《2021年全國(guó)乙卷高考理科數(shù)學(xué)真題及答案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2021年全國(guó)乙卷高考理科數(shù)學(xué)真題及答案(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2021年全國(guó)乙卷高考理科數(shù)學(xué)真題及答案注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)2(z+z)+3(z-z)=4+6i,則z=( ).A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.已知集合S=s|s=2n+1,nZ,T=t|t=4n+1,nZ,則S
2、T=( )A. B.S C.T D.Z3.已知命題p:xR,sinx1;命題q:xR,e|x|1,則下列命題中為真命題的是( )A.pqB.pqC.pqD.(pVq)4.設(shè)函數(shù)f(x)=1-x1+x,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( )A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點(diǎn),則直線PB與AD1所成的角為( )A.2B. 3C. 4D. 66.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有( )A.
3、60種B.120種C.240種D.480種7.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍,縱坐標(biāo)不變,再把所得曲線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=sin(x-4)的圖像,則f(x)=( )A.sin(x2-712)B. sin(x2+12)C. sin(2x-712)D. sin(2x+12)8.在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù),則兩數(shù)之和大于74的概率為( )A. 74 B. 2332 C. 932 D. 299.魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的海島算經(jīng)是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測(cè)量海盜的高。如圖,點(diǎn)E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿
4、的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”。則海島的高AB=( ).A:表高表距表目距的差+表高B:表高表距表目距的差-表高C:表高表距表目距的差+表距D:表高表距表目距的差-表距10.設(shè)a0,若x=a為函數(shù)fx=ax-a2x-b的極大值點(diǎn),則( ).A:abB:abC:aba2D:aba211.設(shè)B是橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的上頂點(diǎn),若C上的任意一點(diǎn)P都滿足PB2b,則C的離心率的取值范圍是( ).A:22,1B:12,1C:0,22D:0,1212.設(shè)a=2ln1.01,b=ln1.02,c=1.04-1,則( ).
5、A:abcB:bcaC:bacD:cab二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線C:x2m-y2=1(m0)的一條漸近線為3x+my=0,則C的焦距為 .14.已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-b)b,則= 。15.記ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為3,B=60,a2+c2=3ac,則b= .16.以圖為正視圖和俯視圖,在圖中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖,組成某個(gè)三棱錐的三視圖,則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為 (寫(xiě)出符合要求的一組答案即可).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題為必考題,每個(gè)試題
6、考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17.(12分)某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高,用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x和y,樣本方差分別記為s12和s22(1) 求x,y, s12,s22;(2) 判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高
7、(如果y-x2s12+s222,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高).18.(12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,PD=DC=1,M為BC的中點(diǎn),且PBAM,(1) 求BC;(2) 求二面角A-PM-B的正弦值。19.(12分)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,bn為數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和,已知2Sn+1bn=2.(1) 證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列;(2) 求an的通項(xiàng)公式.20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn)。(1) 求a;(2) 設(shè)函數(shù)g(x)=x+f(x)xf(x),證明:g(x)
8、1.21.(12 分)己知拋物線C:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p;(2)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求PAB的最大值.(二)選考題:共10分,請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。22.選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,C的圓心為C(2,1),半徑為1.(1)寫(xiě)出C的一個(gè)參數(shù)方程;的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)點(diǎn)F(4,1)作C的兩條切線, 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求這兩條直線的極坐標(biāo)方程.23.選修4一5:
9、不等式選講(10分)已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)6的解集;(2)若f(x) a ,求a的取值范圍.理科數(shù)學(xué)乙卷(參考答案)注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回1-5 CCABD 6-10 CBBAD11-12 CB13.414.3515.2216.或17.解:(1)各項(xiàng)所求值如下所示x=110(9.8+
10、10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0y=110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3s12=110x (9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2 = 0.36,s22=110 x (10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10
11、.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2 = 0.4.(2)由(1)中數(shù)據(jù)得y-x=0.3,2s12+s22100.34顯然y-x2s12+s2210,所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高。18.解:(1)因?yàn)镻D平面ABCD,且矩形ABCD中,ADDC,所以以DA, DC, DP分別為x,y,z軸正方向,D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。設(shè)BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(t2,1,0),P(0,0,1),所以PB=(t,1,-1),AM=(-12,1,0),因?yàn)镻BAM,所以PBAM=-t22+1=0,所以t=2,所以
12、BC=2。(2)設(shè)平面APM的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),由于AP=(-2,0,1),則mAP=-2x+z=0mAM=-22x+y=0令x=2,得m=(2,1,2)。設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為n=(xt,yt,zt),則nCB=2xt=0nPB=2xt+yt-zt=0令yt=1,得n=(0,1,1).所以cos(m,n)=mnm|n|=37 2=31414,所以二面角A-PM-B的正弦值為7014.19.(1)由已知2Sn+1bn=2,則bnbn+1=Sn(n2)2bn-1bn+1bn=22bn-1+2=2bnbn-bn-1=12(n2),b1=32故bn是以32為首項(xiàng),12為公差的等差數(shù)
13、列。(2)由(1)知bn=32+(n-1)12=n+22,則2Sn+2n+2=2Sn=n+2n+1n=1時(shí),a1=S1=32n2時(shí),an=Sn-Sn-1=n+2n+1-n+1n=-1n(n+1)故an=32,n=1-1nn+1,n220.(1)xf(x)=xf(x)+xf(x)當(dāng)x=0時(shí),xf(x)=f(0)=lna=0,所以a=1(2)由f(x)=ln(1-x),得x1當(dāng)0x1時(shí),f(x)=ln(1-x)0,xf(x)0;當(dāng)x0時(shí),f(x)=ln(1-x)0,xf(x)0故即證x+f(x)xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)0令1-x=t(t0且t1),x=1-t,即證1-t+l
14、nt-(1-t)lnt0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,則f(t)=-1-1t-(-1)lnt+1-tt=-1+1t+lnt-1-tt=lnt所以f(t)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增,故f(t)f(1)=0,得證。21.解:(1)焦點(diǎn)F0,P2到x2+y+42=1的最短距離為P2+3=4,所以p=2.(2)拋物線y=14x2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則lPA=y=12x1x-1+y1=12x1X-14x12=12x1x-y1,lPB:y=12x2x-y2,且x02=-y02-8y0-15.lPA, lPB都過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),則
15、y0=12x1x0-y1,y0=12x2x0-y2,故lAB:y0=12x0x-y,即y=12x0x-y0.聯(lián)立y=12x0x-y0x2=4y,得x2-2x0x+4y0=0,=4x02-16y0.所以AB=1+x0244x02-16y0=4+x02x02-4y0 ,dPAB=x02-4y0x02+4,所以SPAB=12ABdPAB=12x02-4y0x02-4y0=12x42-4y032=12-y02-12y0-1532.而y0-5,-3.故當(dāng)y0=-5時(shí),SPAB達(dá)到最大,最大值為205.22. (1)因?yàn)镃的圓心為(2,1),半徑為1.故C的參數(shù)方程為x=2+cosy=1+sin(為參數(shù))
16、. (2)設(shè)切線y=k(x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故|2k-1-4k+1|1+k2 =1即|2k|=1+k2,4k2=1+k2,解得k=33.故直線方程為y=33 (x-4)+1, y=-33 (x-4)+1故兩條切線的極坐標(biāo)方程為sin= 33cos - 433+1或sin= 33cos + 433+1.23.解:(l)a = 1時(shí),f(x) = |x-1|+|x+3|, 即求|x-1|+|x-3| 6 的解集.當(dāng)x1時(shí),2x十2 6,得x 2;當(dāng)-3x-a,而由絕對(duì)值的幾何意義,即求x到a和-3距離的最小值.當(dāng)x在a和-3之間時(shí)最小,此時(shí)f(x)最小值為|a+3|,即|a+3|-a.A-3時(shí),2a+30,得a-32;a-a,此時(shí)a不存在.綜上,a-32.