2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

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1、2021年高考全國統(tǒng)一考試（文科數(shù)學(xué)）一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2. 設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求得z的值.【詳解】由題意可得：.故選：C.3. 已知命題命題，則下列命題中為真命題的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定命題的真假性

2、，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數(shù)，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、為假命題.故選：A4. 函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）A. 和B. 和2C. 和D. 和2【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C5. 若滿足約束條件則的最小值為（ ）A. 18B. 10C. 6D. 4【答案】C【解析】【分析】由題意作出可行域，變換目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解.詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點(diǎn),轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)為，上下平移直線，數(shù)形結(jié)

3、合可得當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),取最小值，此時(shí).故選：C.6. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.7. 在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出.【詳解】設(shè)“區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”，對(duì)應(yīng)集合為： ，區(qū)間長(zhǎng)度為，“取到的數(shù)小于”， 對(duì)應(yīng)集合為：，區(qū)間長(zhǎng)度為，所以故選：B8. 下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，

4、即可得出不符合題意，符合題意【詳解】對(duì)于A，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)椋?，如?dāng)，D不符合題意故選：C9. 設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得，對(duì)于A，不是奇函數(shù)；對(duì)于B，是奇函數(shù)；對(duì)于C，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).故選：B10

5、. 在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，所以.故選：D11. 設(shè)B是橢圓上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，由依題意可知，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，而，所以?dāng)時(shí)，的最大值為故選：A12. 設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ）A. B. C

6、. D. 【答案】D【解析】【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否編號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時(shí)，由，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.綜上所述，成立.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知向

7、量，若，則_【答案】【解析】【分析】利用向量平行充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.14. 雙曲線右焦點(diǎn)到直線的距離為_【答案】【解析】【分析】先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】由已知，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：15. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，則_【答案】【解析】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.16. 以圖為正視圖，在圖中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視

8、圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_（寫出符合要求的一組答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題意結(jié)合所給圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側(cè)視圖為，俯視圖為，如圖所示，長(zhǎng)方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則正視圖，側(cè)視圖，俯視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐.故答案為：.三、解答題共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17. 某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)

9、品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和（1）求，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的

10、結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】（1），.（2）依題意，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，由平面知識(shí)可知，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫矫?，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面?）由（1）可知，平面，所以，從而，設(shè)，則，即，解得，所以因?yàn)榈酌?，故四棱錐的體積為19. 設(shè)是首項(xiàng)為1

11、的等比數(shù)列，數(shù)列滿足已知，成等差數(shù)列（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和證明：【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）證明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.20. 已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知

12、識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線的斜率的最大值為.21. 已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】(1)答案見解析；(2) 和.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可

13、求得公共點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2)由題意可得：，則切線方程為：，切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡(jiǎn)得,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個(gè)根，是的一個(gè)因式，該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和.（二）選考題:共10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答如果多做則按所做的第一題計(jì)分選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.

14、在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1（1）寫出的一個(gè)參數(shù)方程;（2）過點(diǎn)作的兩條切線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程【答案】（1），（為參數(shù)）；（2）或.【解析】【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）由題意，的普通方程為，所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）（2）由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡(jiǎn)得或選修45:不等式選講23. 已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用絕對(duì)值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于，當(dāng)或時(shí)所對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6，數(shù)軸上到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.