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1、一題多解與直覺思維引導例析
《高中數(shù)學教學大綱》明確了高中數(shù)學的教學目的:"使學生學好從事社會主義現(xiàn)代化建設(shè)和進一步學習所必需的代數(shù)、幾何的基礎(chǔ)知識和概率統(tǒng)計、微積分的初步知識,并形成基本技能;進一步培養(yǎng)學生的思維能力、運算能力、空間想象能力、解決實際問題的能力,以及創(chuàng)新意識;進一步培養(yǎng)良好的個性品質(zhì)和辯證唯物主義觀點。" 解決實際問題的能力和創(chuàng)新意識是數(shù)學能力的核心,只有這樣,各個方面的初步知識才能盡快習得和鞏固,知識的提高和拓展才有可能。
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直覺思維的培養(yǎng)對于創(chuàng)新有著重大的意義,在很大程度上關(guān)乎中學數(shù)學的成敗。直覺思維是指對一
2、個問題未經(jīng)逐步分析,僅依據(jù)內(nèi)因的感知迅速地對問題答案作出判斷,猜想、設(shè)想,或者在對疑難百思不得其解之中,突然對問題,甚至對未來事物表現(xiàn)出的"靈感"和"頓悟"。直覺思維在創(chuàng)造性思維活動的關(guān)鍵階段起著極為重要的作用。
直覺思維并非無源之水,它與知識和經(jīng)驗積累相輔相成。引導和培養(yǎng)這種能力需要數(shù)學課堂持之以恒的努力。略舉一例。
求點(4,0) 關(guān)于直線的對稱點的坐標。
課本常規(guī)解法如下:
解:設(shè)的坐標為(),則兩點的連線和直線垂直,根據(jù)垂線性質(zhì)和距離公式得:
(1)
(2)
由(1)得 (3)
討論:
當時,將(3)代入解得,點,點(4,0)和點
3、一樣,舍去。
當將(3)代入解得,
所以所求的對稱點為(-6,-8)
有人說,數(shù)學與語文是不同的學科。語文是把簡單問題復雜化,而數(shù)學正好相反。再次研究本例題,發(fā)現(xiàn)以下解法能夠更加有效地鍛煉思維能力,有效避免復雜運算可能導致的差錯。
分析:因為兩點的連線垂直于直線,所以 ;另外,直線平分,所以的中點在直線上。
解:設(shè)的坐標為(),的中點為()
(1)
(2)
由(1)得,由(2)得
解得, ,點的坐標為(-6,-8)
這個解法借助了的中點這個橋梁,對思維過程本身有比較高的要求,計算過程相對簡化,同時避免了討論絕對值問題時可能出現(xiàn)的無謂
4、犧牲。這當然并不是說計算能力無需訓練,但考試過程中減少計算量,提高計算正確率,節(jié)省寶貴的考試時間對于學生來說有著無比重大的實際意義。
有一定基礎(chǔ)的學生能夠想到該點既是交點,又是中點和垂足。直覺會引導他們快速走向答案。引導學生多角度、全方位地觀察與思考是解答本題,也是數(shù)學課的重要任務,創(chuàng)新由此而來。這需要我們做到:
1、加強基礎(chǔ)訓練,長牢知識增長點,為知識的綜合運用提供保證。正如前文分析,課本提供的方法盡管有不盡完美之處,但作為邏輯思維的一個合理方向是不能忽視的。片面的求新求異走捷徑與夢想建造空中樓閣沒有本質(zhì)上的區(qū)別。學生在高考中大量丟失基礎(chǔ)分的事實告訴我們,雙基的強化鞏固不能僅僅停
5、留在口頭上。"捷徑"是基礎(chǔ)知識的綜合提高,沒有基礎(chǔ)的綜合提高難以實現(xiàn)的。維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論認為,學生的發(fā)展有兩種水平,其一是現(xiàn)有水平,其二是可能的發(fā)展水平。兩者之間存在差距,叫做最近發(fā)展區(qū)。教學應著眼于學生的最近發(fā)展區(qū),提供帶有難度的內(nèi)容,調(diào)動學生的積極性,發(fā)揮其潛能,超越其最近發(fā)展區(qū)而達到更高層次的發(fā)展水平,然后在此基礎(chǔ)上進行下一個發(fā)展區(qū)的發(fā)展。這個理論告訴我們,學生的學習是循序漸進的,打亂認知規(guī)律的做法可能產(chǎn)生相反的效果。
2、增強自身的創(chuàng)新意識,不滿足于學生懂,而要努力使學生會分析和解決實際問題。如前例所示,在學生能夠順利掌握兩種解法之后,兩種解法都應該進入了學生"現(xiàn)有水平"
6、的范圍,但學生對此法的認知尚欠深刻,適時、適量、適度的鞏固練習是必要的。這樣的練習將有效地內(nèi)化整個思維過程,為新發(fā)展區(qū)的建立打好基礎(chǔ)。學生不能僅僅被牽著鼻子走,而要自己學會走,掌握學習的主動權(quán)。
3、勤于專研,巧設(shè)課堂問題情境。習慣的力量已經(jīng)使我們大多數(shù)的數(shù)學課堂變成教師的一言堂,課堂教學的模式幾十年一個樣。數(shù)學課差不多是枯燥乏味的同義詞。興趣是成功之母,沒有興趣的學習如同嚼蠟。只要我們勤于查找,即使我們自己不能設(shè)計出全部全新的教學方法,一些經(jīng)典的例子仍然可以成為精彩的課例。比如在學習數(shù)列問題時,引用"國王賞麥"的例子就會取得很好的效果。國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者,問他有什么要求,發(fā)明者
7、說:"請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒,在第2個格子里放上2顆麥粒,在第3個格子里放上4顆麥粒,在第4個格子里放上8顆麥粒,依此類推,每個格子里放的麥粒數(shù)是前一個格子的兩倍。"國王滿口答應,但在發(fā)賞時卻傻了眼。請問為什么?這是一個廣為流傳的故事,但它依然是我們可以借用的經(jīng)典,更何況那些已知的答案似乎還需要一些補充,才能夠使學生更直觀形象地認識它呢?恰當?shù)膯栴}情境的設(shè)置將有助于認知沖突的激發(fā),即造成學生認知心理上的差異與不平衡。皮亞杰的認為認知沖突的引發(fā)能激起學生的求知欲和探索心向,促使學生進行認知結(jié)構(gòu)的同化與順應,創(chuàng)造學生更新現(xiàn)有知識結(jié)構(gòu)的契機與條件。問題情境的設(shè)置要我們備課以學生為對象,以學生的認知為基礎(chǔ),以課本為指導,做到有趣、有用、有效,它的恰當使用完全可以使我們了解大綱,把握課本,超越課本。
一題多解與直覺思維引導例析
