高中數(shù)學(xué) 第四講 變換的不變量與矩陣的特征向量 4_2 特征向量的應(yīng)用課件 新人教A版選修4-2

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1、二特征向量的應(yīng)用 1.利用矩陣A的特征值、特征向量給出An的簡(jiǎn)單的表示,并能用它來解決問題.2.會(huì)利用特征向量解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題. 1 21.An的簡(jiǎn)單表示設(shè)A是一個(gè)二階矩陣,是矩陣A的屬于特征值的任意一個(gè)特征向量,則An=n(n N*).名師點(diǎn)撥由此可把矩陣的乘方轉(zhuǎn)為實(shí)數(shù)的乘方,比較簡(jiǎn)便. 1 2 1 2 1 22.性質(zhì)設(shè)1,2是二階矩陣A的兩個(gè)不同特征值,1,2是矩陣A的分別屬于特征值1,2的特征向量,對(duì)于任意的非零平面向量,設(shè)=t11+t22(其中t1,t2為實(shí)數(shù)),則對(duì)任意的正整數(shù)n,有名師點(diǎn)撥由于1和2是矩陣A的分別屬于特征值1,2的特征向量,所以1與2不共線,由平面向量的基本定理,

2、知平面內(nèi)的任意一個(gè)非零向量都可以用 1和2表示出來,即存在兩個(gè)實(shí)數(shù)t1,t2使=t11+t22,也就是可以用特征向量表示出來. 1 2 1 2 1.設(shè)二階矩陣A的兩個(gè)特征值1,2對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征向量分別為1,2,為二階矩陣A對(duì)應(yīng)的線性變換,為平面內(nèi)的任意一個(gè)向量,那么An(n N*)能否用1和2表示出來呢?剖析:因?yàn)?,2是二階矩陣A的兩個(gè)特征向量,所以1,2不共線,則平面內(nèi)的任意一個(gè)向量就可以用1,2表示出來,即存在實(shí)數(shù)t1,t2使得=t11+t22,A1=11,A2=22.所以 =A=A(t11+t22)=t1(A1)+t2(A2)=t111+t222,2=A2=A(A)=A(t111+t2

3、22)=t11(A1)+t22(A2) 2.求An的基本步驟是什么?剖析:第一步:由特征向量的定義A=,求出特征值和相應(yīng)的特征向量;第二步:把向量改寫為用1和2表示,即=t11+t22;第三步:由性質(zhì)公式計(jì)算 題型一 題型二 題型一 題型二 題型一 題型二反思利用特征值和特征向量的知識(shí),可以方便地計(jì)算多次變換的 結(jié)果. 題型一 題型二【例2】 當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時(shí),忽略其他因素,只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響,為了簡(jiǎn)便起見,不妨做如下假設(shè):(1)由于自然繁殖,兔子數(shù)每年增長(zhǎng)10%,狐貍數(shù)每年減少15%;(2)由于狐貍吃兔子,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0

4、.1倍;(3)第n年時(shí),兔子數(shù)量用Rn表示,狐貍數(shù)量用Fn表示;(4)初始時(shí)刻(即第0年),兔子數(shù)量有R 0=100只,狐貍數(shù)量有F0=30只.這樣,兔子和狐貍的生態(tài)模型為試用矩陣知識(shí)求出Rn,Fn關(guān)于n的關(guān)系式,并討論當(dāng)n越來越大時(shí),兔子和狐貍的數(shù)量是否能達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)? 題型一 題型二分析:根據(jù)已知條件首先要轉(zhuǎn)化為向量表示及其矩陣形式表示,其次求出矩陣的特征值及其特征向量,最后解答. 題型一 題型二和F n分別趨向常量210和140,即隨著時(shí)間的增加,兔子和狐貍的數(shù)量逐漸增加,當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)后,兔子和狐貍的數(shù)量達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài). 題型一 題型二反思解決實(shí)際問題時(shí),需要先從題目中提煉出信息,本題轉(zhuǎn)為矩陣表示,用矩陣及特征向量表示解答問題. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 55.自然界生物種群的成長(zhǎng)受到多種條件因素的影響,比如出生率、死亡率、資源的可利用性以及競(jìng)爭(zhēng)、捕食者的獵殺乃至自然災(zāi)害等等.因此它們和周邊環(huán)境是一種既相生又相克的生存關(guān)系.但是如果沒有任何限制,種群也會(huì)泛濫成災(zāi).現(xiàn)假設(shè)兩個(gè)互相影響的種群X,Y隨時(shí)間段變化的數(shù)量分別為an,bn,并有關(guān)系式 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5