2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題（解析版）

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1、2021年高考全國統(tǒng)一考試（文科數(shù)學） 一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1. 已知全集，集合，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先進行并集運算，然后進行補集運算即可. 【詳解】由題意可得：，則. 故選：A. 2. 設，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由題意結合復數(shù)的運算法則即可求得z的值. 【詳解】由題意可得：. 故選：C. 3. 已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（ ） A. B.

2、 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題的真假性，由此確定正確選項. 【詳解】由于，所以命題為真命題； 由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題； 所以為真命題，、、為假命題. 故選：A． 4. 函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ） A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 【答案】C 【解析】 【分析】利用輔助角公式化簡，結合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值. 【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為. 故選：C． 5. 若滿足約束條件則的最小值為（ ）

3、A. 18 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由題意作出可行域，變換目標函數(shù)為，數(shù)形結合即可得解. 詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示， 由可得點, 轉換目標函數(shù)為， 上下平移直線，數(shù)形結合可得當直線過點時,取最小值， 此時. 故選：C. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由題意結合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【詳解】由題意， . 故選：D. 7. 在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析

4、】 【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出. 【詳解】設“區(qū)間隨機取1個數(shù)”，對應集合為： ，區(qū)間長度為， “取到的數(shù)小于”， 對應集合為：，區(qū)間長度為， 所以． 故選：B． 8. 下列函數(shù)中最小值為4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意． 【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意； 對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意； 對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當

5、且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意； 對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當，，D不符合題意． 故選：C． 9. 設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可. 【詳解】由題意可得， 對于A，不是奇函數(shù)； 對于B，是奇函數(shù)； 對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)； 對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù). 故選：B 10. 在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

6、 【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可. 【詳解】 如圖，連接，因為∥， 所以或其補角為直線與所成的角， 因為平面，所以，又，， 所以平面，所以， 設正方體棱長為2，則， ，所以. 故選：D 11. 設B是橢圓上頂點，點P在C上，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】設點，由依題意可知，，，再根據(jù)兩點間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質求出最大值． 【詳解】設點，因為，，所以 ， 而，所以當時，的最大值為． 故選：A． 12. 設，若為函數(shù)的極大值點，則（

7、） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否編號，結合極大值點的性質，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項. 【詳解】若，則為單調函數(shù)，無極值點，不符合題意，故. 有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的. 當時，由，，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，，故. 當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示： 由圖可知，，故. 綜上所述，成立. 故選：D 【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質，利用數(shù)形結

8、合的數(shù)學思想方法可以快速解答. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13. 已知向量，若，則_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行充分必要條件得到關于的方程，解方程即可求得實數(shù)的值. 【詳解】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：， 解方程可得：. 故答案為：. 14. 雙曲線右焦點到直線的距離為________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出右焦點坐標，再利用點到直線的距離公式求解. 【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點為， 所以右焦點到直線的距離為. 故答案為： 15. 記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面

9、積為，，，則________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面積公式可得，再結合余弦定理即可得解. 【詳解】由題意，， 所以， 所以，解得（負值舍去）. 故答案為：. 16. 以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為_________（寫出符合要求的一組答案即可）． 【答案】③④（答案不唯一） 【解析】 【分析】由題意結合所給圖形確定一組三視圖的組合即可. 【詳解】選擇側視圖為③，俯視圖為④， 如圖所示，長方體中，， 分別為棱的中點， 則正視圖①，側視圖③，俯視圖④對應的幾

10、何體為三棱錐. 故答案為：③④. 三、解答題．共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． （一）必考題：共60分． 17. 某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數(shù)據(jù)如下： 舊設備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新設備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 1

11、0.5 10.4 10.5 舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和． （1）求，，，； （2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）． 【答案】（1）；（2）新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高. 【解析】 【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差. （2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結合（1）的結論進行判斷. 【詳解】（1）， ， ， . （2）依題意，，， ，所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊

12、設備有顯著提高. 18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且． （1）證明：平面平面； （2）若，求四棱錐的體積． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面； （2）由（1）可知，，由平面知識可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出． 【詳解】（1）因為底面，平面， 所以， 又，， 所以平面， 而平面， 所以平面平面． （2）由（1）可知，平面，所以， 從而，設，， 則，即，解得，所以． 因為底面， 故四棱錐的體積為． 1

13、9. 設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列． （1）求和的通項公式； （2）記和分別為和的前n項和．證明：． 【答案】（1），；（2）證明見解析. 【解析】 【分析】利用等差數(shù)列的性質及得到，解方程即可； 利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可. 【詳解】因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）證明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. 20. 已知拋物線的焦點F到準線的距離為2． （1）求C的方程; （2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜

14、率的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值為. 【解析】 【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解； （2）設，由平面向量的知識可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解. 【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為， 由題意，該拋物線焦點到準線的距離為， 所以該拋物線的方程為； （2）設，則， 所以， 由在拋物線上可得，即， 所以直線的斜率， 當時，； 當時，， 當時，因為， 此時，當且僅當，即時，等號成立； 當時，； 綜上，直線的斜率的最大值為. 21. 已知函數(shù)． （1）討論的單調性； （2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．

15、【答案】(1)答案見解析；(2) 和. 【解析】 【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調性； (2)首先求得導數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標. 【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：， 導函數(shù)的判別式， 當時，在R上單調遞增， 當時，的解為：， 當時，單調遞增； 當時，單調遞減； 當時，單調遞增； 綜上可得：當時，在R上單調遞增， 當時，在，上 單調遞增，在上單調遞減. (2)由題意可得：，， 則切線方程為：， 切線過坐標原點，則：, 整理可得：，即：， 解得：，

16、則， 切線方程為：, 與聯(lián)立得， 化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為 解得, ， 綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和. （二）選考題:共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做．則按所做的第一題計分． [選修4-4:坐標系與參數(shù)方程] 22. 在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1． （1）寫出的一個參數(shù)方程; （2）過點作的兩條切線．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程． 【答案】（1），（為參數(shù)）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）直接利用圓心及半徑

17、可得的圓的參數(shù)方程； （2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式化簡即可. 【詳解】（1）由題意，的普通方程為， 所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)） （2）由題意，切線的斜率一定存在，設切線方程為，即， 由圓心到直線的距離等于1可得， 解得，所以切線方程為或， 將，代入化簡得 或 [選修4—5:不等式選講] 23. 已知函數(shù)． （1）當時，求不等式的解集; （2）若，求a的取值范圍． 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集. （2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍. 【詳解】（1）當時，，表示數(shù)軸上的點到和的距離之和， 則表示數(shù)軸上的點到和的距離之和不小于， 當或時所對應的數(shù)軸上的點到所對應的點距離之和等于6， ∴數(shù)軸上到所對應的點距離之和等于大于等于6得到所對應的坐標的范圍是或， 所以的解集為. （2）依題意，即恒成立， ， 當且僅當時取等號，, 故， 所以或， 解得. 所以的取值范圍是.