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1、關注學生主動建構,南京外國語學校 陳光立 210008 ,例說新課程高中數學教學設計,實行新課程標準，提高教學質量，教育理念是靈魂，教材建設是關鍵，教師素質是根本，課堂教學是核心，教學評價是導向，現代化技術是推進器.,點,祝愿我們數學教育工作者做出無愧于時代的貢獻，給我們所有的學生 一雙能用數學視角觀察世界的眼睛， 一個能用數學思維思考世界的頭腦， 一副為謀國家富強人民幸福的心腸 張孝達,數學知識是人類認識的一種成果，包括人對周圍事物“數”與“形”方面的經驗和“有秩序的論理體系”兩個方面。當前，人們把數學知識分為明確知識（如數學事實、數學原
2、理等）和默會知識（如數學思想方法、解決問題的策略等），這是比較科學的；數學知識、技能類化（系統(tǒng)化、概括化）的結果就成為數學能力；一個人數學素養(yǎng)的高低，主要體現在是否能“數學地看問題”和“數學地思維”。,M. Kline 在西方文化中的數學中指出，數學是一種精神，一種理性精神，正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞并驅使人類的物質、道德和社會生活，試圖回答人類自身存在提出的問題，努力去理解和控制自然，盡力去探索和確立已經獲得知識的最深刻和最完善的內涵,數學的理性精神被看成西方文明的核心,,數學教育方法的核心是學生的再創(chuàng)造. 教師不應該把數學當作一個已經完成了的形式理論來教，不應該將各種定義、規(guī)則、算法灌
3、輸給學生，而是應該創(chuàng)造合適的條件，讓學生在學習數學的過程中，用自己的體驗，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關的數學知識. Freudenthal,應用,對數學價值的認識,數學思想對于人類進步和社會發(fā)展的重要影響,數學是探索自然現象、社會現象基本規(guī)律的工 具和語言,純粹數學的重要作用,傳統(tǒng)觀念：上課就是不折不扣執(zhí)行教案或者事先設定的教學思路的過程，教學活動是教師主導的獨角戲，而且主要是完成知識傳授而不需顧及學生情感的獨角戲.,新的教育理念：教學過程是展示學生的過程，是讓學生展示的過程.煥發(fā)出生命活力的課堂才是理想的課堂.,一、關注學生主動建構,改進學生學習方式是數學教育改革的核
4、心 我國的數學教育比較強調教師的傳授，強調經過學生艱苦努力，反復的練習而達到對知識的理解，而對學生的自主探究、合作交流等重視不夠，學生學得比較被動所以，把發(fā)揮學生主動性，變被動學習為主動學習，重視學生親身實踐，給學生提供探索的空間，使學習過程成為學生在自己已有經驗基礎上的主動建構過程等作為改革的重點，有現實意義,學生的學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，新課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習方式這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程. 這有利于激發(fā)學生的學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣， 體驗知
5、識的發(fā)現和創(chuàng)造歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.,積,比,當前，強調學生對研究過程的參與以及對科學概念、科學方法、科學態(tài)度的全面掌握為目標的探究教學已成為一種基本教學模式然而，改進學生學習方式并不等于排斥接受學習實際上，接受學習并不一定就是被動的“舉一反三”“融會貫通”“觸類旁通”等都是能動的接受學習的寫照學習方式的被動或主動，關鍵并不在于它是“接受的”還是“發(fā)現的”，而在于教學活動中學生主體的思維參與程度，能否為學生創(chuàng)設更多的主動建構的機會,現代教育理論研究認為: 教育現代化等于“情感化”加上“技術化”.,改革課堂教學、提高課堂教學質量,讓學生積極參與教學過程的關鍵是教師教育觀念的轉變,是教學方法的
6、情感化.,師生之間的情感交流,師生間心理距離的接近,師生之間、學生之間的相互激勵作用,無疑會大大提高課堂教學的效率.從某種意義上講,良好的師生關系與和諧的學習氛圍已成為比講課本身更重要的學習因素.,相互尊重 平等對話 選擇微笑 學會傾聽 善待挫折 寬容失敗 鼓勵探索 因勢利導,二、發(fā)展以學生為主體的教學,所有教學都歸結為兩個字：主動. 學生主動學習是最終的目標. 學生是自己活動中的主體，他們必須通過自主活動來認識事物、掌握知識，使自己的身心獲得發(fā)展教師必須為學生主動學習提供空間，教師就是為學生設計一個主動思維的舞臺，創(chuàng)設主動建構的情境，而不只是提供主動獲取知識的機會. 知識不是目標，而是通過知
7、識的獲得過程，使學生形成科學的思維方式，使學生獲得研究方法.,現代教育正在從“知識中心”向“人本中心”轉化，它使教育更關心學生個性充分、自由、自主、全面的發(fā)展. 教師要給學生提供的是學習資源、學習方法和學習氛圍，幫學生搭建知識的“腳手架” ，讓學生主動、積極地攀向知識的高峰，真正成為學習的主人！,教師應該具備真正的學生意識 (是否按照學生思維來思考教學 )、童年意識( 是否把學生提出的稚嫩問題和“天真”想法當作寶貴的教學資源 ),教師應該知道敬畏生命，并以“給知識注入生命，知識因此而鮮活，給生命融入知識，生命因此而厚重” 這樣的座右銘來激勵自己。,教師也是教學過程中的主體，因為教師是教學過程的
8、認識者、組織者，他對教學過程所涉及的各種因素(如教學內容、學生)進行認識，這是一個科學探索的過程，是體現教師創(chuàng)造性的過程課堂教學對教師而言，“不只是為學生成長所作的付出，不只是別人交付任務的完成，它同時也是自己生命價值和自身發(fā)展的體現” 教學過程中教師的主導是他發(fā)揮主體作用的一種具體表現形式,課堂教學過程中，“雙主體”觀更能客觀地反映師生關系：學生是學的主體，主要表現在思維的自主；教師是教的主體，是整個教學活動的設計者、組織者和引導者,主導 主體 主線,理想教師應該是 一個胸懷理想、充滿激情和詩意的教師 一個自信、自強，不斷挑戰(zhàn)自我的教師 一個善于合作、具有人格魅力的教師 一個充滿
9、愛心、受學生尊敬的教師 一個追求卓越、富有創(chuàng)新精神的教師 一個關注人類命運、具有社會責任感的教師 一個堅韌、剛強、不向挫折彎腰的教師,一名理想的教師，應該不斷地追求成功，設計成功，更重要的是撞擊成功,,定位、設計、操作、反思,三、關于課堂教學的四個環(huán)節(jié),1定位：課標教材學情目標,2設計：目標過程方法手段,（教學情境、新授課、習題課、復習課）,良好的教學情境能促進學生主動學習教學情境是一堂課的起點，對課堂教學的成敗起著十分重要的作用,重視課堂教學情境設計,情境設計應貼近學生生活，切忌舍近就遠生搬硬套,情境設計應緊扣教學目標，切忌喧賓奪主隨意編造,情境設計應講究教學效益，切忌故弄玄虛花里胡哨
10、,情境設計應根據實際需要，切忌亂用媒體追求新潮,情境設計應注重整體貫通，切忌有頭無尾穿鞋戴帽,新課程倡導教學設計的特點有效教學的保證,它不是對課堂情景進行面面俱到的預設，它只描述大體的輪廓，它只明確需要努力實現的三維目標，它給各種不確定性的出現留下足夠的空間并把這些不可預測的事件作為課堂進一步展開的契機,它是教師構思教學的過程，它凝聚著教師對教學的理解、感悟和教育的理想、追求，閃爍著教師的教學智慧和創(chuàng)造精神一句話，它是教師教學過程中的創(chuàng)造性勞動,它是課前構思與實際教學之間的反復對話，是一次次實踐之后的對比、反思和提升，它一直處于自我校正、自我完善的動態(tài)發(fā)展之中至少，它的重要意義并不體現在課前的
11、一紙空文，而是展現于具體的教學過程、情境和環(huán)節(jié)之中，完成于教學之后,它始終充滿懸念，因而可能不斷產生令人激動的亮點惟其如此，它才能與教學現實實現融合，并因此而豐富自己，獲得旺盛的生命力，才有可能凝煉為可供愉悅對話的文本,加強校本教研，重視集體備課下的再創(chuàng)造,設計好一個初始問題就從根本上設計好了一節(jié)課，因為學生解決初始問題的活動是按照一定的規(guī)律展開，可以說，在初始問題確定以后，課的大體發(fā)展方向和框架就已經確定了它是會按照自身的邏輯展開的,教師在設計好初始問題(以及提出問題的方案)，準備好概略性解決方案(不止一個)和幾種適應學生狀況的思維模式以后，再重點地弄清關鍵部分的細節(jié)，就可以去上課了當然，在
12、上課時你可能會遇到不少意外的情況,但是只要堅持過程性教學原則，不回避問題和矛盾，只要熟悉并應用數學文化的規(guī)范，就一定會上好課而且會出乎意料的精彩、自然和富有創(chuàng)造性,3操作：二次創(chuàng)造 實踐檢驗 反饋評價 教學機智,(1) 教學情境,(2) 師生互動,(3) 因勢利導,(4) 評價小結,反思是教師職業(yè)成長的發(fā)動機,反思的作用： 一是通過強調教師對自己的教學實踐的考察，立足于對自己的行為表現及其行為之依據的回顧、診斷、自我監(jiān)控和自我調適達到對不良的行為、方法和策略的優(yōu)化和改善，提高教學能力和水平，并加深對教學活動規(guī)律的認識理解，從而適應不斷發(fā)展變化著的教育要求 二是賦于教師新的角色定
13、位：教師成為研究者，使教師工作獲得尊嚴和生命力，表現出與其他專業(yè)如律師、醫(yī)師相當的學術地位,4反思,成長經驗反思,如果一個教師僅僅滿足于獲得經驗而不對經驗進行深入的思考，那么，他永遠只能停留在一個新手型教師的水準上,對課堂上遇到的問題進行調查研究； 每天記錄自己在教學工作中獲得的經驗、心得， 并與指導老師共同分析； 與專家型教師相互觀摩彼此的課，然后與對方交 換看法,教學反思是青年教師成長的捷徑之一,教學案例,提高數學素養(yǎng),課堂教學總的要求：,提供知識背景,創(chuàng)設問題情境,展示思維過程,培養(yǎng)數學能力,參數方程,點距,回顧反思,問題情境,學生活動,意義建構,數學理論,數學運用,提出問題,體驗數學,
14、感知數學,建立數學,理解數學,應用數學,內容組織主要形式,問題情境：包括實例、情景、問題、敘述等 意圖：提出問題 學生活動：包括觀察、操作、歸納、猜想、驗證、 推理、建立模型、提出方法等個體活動，也包括討論、合作、交流、互動等小組活動； 意圖：體驗數學 意義建構：包括經歷過程、感受意義、形成表象、自我表征等. 意圖：感知數學,數學理論：包括概念定義、定理敘述、模型描述、算法程序等 意圖：建立數學 數學運用：包括辨別、解釋、解決簡單問題、解決復雜問題等 意圖：運用數學 回顧反思：包括回顧、總結、聯系、整合、拓廣、創(chuàng)新、凝縮（由過程到對象）等 意圖：理解數學
15、,,案例1 函數的概念,問題1： 在初中我們是如何認識函數這個概念的？,(一)問題情境 教師提出本節(jié)課的研究課題： 在初中，我們把函數看成是刻畫和描述兩個變量之間依賴關系的數學模型，今天我們將進一步學習有關函數的知識.,(二)學生活動 1讓學生就問題1略加討論，作為討論的一部分，教師出示教材中的三個例子，并提出問題2 2問題2：在上面的例子中，是否確定了函數關系？為什么？ 通過對問題2的討論，幫助學生回憶初中所學的函數概念，再引導學生回答問題1,函數的傳統(tǒng)定義：變量的觀點,f (t)， t0，24,(三)建構數學 1建構 問題3：如何用集合的觀點來理解函數的概念？ 問題4：如何用集
16、合的語言來闡述上面3個例子中的共同特點？ 結論：函數是建立在兩個非空數集之間的單值對應,2反思 （1）結論是否正確地概括了上面例子的共同特征? （2）比較上述認識和初中函數概念是否有本質上的差異？ （3）一次函數、二次函數、反比例函數等是否也具有上述特征？ （4）進一步，你能舉出一些“函數”的例子嗎？它們具有上述特征嗎？ （作為例子，可以討論課本P24練習）,一般地，設 A，B是兩個非空的數集，如果按某種對應法則 f，對于集合A中的每一個元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y 和它對應，這樣的對應叫做從A 到 B的一個函數(function)，通常記為 yf (x)，x A 其中，所有的輸
17、入值 x 組成的集合A叫做函數yf (x)的定義域(domain),問題5：如何用集合的觀點來表述函數的概念？ 給出函數的定義指出對應法則和定義域是構成一個函數的要素,(四)數學理論,函數的近代定義：集合語言、對應的觀點,(五)數學運用 1定義的直接應用 例1（課本P23例1） 例2（課本P23例2） 2已知函數確定函數的值域 例3（課本P23例3） (注意把握難度),(六)總結反思 問題6：“初中的”函數定義和今天的定義有什么區(qū)別？ 問題7：你認為對一個函數來說，最重要的是什么？,(一)問題情境 1情境：第2.1.1開頭的第三個問題； 2問題：說出氣溫在哪些時間段內是升高的或下降的
18、？,你在圖象中，讀到哪些信息？,怎樣用數學語言刻畫上述時段內“隨著時間的增大氣溫逐步升高”這一特征？,案例2 函數的單調性,(二)學生活動 問題1：觀察下列函數的圖象（如圖1），指出 圖象變化的趨勢,問題2：你能明確說出“圖象呈逐漸上升趨勢” 的意思嗎？ 在某一區(qū)間內， 當x的值增大時，函數值y也增大 圖象在該區(qū)間內呈上升趨勢 當x的值增大時，函數值y反而減小 圖象在該區(qū)間內呈下降趨勢,函數的這種性質稱為函數的單調性,(三)建構數學 問題3：如何用數學語言來準確地表述函數的單 調性呢？ 怎樣表述在區(qū)間（0，+）上當x的值增大時，函數y的值也增大？ 能不能說，由于
19、x1時，y3；x2時，y5就說隨著x的增大，函數值y也隨著增大?,能不能說，由于x1，2，3，4，5，時，相應地 y3，5，7，9，就說隨著x的增大，函數值 y 也隨著增大？ 如果有n個正數x1< x2
20、區(qū)間的概念,(四)數學理論,函數的單調性是函數的“局部性質”，它與區(qū)間密切相關,(五)數學運用 1例題 例1 作出下列函數的圖象，并寫出函數的單調區(qū)間 （1）yx 22； （2）,提問：能不能說，函數 (x0)在整個定義域上是單調減函數？ 引導討論，從圖象上觀察或取特殊值代入驗證否定結論（如取x1=1，x2=2）,例2 觀察下列函數的圖象 并指出它們是否為定義域上的增函數： （1）y(x1)2 （2）y=|x1|1 2練習 練習第1、第2、第5題 (六）回顧小結 本節(jié)課主要學習了函數單調性的概念以及判斷函數在某個區(qū)間上的單調性的方法,教學目標：,教學重點：用二分法求方程的近似解,教學
21、難點：二分法求方程近似解的算法,掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助計算機或計算器求方程的近似解；理解二分法求方程近似解的算法原理，進一步理解函數與方程的關系； 培養(yǎng)學生利用現代信息技術和計算工具的能力；培養(yǎng)學生探究問題的能力與合作交流的精神，以及辯證思維的能力； 鼓勵學生大膽探索，激發(fā)學生學習數學的興趣，培養(yǎng)學生探尋和欣賞數學美，形成正確的數學觀.,案例3 用二分法求方程的近似解,中學電視臺 “幸運52”錄制現場 有獎競猜,問題情境(提出問題),請同學們猜一猜某物品的價格,問題1能否求解以下幾個方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0 (3) x3+3x-1=0
22、,問題2不解方程,能否求出方程(2)的近似解？,指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能運用于解另外兩個方程.,學生活動 意義建構(體驗數學、感知數學),由圖可知：方程x2-2x-1=0 的一個根x1在區(qū)間(2,3)內，另一個根x2在區(qū)間(-1,0)內,畫出y=x2-2x-1的圖象(如圖),結論：借助函數 f(x)= x2-2x-1的圖象，我們發(fā)現 f(2)=-10，這表明此函數圖象在區(qū)間(2, 3)上穿過x軸一次，可得出方程在區(qū)間(2,3)上有惟一解.,問題3不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一個正的近似解（精確到0.1）?,思考：如何進一步有效縮小根所在的區(qū)間？,由
23、于2.375與2.4375的近似值都為 2.4,停止操作,所求近似解為2.4。 數離形時少直觀，形離數時難入微！,由于2.375與2.4375的近似值都為2.4,停止操作,所求近似解為2.4。,,1簡述上述求方程近似解的過程,f(2.5)=0.250, f(2.25)= -0.4375<0, f(2.375)= -0.2351<0, f(2.4375)= 0.1050,通過自己的語言表達，有助于對概念、方法的理解!, 2.375與2.4375的近似值都是2.4, x12.4,,解：設f (x)=x2-2x-1，x1為其正的零點,對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)<0的函數y=f(x
24、)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點逐步逼近零點，進而得到零點(或對應方程的根)近似解的方法叫做二分法,數學理論(建立數學),問題5：二分法實質是什么？,用二分法求方程的近似解，實質上就是通過“取中點”的方法，運用“逼近思想逐步縮小零點所在的區(qū)間。,問題4如何描述二分法？,例題：利用計算器，求方程2x=4-x的近似解 （精確到0.1）,怎樣找到它的解所在的區(qū)間呢？,在同一坐標系內畫函數 y=2x 與y=4-x的圖象（如圖）,能否不畫圖確定根所在的區(qū)間？,方程有一個解x0(0, 4),如果畫得很準確，可得x0(1, 2),數學運用(應用數學),解：設函數 f (x
25、)=2x+x-4,則f (x)在R上是增函數f (0)= -30, f (x)在(0,2)內有惟一零點， 方程2x+x-4 =0在(0, 2)內有惟一解x0.,由f (1)= -10 得：x0(1,2),由f (1.5)= 0.330, f (1)=-1<0 得：x0(1,1.5),由f (1.25)= -0.370 得：x0(1.25,1.5),由f (1.375)= -0.0310 得：x0(1.375,1.5),由 f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)<0 得： x0(1.375,1.4375), 1.375與1.4375的近似值都是1.4, x01.4,1. 利
26、用y=f(x)的圖象,或函數賦值法(即驗證f(a)f(b)0),判斷近似解所在的區(qū)間(a, b).,；,2“二分”解所在的區(qū)間, 即取區(qū)間(a, b)的中點,3計算f (x1)： (1)若f (x1)0，則x0 x1； (2)若f (a)f(x1)0，則令bx1 (此時x0(a, x1)); (3)若f (a)f(x1)0，則令ax1 (此時x0(x1,b)).,；,4判斷是否達到給定的精確度，若達到，則得出近似解；若未達到，則重復步驟24,問題6: 能否給出二分法求解方程f(x)=0 (或g(x)=h(x))近似解的基本步驟？,練習1： 求方程x3+3x-1=0的一個近似解(精確到
27、0.01),畫y=x3+3x-1的圖象比較困難，,變形為x3=1-3x，畫兩個函數的圖象如何？,知識拓展,介紹如何利用excel來幫助研究方程的近似解？,有惟一解x0(0,1),excel,練習2: 下列函數的圖象與x軸均有交點,其中不能用二分法求其零點的是 （ ）,C,問題7:根據練習2，請思考利用二分法求函數 零點的條件是什么？,1. 函數y=f (x)在a,b上連續(xù)不斷 2. y=f (x)滿足 f (a)f (b)<0，則在(a,b)內必有零點.,思考題 從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現在某接點發(fā)生故障，需及時修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至
28、少需要檢查幾個接點？,回顧反思(理解數學),課堂小結,1.理解二分法是一種求方程近似解的常用 方法 2.能借助計算機(器)用二分法求方程的近 似解，體會程序化的思想即算法思想 3.進一步認識數學來源于生活，又應用于 生活 4.感悟重要的數學思想：等價轉化、函數 與方程、數形結合、分類討論以及無限 逼近的思想.,另一案例,點到直線的距離,案例4 點到直線的距離,（課堂教學實錄）,點P(2,5)到直線 l 的距離 d =_____.,,3x 4y+14=0,4x+3y 11=0,得:,3(x-2) -4(y-5)=0,勾三股四弦五,導入,問題 已知：點P (x0 , y0) 和直線 l: Ax
29、+By+C=0 求點P到直線l 的距離.,分析1 過點P作l1l ，垂足為Q，則 |PQ| 就是點P 到 直線l 的距離. 依題意 l1: B x-Ay-Bx0+Ay0=0,,,結論 點P (x0 , y0)到直線 l: Ax+By+C=0的距離為:,換個角度思考 重新構造方程,2+2： (A2+B2)(x-x0)2+( y-y0)2=(Ax0+By0+C)2,設而不求，整體代入,分析2 設M(x, y)是直線 l 上的一個動點, 則P到直線 l 的距離就是 |PM| 的最小值.,動畫,剛才你在計算時畫圖了嗎?,|PS|=3，|PR|=4，|RS|=5,充分挖掘 潛在的幾何條件,若直線 l
30、 經過點R (2, 1) 和 S (-1, 5), 則直線 l 的方程為 4x+3y-11=0 . 過點P(2,5)垂直于l 的方程為3x4y+14=0， 點P(2,5)到直線 l 的距離 d = .,回憶前面的練習,,分析3當A.B0 時, 直線 l 與x 軸、y 軸都相交.過P分別作x 軸、y 軸的平行線,交直線l 于S 、R兩點, 則RtPRS中斜邊RS上的高PQ的長就是P到直線 l 的距離.,得:,當A=0或B=0時仍適用,1. 當P(x0 ,y0)在直線 l: Ax+By+C=0上時, d=0.,2. 當A=0或B=0時,公式也適用. 但可以直接求距離.,結論 點P (x0 , y
31、0)到直線 l: Ax+By+C=0的距離為:,另有分析4，有興趣的可課后探索（見后）,例1.求點 P ( -1, 2 ) 到下列直線的距離: 2 x + y 10 =0 3 x =2,解: , 因為直線3x=2平行于y軸, 所以,練習2 A(-2,3)到直線 3x+4y+3=0的距離為_____. B(-3,5)到直線 2y+8=0的距離為______.,9,0,練習1 求原點到下列直線的距離： (1) 3x+2y-26=0 (2) y=x,例2. 求平行線 2x -7y +8=0 和 2x -7y -6=0 的距離.,解: 在直線 2x -7y -6=0 上取 P( 3,
32、0), 則 P( 3, 0)到 直線 2x -7y +8 =0 的距離就是兩平行線間的距離.,例4. 邊長為4 的正方形中心為Q (1,-1), 一邊的斜率為 ,求正方形各邊所在直線的方程.,例3. 在拋物線 y=4x2 上求一點P, 使P到直線 l: y=4x-5 的距離最短,并求出這個最短距離.,解:依題意設 P(x,4x2), 則P到直線l: 4x- y-5=0的距離為,作業(yè)：P54 / 13、14、15、16.,R,,課后探索,教師提供知識背景，創(chuàng)設問題情境，讓學生從不同的角度分析比較, 尋求計算點到直線距離的方法, 從按常規(guī)思路“求交點算距離”、到觀察動畫從變化的角度構造函數求“極
33、值”，再挖掘幾何條件“形數結合”，在直角三角形中求解。通過特殊到一般的運算, 由具體到抽象，探索得到點到直線的距離公式 。教師參與討論并適時點撥，師生互動，學生在獲取知識的同時，得到一次有益的思維訓練，有利于能力的提高。,解斜三角形中，用向量方法推導正弦定理的思考,從三角形中最基本的向量關系式入手：,案例5 向量方法推導正弦定理,變化1,變化2,變化3,,參數方程的意義,普通高中課程標準實驗教科書 選修 4-4,（新課導入片斷）,案例6 參數方程的意義,坐標系的思想是17世紀著名哲學家、數學家笛卡兒在以前的一些樸素的的思想和零星的問題中比較系統(tǒng)地提出來的笛卡兒的工作標志著數學的發(fā)展進入了一個新
34、的時代，為牛頓萊布尼茲創(chuàng)立微積分和近代數學的發(fā)展奠定了基礎實際上，坐標系不僅僅是解析幾何的基礎，也是研究其他幾何問題、函數問題、方程問題等等的基礎坐標系的思想是現代數學最重要的基本思想之一，它是聯系幾何與代數的橋梁，充分地反映了數形結合的思想，它可以給出幾何問題的代數表示，也可以給出代數問題的幾何背景,T：現在我們這樣建立平面直角坐標系，每一個同學對應著第一象限的一個格點，第一排同學的縱坐標是1, 第一列同學的橫坐標是1，相鄰兩個同學的間距是1個單位下面，我就按坐標來提問首先請 (1,2)同學回答你對應的點到原點的距離是多少?,S(1,2):,T: 請(3,3)同學計算經過你和第一位同學對應的
35、點的直線斜率.,S(3,3):,T: (5,4)同學, 你對應的點在剛才兩點所確定的直線上嗎? 為什么?,S(5,4): 在! 因為剛才兩點確定的直線 l: 即 x -2y +3=0 經過點 (5,4).,T: 完全正確! 下面大家猜猜我該提問誰了?,(學生先茫然，后議論紛紛),T: 回想一下,我第1 次喊的是(1,2), 第2 次喊的是(3,3), 第3 次喊的是(5,4), 那么第4 次該論到誰呢? 如果猜出來了, 大家都向她瞧!,(逐漸地,有人把目光投向(7,5)同學, 接著她自己站起來了).,T: 為什么是你呢?,S(7,5): 因為點 (7,5) 在直線 x -2y +3
36、 =0 上.,T: 該直線上不止一個整點，為什么輪到(7,5)呢?,S(6,1): 橫坐標是連續(xù)的奇數, 縱坐標是從2開始的自然數.,T：很好！再想一想，為什么第4次輪到(7,5)? 照此規(guī)律，我第8次又該喊誰呢? 請考慮一下橫坐標和縱坐標分別與我喊的序號有什么關系?,S(4,3)：縱坐標是序號加1, 橫坐標是第“序號”個奇數.,T: 能用數學語言來表示嗎?,S(2,4)：設序號為n, 則 x=2n-1, y=n+1. 也就是說 x，y分別是 n 的函數.,S(2,6)：因為前幾個同學對應的點的橫、縱坐標分別是公差為 2 和 1 的等差數列.,在剛才的討論中,我們發(fā)現x與y的關系不明顯, 但它
37、們都是變數n的函數, 而變數n 既溝通了x與y 的聯系,又刻畫了動點的運動規(guī)律, 功不可沒! 我們還不難發(fā)現, 當變數n在正整數集合中取值時, 點(x,y) 的軌跡是直線 x-2y +3 =0 上孤立的點列; 當 n 在實數集合中取值時, 點 (x,y) 的軌跡是直線 x -2y +3 = 0 .,也就是說，直線l : x -2y +3 = 0上任意一點的坐標都是某個變數t 的函數: 并且對于每一個實數t, 由方程組(1)所確定的點M (x,y) 都在直線l 上.,T：直線的參數方程，你還能寫出別的曲線的參數方程嗎？,單位圓上的點能用一個變量來表示嗎？,你能寫出單位圓的參數方程
38、嗎？,你能寫出單位圓的方程嗎？,單位圓的參數方程,x2y21,拋,以C (a, b)為圓心，r 為半徑的圓呢？,例1求橢圓的參數方程 例2求炮彈運行軌跡的參數方程(略),參數的作用：溝通動點坐標的聯系, 刻畫動點運動的規(guī)律.,相對參數方程而言，原先的方程稱為普通方程,這個參數方程能化成普通方程嗎？,畫,參數方程是學生第一次接觸的新概念,如何從學生原有的認知結構出發(fā),創(chuàng)設情景,讓學生參與概念的產生和發(fā)展過程, 從中領悟參數的作用以及建立參數方程的可能性和必要性,就顯得十分重要.本節(jié)課概念引入的設計貼近學生實際,從學生熟悉的知識出發(fā),引導學生積極思維去探索未知問題的規(guī)律,認識概念的內涵,留下
39、了較深刻的印象, 取得較好的效果.,世界充滿著變化，有些變化幾乎不被人們所感覺，而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼例如 蘇州市2004年4月20日最高氣溫為33.4，而此前的兩天，4月19日和4月18日最高氣溫分別為24.4和18.6，短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！” 但是，如果我們將該市2004年3月18日最高氣溫3.5與4月18日最高氣溫18.6進行比較，我們發(fā)現兩者溫差為 15.1，甚至超過了14.8而人們卻不會發(fā)出上述感嘆 這是什么原因呢？ 原來前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢” 用怎樣的數學模型刻畫變量變化的快與慢？ 這樣
40、的數學模型有哪些應用？,只有微分學才能使自然科學有可能用數學來不僅僅表明狀態(tài)，而且也表明過程：運動 恩格斯,案例7 導數及其應用, 如何量化陡峭程度呢？,容易看出B，C之間的曲線較A，B之間的曲線更加“陡峭”陡峭的程度反映了氣溫變化的快與慢,1.1.1平均變化率,在本章引言的案例中， “氣溫陡增”的數學意義是什么呢？為了弄清這個問題，我們先來觀察下面的氣溫曲線圖（以3月18日作為第一天）,例1 嬰兒從出生到第12個月的體重變化(如圖)，試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率,例2 水經過虹吸管從容器甲中流向容器乙(如圖)，t秒鐘后容器甲中水的體積為 V
41、 (t)=5e0.1t(單位cm3) ， 計算第一個10秒內V 的平均變化率,例3 已知函數f (x) = x2，分別計算函數f (x)在區(qū)間1, 3, 1, 2, 1, 1.1, 1, 1.001上的平均變化率,例4 已知函數f(x) = 2x + 1，g(x) = 2x，分別計算在區(qū)間3，1， 0，5上函數 f (x)及g (x)的平均變化率,思考 從例4的求解中，你能發(fā)現一次函數ykxb在區(qū)間 m, n 上的平均變化率有什么特點嗎？,1.1.2 瞬時變化率導數, 如何精確地刻畫曲線上一點處的變化趨勢呢？,如果將點 P 附近的曲線放大后進行觀察我們發(fā)現，曲線在點 P 附近看上去有點像是
42、直線,如果將點P附近的圖形放大再放大，我們發(fā)現，曲線在點P附近的曲線看上去幾乎成了直線事實上，如果繼續(xù)放大，可以發(fā)現點P附近的曲線將接近（逼近）一條確定的直線 l，該直線 l 是經過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線,1曲線上一點處的切線,因此，在點P附近我們可以用這條直線l來代替曲線，也就是說：在點P附近，曲線可以看作直線，即在很小范圍內以直代曲,既然點P附近的曲線被看作直線l，從而可用直線l的斜率刻畫曲線經過點P時上升或下降的“變化趨勢”,怎樣找到經過曲線上一點P處最逼近曲線的直線l 呢？,如圖，設Q為曲線C上不同于P的一點，這時直線PQ稱為曲線的割線隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ
43、在點P附近越來越逼近曲線C，當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為經過點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點P處的切線 利用這種割線逼近切線的方法，我們來計算曲線上一點處切線的斜率,,例1 已知f(x) = x2，求f (x)在x = 2處的切線斜率,2瞬時速度與瞬時加速度 在物理學中，運動物體的位移與所用時間的比，稱為平均速度平均速度是物體運動快慢程度的量化，但它是針對某一時間段而言的在變速運動中，每一時刻的速度都是不同的，那么如何精確刻畫每一時刻的速度呢？,例2 10米高臺跳水，運動員從騰空到入水的過程中，不同時刻的速度是不同的假設t秒后運動員相對于水面的高度為 H(t)
44、 = 4.9t2 + 6.5t + 10， 試確定t = 2秒時運動員的速度為多少？,例3 設一輛轎車在高速公路上作勻加速直線運動，假設t秒時的 速度為v(t) = t2 + 3求t = t0秒時轎車的加速度,3導數 前面的實際問題都涉及了一個相同的數學模型導數： 設函數y = f (x)在區(qū)間(a, b)上有定義，x0(a, b)，當x無限趨近于0時，比值,則稱f (x)在點 x = x0 處可導，并稱該常數A為函數f (x)在點x = x0處的導數（derivative），記作 f (x0),若f (x)對于區(qū)間(a，b)內任一點都可導，則f (x)在各點的導數也隨著自變量x的變化而變
45、化，因而也是自變量x的函數，該函數稱為的導函數，記作f (x),二 項 式 定 理,（課 堂 教 學 實 錄）,案例8 二項式定理,有 n 個口袋，每個口袋都同樣裝有一紅一黑兩個小球，現依次從這些口袋中各取出一個小球，共有_____種不同的取法；,“無黑” (全紅) 的取法有_____種；,“恰有2個黑球”的取法有_____種；,“恰有r 個黑球”(rn) 的取法有____種；,“全是黑球”的取法有______種.,“取球”的不同結果共有_________個.,n + 1,“恰有1個黑球”的取法有_____種；,其中，,展開式中 a n 的系數是_______.,展開式中a n-1b 的系數
46、是_______.,展開式中a n-rbr 的系數是_______.,展開式中a n-2b2的系數是_______.,展開式中 b n 的系數是_______.,n+1,an , an-1 b , an-2 b2 , , an-r b r , , a b n-1 , b n,二項式 (a+b) 的正整數次冪 (a+b)n ( nN* ) 的展開式稱為(a+b)n 的二項展開式. 那么,二項展開式有什么規(guī)律嗎？,展開式中a b n-1 的系數是_______.,(a1+b1) (a2+b2) (a n+ b n)展開式共有________項.,展開式中 a n 的系數是_______,展開式中
47、a n-1b 的系數是_______,展開式中a n-rbr 的系數是_______,展開式中a n-2b2 的系數是_______,展開式中 b n 的系數是_______,an , an-1 b , an-2 b2 , , an-r b r , , a b n-1 , b n,展開式中a b n-1 的系數是_______,n+1, 這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多 項式叫做 (a +b)n 的二項展開式, 其中的系數 叫做 二項式系數， 展開式中的 叫做二項式的 通項，用 表示，即通項公式 (r=0,1,2,,n) 表示展開式的第
48、 r +1 項.,一. 二項式定理,注意:(1)公式中的a、b 可以是單項式，也可以是多項式 . (2)公式中a、b 的順序不能顛倒.,二 . 二項展開式的性質,(1)項數：,(3)指數：,a 的指數從n 起依次減 1 直到 0，b 的指數從0 起依次增 1 直到 n ，每項中 a、b 的指數和為n .,展開式共有 n +1項.,(2)系數：,注意：展開式中某一項的系數和該項的二項式系數是不同的概念.,如果用b 替換公式中的b ,則得到公式：,如果設 a =1 b =x , 則得到公式：,如果令a =b =1 呢？,,,-160a3b3,20,-160,D,解：設展開式的第 r+1 項為常數
49、項，則,令 24 -3r=0, 解得 r=8 , 即第 9 項是常數項.,（課后選作題）,一. 二項式定理,依次為組合數 (二項式系數),二 . 二項展開式的性質,（1）項數：,（3）指數：,注意:(1)公式中的a、b 可以是單項式，也可以是多項式 . (2)公式中a、b 的順序不能顛倒.,a 的指數從n 起依次減 1直到 0，b的指數從0 起依次增 1直到 n ，每項中 a、b 的指數和為n .,展開式共有 n +1項.,（2）系數：,這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做 (a+b)n 的二項展開式. 叫做二項式系數.,展開式中某一項的系數和二項式系數是不同的概念.,,,作業(yè)：P111 / 3. 4 (1) (2),解答,教師是課程實施的關鍵，是課改成敗的關鍵,課堂教學是課程改革的主陣地,為什么要“改”？教育理念的轉變,改什么？新課程“新”在何處？,怎么改？教學觀念的轉變,教師角色的轉變組織者、引導者、合作者,教學要求的把握教之道在于“度”,教學過程的設計“教”教材還是“用”教材,教學手段的更新多種媒體的合理使用,結束語,謝謝!,南京外國語學校 陳光立 210008 ,
關注學生主動建構-例說新課程高中數學教學設計.ppt
