《§113 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別 數(shù)學分析華師大 四版 高教社 華東師大教材配套課件.pps》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《§113 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別 數(shù)學分析華師大 四版 高教社 華東師大教材配套課件.pps（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 瑕 積 分 的 性 質(zhì) 與 收 斂 判 別 ,與 無 窮 積 分 的 性質(zhì) 與 收 斂 判 別 相 類 似 .因 此 本 節(jié) 內(nèi) 容 大 都 是 羅 列 出一 些 基 本 結(jié) 論 ,并 舉 例 加 以 應 用 , 而 不 再 進 行 重 復論 證 . 3 瑕積分的性質(zhì)與收 斂判別數(shù)學分析 第 十一章反常積分 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別定理11.5（瑕積分收斂的柯西準則）21 2 1( )d ( )d ( )d .b b uu u uf x x f x x f x x ( )d ( )ba f x x a瑕 積 分 瑕 點 為 收 斂 的 充 要 條
2、 件 是1 20, 0, , ( , )u u a a 任 給 存 在 當 時 ， 后退 前進 目錄 退出 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別性質(zhì)2 , ( , ),f x a c a b 設 函 數(shù) 的 瑕 點 若 則( )d ( )d ,b ca af x x f x x 與 同 時 收 斂 或 同 時 發(fā) 散 且( )d ( )d ( )d .b c ba a cf x x f x x f x x 性質(zhì)11 2 1 2, ,f f x a k k設 函 數(shù) 與 的 瑕 點 同 為 為 任 意1 1 2 2( ( ) ( )d ,ba k f x k f
3、 x x 也 收 斂 且1 1 2 2( ( ) ( )dba k f x k f x x 1 1 2 2( )d ( )d .b ba ak f x x k f x x 常 數(shù) ， 1 2( )d ( )db ba af x x f x x 若 和 都 收 斂 ， 則 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別性質(zhì)3引理（非負函數(shù)瑕積分的判別法）, ( , f x a f a b設 函 數(shù) 的 瑕 點 為 在 的 任 一 閉 區(qū) , ( ) ,u b u a間 上 可 積( )d , ( )d ( ) d .b b ba a af x x f x x f x x
4、也 收 斂 且( , ( ),a b f x若 定 義 在 上 的 非 負 函 數(shù) 在 任 意 閉 區(qū) 間 , ( ) ,u b u a 上 可 積 ( , , ( )d .buM u a b f x x M 是 :存 在 ， 對 任 意 ( ) d ,ba f x x則 收 斂 時( )dba f x x則 收 斂 的 充 要 條 件 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別定理11.6（比較法則）( , ,a b f g設 定 義 在 上 的 兩 個 非 負 函 數(shù) 與 瑕 點 同, , ( , x a u b a b 為 在 任 何 上 都 可 積 ,( )
5、 ( ), ( , .f x g x x a b ( )d , ( )d ;b ba ag x x f x x 則 當 收 斂 時 必 定 收 斂( )d , ( )d .b ba af x x g x x 發(fā) 散 時 必 定 發(fā) 散且 滿 足當 ( ) d , ( )d .ba af x x f x x 絕斂 時 稱 對 收 斂收而 稱 收 斂 但 不 絕 對 收 斂 的 條瑕 積 分 為 件 收 斂 . 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別推論1 , ( )f g u b a u b 若 非 負 函 數(shù) 和 在 任 何 上 可 積 ，( )lim ,( )
6、x a f x cg x 且 則(i) 0 ( )d ( )d ;b ba ac f x x g x x 時 ， 與 收 斂 性 相 同(ii) 0 ( )d ( )d ;b ba ac g x x f x x 時 ， 收 斂 可 推 得 收 斂 (iii) ( )d ( )d .b ba ac g x x f x x時 ， 發(fā) 散 可 推 得 發(fā) 散 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別推論2 , ( , u b a b 上 可 積 .則 有1(i) ( ) ,0 1 , ( )d( ) bp af x p f x xx a 當 時 收 斂 ;1(ii) (
7、 ) , 1 , ( )d .( ) bp af x p f x xx a 當 時 發(fā) 散( , , ,f a b a設 非 負 函 數(shù) 定 義 在 上 為 瑕 點 且 在 任 何 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別推論3 ( , , ,f a b a設 非 負 函 數(shù) 定 義 于 為 瑕 點 且 在 任 何 , ( , lim( ) ( ) ,px au b a b x a f x 上 可 積 .若(i) 0 1,0 ( )dbap f x x 當 時 ， 收 斂 ;(ii) 1,0 ( )d .bap f x x 當 時 ， 發(fā) 散可 以 判 別 一 些
8、 非 負 函 數(shù) 瑕 積 分 的 收 斂 性 .xx sin利 用 xtan xarcsin xarctan x1ln ),0(1e xx 則 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別例 1 2 31 3sin d .1lnx xx x判 別 瑕 積 分 的 收 斂 性1,x 解 瑕 點 為33 sin 1ln1x xx 由 于 2 1 3 3sin sin1 0 ( 1),( 1) 3x xx x 而 11 111ln1 1 3131 xxxx ,11 34 x2 24 3 3 31 1d sin d .( 1) 1lnx x xx x x 因 此 由 發(fā) 散
9、知 發(fā) 散1 3 2 1 3sin .( 1) ( 1) ln(1 1)xx x x x 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別例 2 10 ln d .x xx判 別 瑕 積 分 的 收 斂 性10 ln3 dx xx因 此 由 推 論 知 收 斂 ,解 是 瑕 點 ，0 x ln 0 (0,1 .x x 由 于xxxxx xx lnlimlnlim 410430 ,010 ln d .x xx即 絕 對 收 斂 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別 10( ) d1 axa xx 的 收 斂 性 . 1 110 1( ) d
10、 d1 1a ax xa x xx x 討 論 反 常 積 分例 3 ( )a把 反 常 積 分 寫 成解 ( ) ( ).I a J a (i) ( ).I a先 討 論 時即當 1,01 aa 它 是 定 積 分 ；110lim 1,1 aax xx x 時 它 是 瑕 積 分 ，當 1a 0.x 瑕 點 為 由 于 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別11.9因 此 由 定 理 的 推 論 3, ( )I a時 發(fā) 散 .(ii) ( ),J a再 討 論 它 是 無 窮 積 分 .由 于0 ( )a I a時 ， 瑕 積 分 收 斂 ； 011 aap
11、 ， 即當 xxaxx xaax 1lim1lim 12 ,10 1 1,p a 當 即11 3 3.因 此 由 定 理 的 推 論 ， 2 1, 1p a a 當 即1 ( )J a 且 時 ， 收 斂 ； 且即而 當 1,12 aap1 , ( ) .J a 時 發(fā) 散 綜 上 所 述 ， 總 結(jié) 如 下 ： 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別a a 0 0 a 1 a 1I (a) 發(fā) 散 收 斂 定 積 分J (a) 收 斂 收 斂 發(fā) 散 (a) 發(fā) 散 收 斂 發(fā) 散( ) 0 1 .a a 所 以 , 只 有 當 時 才 是 收 斂 的 復習思考題 數(shù)學分析 第十一章 反常積分高等教育出版社 1.試 給 出 瑕 積 分 的 狄 利 克 雷 判 別 法 和 阿 貝 爾 判 別 法 .( ) , ) .2. f x a b b設 為 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) , 為 瑕 點 試 問 當2( ) d , ( )d ?b ba af x x f x x 收 斂 時 是 否 收 斂 反 之 是?否 成 立
§113 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別 數(shù)學分析華師大 四版 高教社 華東師大教材配套課件.pps
