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1、 3 協(xié) 方 差 及 相 關(guān) 系 數(shù) 前 面 我 們 介 紹 了 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望 和 方 差 ，對 于 二 維 隨 機(jī) 變 量 （ X， Y） ， 我 們 除 了 討 論 X與 Y的 數(shù) 學(xué) 期 望 和 方 差 以 外 ， 還 要 討 論 描 述 X和 Y之 間關(guān) 系 的 數(shù) 字 特 征 ， 這 就 是 本 講 要 討 論 的協(xié) 方 差 和 相 關(guān) 系 數(shù) 設(shè) X和 Y為 兩 隨 機(jī) 變 量 ， 若 E X-E(X)Y-E(Y) 存 在 ， 則 稱 之 為 隨 機(jī) 變 量 X和 Y的 協(xié) 方差 ,記 為 Cov(X,Y) ， 即 Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y
2、) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X), Cov(X,X)=D(X).一、協(xié)方差2. 性 質(zhì) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是 常 數(shù)Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) 1.定 義 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可 見 ， 若 X 與 Y 獨(dú) 立 ， Cov(X,Y)= 0 .3. 計(jì) 算 協(xié) 方 差 的 一 個(gè) 簡 單 公 式由 協(xié) 方 差 的 定 義 及 期 望 的 性 質(zhì) ， 可 得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(
3、XY)-E(X)E(Y)即 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)4. 隨 機(jī) 變 量 和 的 方 差 與 協(xié) 方 差 的 關(guān) 系 協(xié) 方 差 的 大 小 在 一 定 程 度 上 反 映 了 X和 Y相 互 間的 關(guān) 系 ， 但 它 還 受 X與 Y本 身 度 量 單 位 的 影 響 . 例 如 ：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)為 了 克 服 這 一 缺 點(diǎn) ， 對 協(xié) 方 差 進(jìn) 行 標(biāo) 準(zhǔn) 化 ， 這 就 引 入了 相 關(guān) 系 數(shù) . 二、相關(guān)系數(shù)為 隨 機(jī) 變 量 X 和 Y 的 相 關(guān) 系 數(shù) .定 義 : 設(shè) D(X)0, D(Y)0,( , )( )
4、 ( )XY Cov X YD X D Y 稱 相 關(guān) 系 數(shù) 的 性 質(zhì) ：1.| | 1XY 2. 1XY 存 在 常 數(shù) a,b, 使 PY= a + b X=1，即 X 和 Y 以 概 率 1 線 性 相 關(guān) . 說 明X與 Y之 間 沒 有 線 性 關(guān) 系 并 不 表 示 它 們 之 間 沒 有 關(guān) 系 。X Y相 關(guān) 系 數(shù) 是 表 征 隨 機(jī) 變 量 與 之 間 線 性 關(guān) 系 緊 密程 度 的 量 1 1X Y X Y 當(dāng) 時(shí) ， 與 之 間 以 概 率 存 在 著 線 性 關(guān) 系 ； 0 X Y X Y 當(dāng) 時(shí) ， 與 之 間 不 存 在 線 性 關(guān) 系 不 相 關(guān) 當(dāng) |X
5、Y |較 大 時(shí) , 通 常 說 X,Y線 性 相 關(guān) 的 程 度 較 好 ; 當(dāng) |XY |較 小 時(shí) , 說 X,Y線 性 相 關(guān) 的 程 度 較 差 . 對 隨 機(jī) 變 量 X， Y， 有 如 下 事 實(shí) 等 價(jià) ：1、 Cov(X,Y)=0;2、 X與 Y不 相 關(guān) ；3、 E(XY)=E(X)E(Y);4、 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 注 ： 獨(dú) 立 性 和 不 相 關(guān) 性 有 聯(lián) 系 ， 但 又 不 同 ， 獨(dú)立 性 比 不 相 關(guān) 性 更 強(qiáng) 。性 質(zhì) ： 如 果 隨 機(jī) 變 量 X與 Y互 相 獨(dú) 立 ， 則 X與 Y不 相 關(guān) 。 （ 反 之 不 成 立 ）但 對 下 述 情 形 ， 獨(dú) 立 與 不 相 關(guān) 等 價(jià)若 (X,Y)服 從 二 維 正 態(tài) 分 布 ， 則X與 Y獨(dú) 立 X與 Y不 相 關(guān) 2 21 1 2 22 22 1 21 2212 121 212 1 x x y yf x y e ，求 ： XY例 ： 若 X,Y的 聯(lián) 合 概 率 密 度 為 2 21, 1( , ) 0, x yf x y 其 它試 驗(yàn) 證 ： X,Y不 相 關(guān) ， 但 X,Y不 是 相 互 獨(dú) 立 的 。
《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》概率論
