精細(xì)辛有限元方法研究

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1、精細(xì)辛有限元方法研究精細(xì)辛有限元方法研究 2016/05/13 力學(xué)學(xué)報(bào)2016年第二期摘要哈密頓系統(tǒng)是一類重要的動(dòng)力系統(tǒng)，針對(duì)哈密頓系統(tǒng)，設(shè)計(jì)出多類辛方法：SRK、SPRK、辛多步法、生成函數(shù)法等.長久以來數(shù)值方法在求解哈密頓系統(tǒng)過程中辛特性和保能量特性不能得到同時(shí)滿足，近年來提出的有限元方法，對(duì)于線性系統(tǒng)具有保辛和保能量的優(yōu)良特性.但是，以上方法都存在相位漂移(軌道偏離)現(xiàn)象，長時(shí)間仿真，計(jì)算效果會(huì)大打折扣.提出精細(xì)辛有限元方法(HPD-FEM)求解哈密頓系統(tǒng)，該方法繼承時(shí)間有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)所具有的保哈密頓系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)和哈密頓函數(shù)守恒性的優(yōu)良特性，同時(shí)，通過精細(xì)化時(shí)間步長極大地減小

2、了時(shí)間有限元方法的相位誤差.HPD-FEM相較與針對(duì)相位誤差專門設(shè)計(jì)的計(jì)算格式FSJS、RKN以及SRPK方法具有更好的糾正效果，幾乎達(dá)到機(jī)器精度，誤差為O(1013),同時(shí)，HPD-FEM克服了FSJS、RKN和SPRK方法不能保證哈密頓函數(shù)守恒的缺點(diǎn).對(duì)于高低混頻系統(tǒng)和剛性系統(tǒng)，常規(guī)算法很難在較大步長下，同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)高低頻精確仿真，HPD-FEM通過精細(xì)計(jì)算時(shí)間步長，在大步長情況下，實(shí)現(xiàn)高低混頻的精確仿真.HPD-FEM方法在計(jì)算過程中精細(xì)方法沒有額外增加計(jì)算量，計(jì)算效率高.數(shù)值結(jié)果顯示本文提出的方法切實(shí)有效.關(guān)鍵詞哈密頓系統(tǒng)，辛算法，相位誤差，精細(xì)積分，時(shí)間有限元辛性質(zhì)是哈密頓系統(tǒng)重要的性

3、質(zhì)，有人1-3針對(duì)哈密頓系統(tǒng)提出了辛積分方法.辛算法的優(yōu)異的穩(wěn)定性和長時(shí)間跟蹤能力有著重要的應(yīng)用前景,許多計(jì)算領(lǐng)域,如:分子電子計(jì)算、經(jīng)典力學(xué)、流體力學(xué)等.辛算法解決了在長期計(jì)算過程中幅值誤差的積累問題，但相位誤差積累問題仍然存在.還有人4-6給出了辛算法誤差分析和修正，文中的方法是一種后驗(yàn)誤差修正，根據(jù)單步辛算法的誤差進(jìn)行時(shí)間修正，并得到：相位誤差不影響系統(tǒng)的能量而只影響位移和速度等物理量的幅值變化規(guī)律和跟蹤精度的結(jié)論.陳璐等7對(duì)幾種常見的保結(jié)構(gòu)方法(AVF、Pade´對(duì)角逼近、生成函數(shù)法)的相位誤差及修正給出詳盡的分析，但是文中對(duì)缺乏對(duì)哈密頓函數(shù)守恒性的討論，文中的算例顯示12

4、階相位誤差的算法能量誤差僅有O(106).近年來，辛方法相位誤差現(xiàn)象越來越引起國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注，RKN方法8-9和SPRK方法10-12，都是通過泰勒展開研究相位誤差，推導(dǎo)出很多相位誤差較小的計(jì)算格式，這些方法需要優(yōu)化求解出合適的參數(shù)使得相位誤差最小,所得參數(shù)也比較復(fù)雜.劉曉梅等13提出FSJS方法，該方法巧妙的利用向前和向后差分方法引起的相位誤差分別是正方向和負(fù)方向的性質(zhì)，提出分?jǐn)?shù)步計(jì)算方案，該方法極大的減小了相位誤差，但是每一步計(jì)算過程中都要計(jì)算分?jǐn)?shù)步數(shù)步，從而增加了計(jì)算量.顏娜14則對(duì)引起辛算法的漂移的原因，以及幾種傳遞矩陣的相位誤差進(jìn)行了分析.文獻(xiàn)15指出時(shí)間有限元方法求解ODE在有些情

5、況下和有限差分方法是等價(jià)的，論文同時(shí)指出C-TFE求解哈密頓系統(tǒng)可以保證哈密頓函數(shù)的守恒.陳傳淼等16-18提出有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)，該方法顯示對(duì)線性哈密頓系統(tǒng)連續(xù)有限元方法可以保證哈密頓系統(tǒng)的辛結(jié)構(gòu)以及哈密頓函數(shù)的守恒.有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)有著保能量守恒和保辛結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)，但是對(duì)有限元方法求解哈密頓系統(tǒng)的相位誤差，尚沒有文章進(jìn)行分析.鐘萬勰19-20提出精細(xì)積分方法通過積累計(jì)算小量的技巧，有效地避免了計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的過程中“大數(shù)吃小數(shù)”現(xiàn)象.曾進(jìn)等21針對(duì)哈密頓系統(tǒng)提出精細(xì)辛幾何算法，該克服了算法對(duì)積分時(shí)間步長的依賴性，同時(shí)保證哈密頓系統(tǒng)的性質(zhì).徐明毅等22則對(duì)精細(xì)辛幾何算法的誤差進(jìn)行詳盡

6、分析.本文提出的求解哈密頓系統(tǒng)精細(xì)辛有限元方法，這種方法結(jié)合有限元方法和精細(xì)方法的特點(diǎn).不增加計(jì)算工作量就能保證哈密頓系統(tǒng)的性質(zhì)(辛結(jié)構(gòu)和哈密頓函數(shù)守恒)同時(shí)極大的減少相位誤差.對(duì)高低混頻和剛性系統(tǒng)在大步長下實(shí)現(xiàn)對(duì)高頻信號(hào)的精確仿真.數(shù)值結(jié)果令人滿意.1哈密頓系統(tǒng)考慮如下哈密頓正則方程方程(1)對(duì)應(yīng)的哈密頓函數(shù)2時(shí)間有限元的精細(xì)辛積分方法2.1時(shí)間有限元方法的保辛和保能量特性利用時(shí)間有限元方法求解，線性哈密頓系統(tǒng)(2)正則方程及初始條件可以證明連續(xù)有限元方法是辛方法15-16.同時(shí)，連續(xù)時(shí)間有限元方法同時(shí)可以保證能量守恒15-16.2.2精細(xì)辛有限元方法的相位誤差及辛特性時(shí)間有限元方法求解(2

7、)，能夠保持系統(tǒng)原有的辛性質(zhì)，因而在長期定量計(jì)算中顯示出傳統(tǒng)算法不可比擬的優(yōu)點(diǎn)：守恒性和長期跟蹤能力.但時(shí)間有限元方法都不可避免的產(chǎn)生相位誤差.雖然系統(tǒng)守恒性得到保持，但是，長時(shí)間的計(jì)算相位誤差仍舊不理想.為了進(jìn)一步提高計(jì)算精度，減少相位誤差，可以將精細(xì)辛積分方法21引入時(shí)間有限元的計(jì)算格式中.為了表述方便,記,時(shí)間一次元、二次元分別為TFE1和TFE2;本文提出的精細(xì)化時(shí)間有限元分別為HPD-FEM1和HPD-FEM2.3數(shù)值算例3.1橢圓型哈密頓系統(tǒng)因?yàn)樗憷木_解是個(gè)周期函數(shù)，單純的比較指定時(shí)刻的誤差值，比較片面.表1和表2所列誤差均是指在0,1000s內(nèi)所有單元節(jié)點(diǎn)誤差絕對(duì)值的最大值.

8、從表1和表2可以看出本文提出的TFE1-HPD,TFE2-HPD和TFE16方法一樣可以保持哈密頓系統(tǒng)的能量守恒，但本文的方法具有極高的點(diǎn)態(tài)數(shù)值精度，即，漂移誤差極小.相較FSJS13,RKN8-9和SPRK12等設(shè)計(jì)的糾漂或者相位誤差極小化的方法，本文方法的相位誤差更小，而且本文算法克服了糾漂方法FSJS,RKN以及SPRK方法不能保證哈密頓系統(tǒng)的能量守恒的弱點(diǎn).3.2高低混頻哈密頓系統(tǒng)對(duì)于高低混頻系統(tǒng)，文獻(xiàn)23指出數(shù)值方法的計(jì)算步長和系統(tǒng)頻率之間必須滿足CFL條件，即hw1.這意味著對(duì)于高頻信號(hào)的仿真，數(shù)值上必須采用極小的步長.圖1和圖2是高頻信號(hào)的計(jì)算誤差圖，圖3和圖4是低頻信號(hào)誤差圖.

9、從時(shí)域誤差圖可以看出HPD-FEM在大步長下同時(shí)對(duì)高頻和低頻信號(hào)的精確仿真，計(jì)算誤差均在1012以下.這是現(xiàn)有方法所無法比擬的.圖5是哈密頓函數(shù)的誤差圖，HPD-FEM方法同樣可以在大步長的情況下，實(shí)現(xiàn)算法的保能量特性.精細(xì)化參數(shù)N,是HPD-FEM方法設(shè)計(jì)過程中引入的參量.圖6是不同的精細(xì)化參數(shù)，時(shí)域上計(jì)算誤差最大值.從圖6，對(duì)于高頻信號(hào)p1q1,較小的參數(shù)N，對(duì)于計(jì)算精度提高不大.可以看出參數(shù)N越大，計(jì)算的精度越高，但N60，N的增加對(duì)計(jì)算誤差的影響極小.同時(shí)較大的參數(shù)也會(huì)引入計(jì)算機(jī)舍入誤差以及較多的計(jì)算量.所以，在計(jì)算過程中，需要選擇合適的N.根據(jù)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，參數(shù)N和系統(tǒng)的剛性有關(guān)，剛性越大，N就越大.表3可以看出HPD-FEM方法可以在大步長下實(shí)現(xiàn)對(duì)剛性系統(tǒng)的精確仿真.這是其他方法所沒有的特性.4結(jié)論精細(xì)辛有限元方法繼承了有限元方法在求解哈密頓系統(tǒng)中保辛和保能量的優(yōu)良特性，同時(shí)，極大的減少相位漂移誤差，幾乎達(dá)到機(jī)器精度.對(duì)于高低混頻或者剛性系統(tǒng)，HPD-FEM方法可以在較大步長下實(shí)現(xiàn)對(duì)高低頻信號(hào)的精確仿真.數(shù)值結(jié)果令人滿意，具有廣泛的工程實(shí)踐價(jià)值.