高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第23練 數(shù)列求和問題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第23練 數(shù)列求和問題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第23練 數(shù)列求和問題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第23練　數(shù)列求和問題 [題型分析·高考展望]　數(shù)列求和是數(shù)列部分高考考查的兩大重點(diǎn)之一，主要考查等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及其他求和方法，尤其是錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，常與通項(xiàng)公式相結(jié)合考查，有時(shí)也與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)交匯，綜合命題． 體驗(yàn)高考 1．(2015·安徽)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于________． 答案　27 解析　由已知數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列．∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27. 2．(2016·浙江)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2

2、Sn＋1，n∈N*，則a1＝______，S5＝______. 答案　1　121 解析　由解得a1＝1，a2＝3， 當(dāng)n≥2時(shí)，由已知可得： an＋1＝2Sn＋1，① an＝2Sn－1＋1，② ①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1， ∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列． ∴Sn＝(3n－1)．∴S5＝121. 3．(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 解　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，① 可知a＋2an

3、＋1＝4Sn＋1＋3.② ②－①可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由于an>0，可得an＋1－an＝2. 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝. 4．(2016·山東)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求數(shù)列{bn

4、}的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)由題意知，當(dāng)n≥2時(shí)， Sn－1＝3n2＋2n－5，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝11，符合{an}通項(xiàng)公式， 所以an＝6n＋5. 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d.由 即可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]． 兩式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…

5、＋2n＋1 －(n＋1)×2n＋2]＝3× ＝－3n·2n＋2， 所以Tn＝3n·2n＋2. 高考必會(huì)題型 題型一　分組轉(zhuǎn)化法求和 例1　(2016·天津)已知{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)若對(duì)任意的n∈N*，bn是log2an與log2an＋1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{(－1)nb}的前2n項(xiàng)和． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q. 由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1. 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1， 所以a1·＝63，得a1＝1. 所以an＝2n－1. (2)由題意，得bn＝(log

6、2an＋log2an＋1) ＝(log22n－1＋log22n)＝n－， 即{bn}是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列． 設(shè)數(shù)列{(－1)nb}的前n項(xiàng)和為Tn，則 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝＝2n2. 點(diǎn)評(píng)　分組求和常見的方法：(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組，即分組后，每一組可能是等差數(shù)列或等比數(shù)列；(2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組；(3)根據(jù)數(shù)列的周期性分組；(4)根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分組． 變式訓(xùn)練1　(2016·浙江)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通

7、項(xiàng)公式an； (2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項(xiàng)和． 解　(1)由題意得則又當(dāng)n≥2時(shí)， 由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an， 得an＋1＝3an. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1，n∈N*. (2)設(shè)bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*， 則b1＝2，b2＝1， 當(dāng)n≥3時(shí)，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T1＝2，T2＝3， 當(dāng)n≥3時(shí)，Tn＝3＋－ ＝， 所以Tn＝ 題型二　錯(cuò)位相減法求和 例2　(2015·湖北)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn

8、，等比數(shù)列{bn}的公比為q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1) 求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2) 當(dāng)d>1時(shí)，記cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)由題意有，即 解得或 故或 (2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是 Tn＝1＋＋＋＋＋…＋， ① Tn＝＋＋＋＋＋…＋. ② ①－②可得 Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－， 故Tn＝6－. 點(diǎn)評(píng)　錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn) (1)適用題型：等差數(shù)列{an}乘以等比數(shù)列{bn}對(duì)應(yīng)項(xiàng)“{an·bn}”型數(shù)列求和． (2)步驟： ①求和時(shí)先

9、乘以數(shù)列{bn}的公比； ②把兩個(gè)和的形式錯(cuò)位相減； ③整理結(jié)果形式． 變式訓(xùn)練2　(2015·山東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn＝3n＋3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足anbn＝log3an，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)因?yàn)?Sn＝3n＋3， 所以2a1＝3＋3，故a1＝3， 當(dāng)n＞1時(shí)，2Sn－1＝3n－1＋3， 此時(shí)2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 即an＝3n－1， 所以an＝ (2)因?yàn)閍nbn＝log3an， 所以，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝，所以T1＝b1＝； 當(dāng)n＞1時(shí)，bn＝31

10、－nlog33n－1＝(n－1)·31－n. 所以，當(dāng)n＞1時(shí)，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)， 所以3Tn＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n)， 兩式相減，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n ＝＋－(n－1)×31－n ＝－，所以Tn＝－， 經(jīng)檢驗(yàn)，n＝1時(shí)也適合． 綜上可得Tn＝－. 題型三　裂項(xiàng)相消法求和 例3　若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(an，Sn)在y＝－x的圖象上(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若c1＝0，且對(duì)任意

11、正整數(shù)n都有cn＋1－cn＝logan，求證：對(duì)任意正整數(shù)n≥2，總有≤＋＋＋…＋＜. (1)解　∵Sn＝－an， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an， ∴an＝an－1. 又∵S1＝－a1，∴a1＝， ∴an＝()n－1＝()2n＋1. (2)證明　由cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，得 當(dāng)n≥2時(shí)，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1) ＝0＋3＋5＋…＋(2n－1) ＝n2－1＝(n＋1)(n－1)． ∴＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝×[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝[(1＋)－(＋)] ＝－(＋)<.

12、又∵＋＋＋…＋≥＝， ∴原式得證． 點(diǎn)評(píng)　(1)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，消去一部分從而計(jì)算和的方法，適用于求通項(xiàng)為的前n項(xiàng)和，其中{an}若為等差數(shù)列，則＝·(－)．其余還有公式法求和等． (2)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)． 變式訓(xùn)練3　等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)由a1＝10，a2為整數(shù)， 知等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù)． 又Sn≤S4，故a4≥0，a

13、5≤0， 于是10＋3d≥0,10＋4d≤0. 解得－≤d≤－.因此d＝－3. 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝13－3n. (2)bn＝＝. 于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝. 高考題型精練 1．已知數(shù)列1，3，5，7，…，則其前n項(xiàng)和Sn為(　　) A．n2＋1－ B．n2＋2－ C．n2＋1－ D．n2＋2－ 答案　A 解析　因?yàn)閍n＝2n－1＋， 則Sn＝n＋＝n2＋1－. 2．已知數(shù)列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵an＝＝， ∴bn＝

14、＝＝4， ∴Sn＝4 ＝4(1－)＝. 3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項(xiàng)之和S100等于(　　) A．200 B．－200 C．400 D．－400 答案　B 解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 4．已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　) A．0 B．100 C．－100 D．10 200 答案　B 解析　由題意，得a1＋a

15、2＋a3＋…＋a100 ＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.故選B. 5．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，則其前n項(xiàng)和Sn為(　　) A．1－ B.－－ C.－－ D.－－ 答案　D 解析　因?yàn)閍n＝＝－， 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝1－＋－＋－＋…＋－＋－ ＝1＋－－ ＝－－. 故選D. 6．已知數(shù)列{an}為等

16、比數(shù)列，前三項(xiàng)為：a，a＋，a＋，且Sn＝a1＋a2＋…＋an，則Tn＝a＋a＋…＋a等于(　　) A．9 B．81 C. D．81 答案　C 解析　由2＝a 解得a＝3(a＝－1舍去)， Tn＝a＋a＋…＋a＝＝. 7．對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝1，{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為an＋1－an＝2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________. 答案　2n＋1－n－2 解析　因?yàn)閍n＋1－an＝2n， 應(yīng)用累加法可得an＝2n－1， 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝2＋22＋23＋…＋2n－n ＝－

17、n ＝2n＋1－n－2. 8．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________. 答案　2n＋1－2＋n2 解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2. 9．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為________． 答案　1 830 解析　∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59

18、＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝＝1 830. 10．在等比數(shù)列{an}中，a1＝3，a4＝81，若數(shù)列{bn}滿足bn＝log3an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝________. 答案　 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則＝q3＝27，解得q＝3. 所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n， 所以＝＝－. 則數(shù)列的前n項(xiàng)和為1－＋－＋…＋－＝1－＝. 11．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn

19、，點(diǎn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝3x－2的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m. 解　(1)依題意得，＝3n－2，即Sn＝3n2－2n. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5， 所以an＝6n－5(n∈N*)． (2)由(1)得bn＝＝ ＝. 故Tn＝n ＝ ＝. 因此，使得＜(n∈N*)成立的m必須滿足≤，即m≥10， 故滿足要求的最小正整數(shù)m為10.

20、 12．在數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)∵{an－1}是等比數(shù)列且a1－1＝2， a2－1＝4，＝2， ∴an－1＝2·2n－1＝2n， ∴an＝2n＋1. (2)bn＝nan＝n·2n＋n， 故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)． 令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 則2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1. 兩式相減，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝－n·2n＋1， ∴T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1. ∵1＋2＋3＋…＋n＝， ∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋.