

7、究了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下： 舊設備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新設備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為x和y，樣本方差分別記為s12和s22 （1） 求x，y， s12，s22； （2） 判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如

8、果y-x≥2s12+s222，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）. 18.(12分) 如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點，且PB⊥AM， （1） 求BC； （2） 求二面角A-PM-B的正弦值。 19.（12分） 記S n為數列{an}的前n項和，bn為數列{Sn}的前n項和，已知2Sn+1bn=2. （1） 證明：數列{bn}是等差數列； （2） 求{an}的通項公式. 20.（12分） 設函數f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數y=xf（x）的極值點。 （1）

9、求a； （2） 設函數g（x）=x+f（x）xf（x），證明：g（x）＜1. 21.（12 分） 己知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4. （1）求p； （2）若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求ΔPAB的最大值. （二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22.［選修4一4：坐標系與參數方程］（10分） 在直角坐標系xOy中，⊙C的圓心為C（2，1），半徑為1. （1）寫出⊙C的一個參數方程；的極坐標方程化為直角坐標方程； （2）過點

10、F（4,1）作⊙C的兩條切線, 以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條直線的極坐標方程. 23.[選修4一5：不等式選講]（10分） 已知函數f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）當a=1時，求不等式f（x）≥6的解集； （2）若f（x）≥ —a ,求a的取值范圍. 理科數學乙卷（參考答案） 注意事項： 1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。 2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3.考試結束

11、后，將本試卷和答題卡一并交回 1-5 CCABD 6-10 CBBAD 11-12 CB 13.4 14.35 15.22 16.②⑤或③④ 17.解：（1）各項所求值如下所示 x=110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 y=110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3 s12=110x [(9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (1

12、0.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2] = 0.36, s22=110 x [(10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2] = 0.4. (2)由(1)中數據得y-x=0.3,2s12+s2210≈0.34 顯然y-x＜2s12+s2210，所以不認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高。 18.解：（1）因為PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以DA, DC, DP分別

13、為x，y，z軸正方向，D為原點建立空間直角坐標系D-xyz。 設BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（t2，1，0），P(0,0,1),所以PB=（t，1，-1），AM=（-12，1，0）， 因為PB⊥AM，所以PB?AM=-t22+1=0，所以t=2，所以BC=2。 （2）設平面APM的一個法向量為m=（x，y，z），由于AP=（-2，0，1），則 m?AP=-2x+z=0m?AM=-22x+y=0 令x=2，得m=（2，1，2）。 設平面PMB的一個法向量為n=（xt，yt，zt），則 n?CB=2xt=0n?PB=2xt+yt-zt=0 令yt=1，得n=(0

14、,1,1). 所以cos（m，n）=m?nm|n|=37 ╳2=31414,所以二面角A-PM-B的正弦值為7014. 19.（1）由已知2Sn+1bn=2,則bnbn+1=Sn(n≥2) ?2bn-1bn+1bn=2?2bn-1+2=2bn?bn-bn-1=12(n≥2),b1=32 故｛bn｝是以32為首項，12為公差的等差數列。 （2）由（1）知bn=32+（n-1）12=n+22,則2Sn+2n+2=2?Sn=n+2n+1 n=1時，a1=S1=32 n≥2時，an=Sn-Sn-1=n+2n+1-n+1n=-1n(n+1) 故an=32,n=1-1nn+1,n≥2

15、 20.（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x) 當x=0時，[xf(x)]′=f(0)=lna=0,所以a=1 （2）由f(x)=ln(1-x),得x＜1 當0＜x＜1時，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；當x＜0時，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0 故即證x+f(x)＞xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0 令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t,即證1-t+lnt-(1-t)lnt＞0 令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,則 f′(t)=-1-1t-[(-1)lnt+1-tt]=-1+1t+lnt-1-tt=ln

16、t 所以f(t)在（0,1）上單調遞減，在（1,+∞）上單調遞增，故f(t)＞f（1）=0,得證。 21.解：（1）焦點F0,P2到x2+y+42=1的最短距離為P2+3=4，所以p=2. （2）拋物線y=14x2，設A(x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0)，則 lPA=y=12x1x-χ1+y1=12x1X-14x12=12x1x-y1, lPB:y=12x2x-y2,且x02=-y02-8y0-15. lPA, lPB都過點P(x0,y0）,則y0=12x1x0-y1,y0=12x2x0-y2,故lAB:y0=12x0x-y，即y=12x0x-y0. 聯(lián)立y=

17、12x0x-y0x2=4y，得x2-2x0x+4y0=0，Δ=4x02-16y0. 所以AB=1+x024?4x02-16y0=4+x02?x02-4y0 ，dP→AB=x02-4y0x02+4，所以 S△PAB=12AB?dP→AB=12x02-4y0?x02-4y0=12x42-4y032=12-y02-12y0-1532. 而y0∈-5,-3.故當y0=-5時，S△PAB達到最大，最大值為205. 22. (1)因為⊙C的圓心為(2,1)，半徑為1.故⊙C的參數方程為x=2+cosθy=1+sinθ（θ為參數). (2)設切線y=k（x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故

18、 |2k-1-4k+1|1+k2 =1 即|2k|=1+k2,4k2=1+k2，解得k=33.故直線方程為y=33 (x-4)+1, y=-33 (x-4)+1 故兩條切線的極坐標方程為ρsinθ= 33cosθ - 433+1或ρsinθ= 33cosθ + 433+1. 23.解：(l)a = 1時，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3|≥ 6 的解集. 當x≥1時，2x十2 ≥6,得x≥ 2; 當-3-a,而由絕對值的幾何意義，即求x到a和-3距離的最小值. 當x在a和-3之間時最小，此時f(x)最小值為|a+3|,即|a+3|＞-a. A≥-3時,2a+3>0，得a>-32；a<-3 時,-a-3>-a,此時a不存在. 綜上，a>-32.