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1、【教學(xué)論文】如何整體把握重點(diǎn)突破淺談二次函數(shù)教學(xué)
如何整體把握重點(diǎn)突破淺談二次函數(shù)的教學(xué) 摘要:二次函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型,初中階段主要研究二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),用二次函數(shù)的觀點(diǎn)審視一元二次方程,用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)分析和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。其圖像因?yàn)槭乔€,關(guān)系式變化形式多,應(yīng)用比較復(fù)雜,學(xué)習(xí)難度較大。教學(xué)中,應(yīng)抓住重點(diǎn)組織教學(xué),立足整體設(shè)計(jì)教法,幫助學(xué)生系統(tǒng)把握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),明晰二次函數(shù)應(yīng)用的方法。
關(guān)鍵詞:二次函數(shù)重點(diǎn)整體難點(diǎn) 二次函數(shù)是初中階段繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后,學(xué)生要學(xué)習(xí)的最后一類重要的代數(shù)函數(shù),它也是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間
2、關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型。初中階段主要研究二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),用二次函數(shù)的觀點(diǎn)審視一元二次方程,用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)分析和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。二次函數(shù)和一次函數(shù)、反比例函數(shù)一樣,都是高中階段要學(xué)習(xí)的一般函數(shù)和非代數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)。二次函數(shù)的圖像因?yàn)槭乔€,關(guān)系式變化形式多,應(yīng)用比較復(fù)雜。我在二次函數(shù)的教學(xué)中,整體把握,重點(diǎn)突破,收到了較好的教學(xué)效果。
一、 抓住重點(diǎn)組織教學(xué) (一) 通過對(duì)實(shí)際問題情境的分析確定二次函數(shù)的關(guān)系式,并體會(huì)二次函數(shù)的意義 這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系。教學(xué)中,應(yīng)從教材中的“水滴激起波紋”、“圈養(yǎng)小兔”等實(shí)際問題入手,引導(dǎo)學(xué)生列出函數(shù)關(guān)系式。然后,讓學(xué)生觀
3、察、思考:所列的函數(shù)關(guān)系式有什么共同點(diǎn)?它們與一次函數(shù)、反比例函數(shù)有什么不同?從而引導(dǎo)出二次函數(shù)的概念,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的各部分名稱。如此,學(xué)生能夠體會(huì)到二次函數(shù)來自生活,感受到二次函數(shù)也是描述一類現(xiàn)實(shí)問題中變量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性。
(二) 采用“描點(diǎn)法”畫出二次函數(shù)的圖像,從圖像上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì) 這是二次函數(shù)的教學(xué)重點(diǎn)。一方面,學(xué)生要學(xué)會(huì)畫出二次函數(shù)的圖像;另一方面,要能從圖像上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)中,教師要扎實(shí)地讓學(xué)生畫出二次函數(shù)的圖像(不能一帶而過,就讓學(xué)生去解決與圖像有關(guān)的復(fù)雜題),即運(yùn)用探索函數(shù)圖像的方法——“描點(diǎn)法”,一步一步地列表、描點(diǎn)、連線
4、,加深對(duì)二次函數(shù)圖像形狀的認(rèn)識(shí)。然后,引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)圖像的形狀、開口方向、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性等方面去理解二次函數(shù)的性質(zhì)(學(xué)生一邊看圖像,一邊說性質(zhì),很直觀)。要提醒的是,不僅要讓學(xué)生畫出二次函數(shù)的準(zhǔn)確圖像,還要會(huì)畫二次函數(shù)的示意圖像。
(三) 利用公式確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)、開口方向和對(duì)稱軸,解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題 這里包括兩點(diǎn):一是從二次函數(shù)關(guān)系式上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì),這是學(xué)生對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí);二是列二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題,這是學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的落腳點(diǎn)所在。從直觀的圖像到關(guān)系式認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì),是一個(gè)提升;從實(shí)際問題中提煉出二次函數(shù),通過研究,再回到實(shí)際問題中去,這
5、是一個(gè)跨越.教學(xué)中,為了突破這一難點(diǎn),可以從二次函數(shù)的圖像入手,將二次函數(shù)的關(guān)系式與其圖像比照著進(jìn)行教學(xué),由圖像認(rèn)識(shí)關(guān)系式,由關(guān)系式認(rèn)識(shí)圖像。這種“捆綁式”教學(xué),可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)借助公式確定對(duì)二次函數(shù)的頂點(diǎn)、開口方向的理解和掌握。而在運(yùn)用二次函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題時(shí),應(yīng)將知識(shí)塊分類后進(jìn)行教學(xué),這樣效果較好。
(四) 運(yùn)用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解 這是二次函數(shù)的內(nèi)部應(yīng)用。即從函數(shù)的角度審視一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系,并根據(jù)直觀圖形,借助計(jì)算器探索函數(shù)值為0的自變量的值,進(jìn)而得出用二次函數(shù)圖像求一元二次方程的近似解的方法。在這個(gè)過程中,應(yīng)通過直觀圖像,研究函數(shù)值與自變量的變化
6、,滲透無限逼近和區(qū)間套的數(shù)學(xué)思想方法,為學(xué)生高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。
二、 立足整體設(shè)計(jì)教法 二次函數(shù)的整體性,體現(xiàn)在其圖像、性質(zhì)以及應(yīng)用上。教材從學(xué)生熟悉的簡(jiǎn)單實(shí)際問題出發(fā),建立二次函數(shù)的概念,立足運(yùn)動(dòng)、變換的觀點(diǎn),由特殊到一般,分別探討各種形式的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),最后以3個(gè)探究性問題為例,探討二次函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用。學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的障礙主要體現(xiàn)在解析式、圖像、性質(zhì)的對(duì)應(yīng)上,應(yīng)用的主要障礙則是建立二次函數(shù)解析式,并利用解析式解決問題。
(一) 層層遞進(jìn),系統(tǒng)把握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì) 二次函數(shù)的一般形式及其變換形式共有六種:(1) y=ax2 (a
7、≠0);(2) y=ax2+k(a≠0);(3) y=a(x+h)2(a≠0);(4) y=a(x+h)2 +k(a≠0);(5) y=ax2+bx+c(a≠0);(6) y=ax2+bx(a≠0)。要求學(xué)生由不同的解析式畫出圖形示意圖并說出對(duì)應(yīng)的性質(zhì),有一定的難度。教學(xué)時(shí),應(yīng)層層遞進(jìn),通過畫示意圖像來說性質(zhì)。同時(shí),在學(xué)習(xí)這六種形式的二次函數(shù)的關(guān)系式、圖像和性質(zhì)時(shí),每節(jié)課都復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的關(guān)系式、圖像和性質(zhì),并板書。這樣,當(dāng)學(xué)到最后一種二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)時(shí),學(xué)生已在頭腦中形成了系統(tǒng)、全面的關(guān)于二次函數(shù)的解析式、圖像、性質(zhì)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。
(二) 策略分類,明晰掌握二次函數(shù)
8、應(yīng)用的方法 二次函數(shù)是研究單變量最優(yōu)化問題的常用數(shù)學(xué)模型。教材從數(shù)量關(guān)系入手,把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,進(jìn)而求出最優(yōu)解,研究了面積最大、利潤(rùn)最大等問題。然后,從“形”上研究了拋物線形的拱橋、拋物線形的隧道、噴泉、投擲、跳遠(yuǎn)、跨欄等與拋物線有關(guān)的問題。這樣的分類(一會(huì)兒求關(guān)系式,一會(huì)兒不求;一會(huì)兒給應(yīng)用問題,一會(huì)兒給圖像),對(duì)正由形象思維向抽象思維過渡的初中生來說挑戰(zhàn)不小,學(xué)生的思維容易發(fā)生混亂。教學(xué)二次函數(shù)的應(yīng)用問題時(shí),根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和知識(shí)基礎(chǔ),按解題策略進(jìn)行分類,有助于學(xué)生理清思路,正確解決問題。
第一類:給二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題。比如,教材第33頁(yè)第4題的“火箭升空”、第34頁(yè)
9、第9題的“對(duì)概念接受能力”、第35頁(yè)第12題的“噴泉”等問題,只要將二次函數(shù)的關(guān)系式配方求定點(diǎn)坐標(biāo),或令x、y等于0,即可順利解決。
第二類:給應(yīng)用問題列二次函數(shù)的關(guān)系式,再用關(guān)系式解決問題。比如,教材第25頁(yè)的“最大收益”、“最大面積”等問題,只要分析數(shù)量關(guān)系,列出二次函數(shù)的關(guān)系式,再由二次函數(shù)的關(guān)系式即可解決問題。
第三類:給二次函數(shù)的圖像列二次函數(shù)的關(guān)系式解決問題。比如,教材第27頁(yè)的問題2“噴泉”問題,只要從圖像上找到一個(gè)或兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),代入二次函數(shù)的關(guān)系式的一般形式,從而求出二次函數(shù)的關(guān)系式,再由二次函數(shù)的關(guān)系式,即可解決問題。
第四類:建立直角坐標(biāo)系,求出二次函數(shù)
10、的關(guān)系式解決問題。比如,教材第28頁(yè)的“拋物線形拱橋”、第30頁(yè)的“欄桿”和“拋物線形拱橋”等問題。這樣的問題,要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,再由圖像求出二次函數(shù)關(guān)系式,然后由二次函數(shù)關(guān)系式即可解決問題。
三、 著手關(guān)鍵化解難點(diǎn) (一) 將二次函數(shù)的一般形式化為頂點(diǎn)式 學(xué)生對(duì)前四個(gè)形式的二次函數(shù)y=ax2 (a≠0),y=ax2+k(a≠0),y=a(x+h)2(a≠0),y =a(x+h)2 +k(a≠0)畫圖像、說性質(zhì)相對(duì)比較容易,對(duì)后兩個(gè)形式的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),y=ax2+bx(a≠0)畫圖像、說性質(zhì),難度就大得多。因?yàn)橐獙⑺鼈冝D(zhuǎn)化為y=a(x+h)2 +k
11、(a≠0)的形式,其中涉及配方的問題。而配方又涉及完全平方公式——這在一元二次方程解法的教學(xué)時(shí)已有所涉獵。因此,教學(xué)一元二次方程解法時(shí),就必須注重配方法的教學(xué),到了這個(gè)階段再增添求二次三項(xiàng)式的最值問題,學(xué)生因?yàn)檎莆樟伺浞降姆椒?就容易理解和接受了。
(二) 列二次函數(shù)關(guān)系式和應(yīng)用二次函數(shù)關(guān)系式 比如,最大效益問題是一元二次方程的利潤(rùn)類應(yīng)用問題的遷移,關(guān)鍵是把握關(guān)系式“每畝(件、千克)效益(利潤(rùn))畝數(shù)(件數(shù)、千克數(shù))=總效益(總利潤(rùn))”;面積類問題,關(guān)鍵是面積公式;給二次函數(shù)圖像列二次函數(shù)關(guān)系式解決問題,關(guān)鍵是設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式;建立直角坐標(biāo)系,求出二次函數(shù)關(guān)系式解決問題,關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系、設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式;應(yīng)用二次函數(shù)關(guān)系式,關(guān)鍵是理解關(guān)系式中的字母的意義,看清問題中要求的是關(guān)系式中的哪一個(gè)問題,從而確定方法。
參考文獻(xiàn): [1] 羅增儒。數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社 [2] 李明振。數(shù)學(xué)方法與解題研究[M].上海:上海科技教育出版社
【教學(xué)論文】如何整體把握重點(diǎn)突破淺談二次函數(shù)教學(xué)
