高等數(shù)學(xué)中極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透.doc
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本科生畢業(yè)論文 題目：高等數(shù)學(xué)中極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透 學(xué)生姓名：段錫朋 學(xué) 號(hào)：20121050225 專(zhuān) 業(yè)：數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué) 指導(dǎo)教師：葛瑜 2016年4月27日 目錄 摘要 2 緒論 4 2.2 極限在拋物線上的應(yīng)用 6 第三章 極限在數(shù)列中的應(yīng)用 8 3.1 極限在等比數(shù)列中的應(yīng)用 8 3.2 洛必達(dá)法則在等比數(shù)列中的應(yīng)用 9 第四章 極限在不等式中的應(yīng)用 10 4.1 極限比較不等式的大小 11 4.2證明不等式 12 第五章 極限在立體幾何中的應(yīng)用 13 5.1極限確定角度的大小 13 結(jié)論 16 致謝 17 參考文獻(xiàn) 18 摘要 大學(xué)數(shù)學(xué)主要以極限為基礎(chǔ)，中學(xué)數(shù)學(xué)主要鍛煉人的形象思維，隨著中學(xué)數(shù)學(xué)課程的改革，在中學(xué)數(shù)學(xué)中滲透入大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為常態(tài)，因此，了解和應(yīng)用一些簡(jiǎn)單的大學(xué)數(shù)學(xué)中極限方法對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常有必要的。極限思想是大學(xué)數(shù)學(xué)中比較重要的一種思想，它從數(shù)量上描述了變量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化趨勢(shì)。極限思想不僅在高等數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，而且在中等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用也十分廣泛，特別是在幾何，函數(shù)，數(shù)列求解，三角函數(shù)，不等式等方面也有著密切的聯(lián)系。因此，極限的方法在解決中學(xué)數(shù)學(xué)的部分問(wèn)題時(shí)有著不可忽視的作用。對(duì)于有些較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的極端狀態(tài)的討論和研究，運(yùn)用極限思想求解，可以避開(kāi)一些復(fù)雜的運(yùn)算，優(yōu)化了解題的過(guò)程，降低了問(wèn)題的難度，達(dá)到事半功倍的效果。 關(guān)鍵字：大學(xué)數(shù)學(xué)，中等數(shù)學(xué)，極限，幾何，數(shù)列，函數(shù)，不等式。 Abstract College mathematics is based on the limit while the main purpose of mathematics teaching in middle school is to cultivate students’ ability of imaginal thinking. With the reform of math course in middle school, it has become normal state to infiltrate basic components of college mathematics into math teaching in middle school. Thus, it is necessary for middle school students to learn the limit method. The limit cognition which describes the variation tendency of variables in movement, is an important thinking in college math study. It has been widely applied not only in advanced mathematics but only in mathematical teaching in middle school, especially in geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation. That is to say, limit method is assignable in solving some problems of middle school mathematics. It is effective. Through the discussion and study of the extreme condition, the application of the limit cognition in solving intricate mathematical problems can simplify and optimize the concrete operations, ease the difficulty level and get twofold results with half the effort. key: College mathematics，limit，geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation 緒論 極限思想是近代數(shù)學(xué)發(fā)展中的一種比較重要的思想。所謂的極限思想就是指用極限的概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種重要的數(shù)學(xué)思想。極限思想的核心就是極限，極限簡(jiǎn)單點(diǎn)來(lái)說(shuō)就是永遠(yuǎn)接近的意思。極限思想解決問(wèn)題的一般步驟分為：確定問(wèn)題的未知量，再構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。隨著中學(xué)課程的改革，中高考中逐漸加強(qiáng)對(duì)極限思想的考查，通過(guò)一些創(chuàng)新題，讓學(xué)生感受其中蘊(yùn)含的極限思想。所以這就對(duì)學(xué)生的要求越來(lái)越高，需要對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)中的極限初步掌握。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，有些題目雖然和極限無(wú)關(guān)，但若運(yùn)用變化的觀點(diǎn)，靈活地用極限思想來(lái)思考，往往可以降低解題難度。? 本課題就從大學(xué)數(shù)學(xué)中極限思想在解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用進(jìn)行了探究，用無(wú)限逼近的方式從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變。 研究意義 極限思想作為一種重要思想，在大學(xué)數(shù)學(xué)中乃至整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史中都占有重要的地位。極限思想在大學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無(wú)限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系。用極限思想解決問(wèn)題，往往能突破思維上的禁錮，化繁為簡(jiǎn)。 本課題解決的主要問(wèn)題 本文主要對(duì)大學(xué)數(shù)中的學(xué)極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、不等式中的應(yīng)用進(jìn)行分析，然后具體比較大學(xué)數(shù)學(xué)中的極限思想的解法和中學(xué)數(shù)學(xué)中的不同，進(jìn)而體現(xiàn)出極限思想的優(yōu)點(diǎn)。 極限的定義 極限是高等數(shù)學(xué)中比較重要的一個(gè)模塊，內(nèi)容涉及到了函數(shù)，數(shù)列，導(dǎo)數(shù)，定積分等多個(gè)領(lǐng)域，學(xué)習(xí)和掌握難度較大。而由于極限在中學(xué)中的滲透，且應(yīng)用相對(duì)于高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，難度較小。所以，對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)，掌握一些簡(jiǎn)單的極限以及極限的應(yīng)用是十分必要的。極限在中學(xué)中的滲透主要體現(xiàn)于函數(shù)極限和數(shù)列極限。下面就介紹函數(shù)極限的定義和數(shù)列極限的定義及其極限之間的簡(jiǎn)單運(yùn)算。 函數(shù)極限的定義：設(shè)y=f(x)是一個(gè)函數(shù)，A是一個(gè)常數(shù)，x0 是一個(gè)點(diǎn)，f(x)在x0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義。如果當(dāng)x越來(lái)越接近x0時(shí)，函數(shù)值越來(lái)越接近常數(shù)A，則稱A為趨于x0的函數(shù)的極限。記為 limx→x0fx=A或fx→Ax→x0 數(shù)列極限的定義：設(shè){xn}是一個(gè)數(shù)列，如果存在實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意正數(shù)ε(不論ε多么小)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，均有不等式│xn-a|<ε成立，那么稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限，記作 limn→∞xn=a或xn→a（n→∞） 極限的四則運(yùn)算 數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：若{an}和{bn}為收斂數(shù)列，則{an+bn}，{an-bn}，{an·bn}也都是收斂數(shù)列，且有 limn→∞an±bn=limn→∞an±limn→∞bn limn→∞（an·bn）=limn→∞an·limn→∞bn 第二章 極限思想在函數(shù)中的應(yīng)用 2.2 極限在拋物線上的應(yīng)用 例1. 拋物線y=2x2與過(guò)焦點(diǎn)F的直線m交于兩點(diǎn)P、Q，F(xiàn)分線段PQ為兩個(gè)線段，其長(zhǎng)分別為p,q則1p+1q等于（ ） A,4 B,14 C,8 D,2 圖一 解：（1）中學(xué)數(shù)學(xué)解法：由題意可得拋物線的焦點(diǎn)F（0，18） 由直線的參數(shù)方程可得過(guò)點(diǎn)F的直線m的參數(shù)方程為 x=tcosθ y=18+tsinθ （1） y=2x2 (2) 聯(lián)立方程（1）和（2）并消去x和y得 2cos2θt2-tsinθ-18=0 （3） 韋達(dá)定理：一個(gè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1和x2，則x1+x2=-ba ,x1 x2=ca 根據(jù)韋達(dá)定理得方程的兩個(gè)根t1t2的關(guān)系為 t1+t2=sinθ2cos2θ t1t2=-116cos2θ 1p+1q=p+qpq=|t1+t2|t1t2=18 （2）極限的解法：因?yàn)镕是拋物線的焦點(diǎn)，所以可以得出F的坐標(biāo)為F（0,18） 因?yàn)橹本€m是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F任意運(yùn)動(dòng)的。 所以利用極限的思想，我們可以讓P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)O點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q就是運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 所以可以得到q∝∞，即1q∝0 于是1p+1q=118+0=8.即答案為C 解析：本題是探究拋物線的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，中學(xué)數(shù)學(xué)的解法是探求p，q之間的關(guān)系，中間還應(yīng)用到了參數(shù)方程和韋達(dá)定理，其過(guò)程比較繁瑣，計(jì)算比較復(fù)雜，不適合于解答選擇題。而利用大學(xué)數(shù)學(xué)中極限的解法，只要能認(rèn)識(shí)到動(dòng)點(diǎn)的極限狀態(tài)，借助于極限的思想就會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單：將線段PQ繞點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，因?yàn)镻F=OF=p=18，QF=q→∞，所以很快就可以得到1p+1q→∞。極限的這種解法充分的體現(xiàn)了思維的靈活性和敏捷性。 第三章 極限在數(shù)列中的應(yīng)用 在大學(xué)數(shù)學(xué)中我們就學(xué)過(guò)了數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則，在中學(xué)階段主要學(xué)習(xí)最基礎(chǔ)的等差數(shù)列和等比數(shù)列。而在中學(xué)的解題過(guò)程中同意可以運(yùn)用極限的思想來(lái)解決部分問(wèn)題。 下面看一下極限在數(shù)列中的應(yīng)用 3.1 極限在等比數(shù)列中的應(yīng)用 例.已知數(shù)列{an}，其中cn=2n+3n,且數(shù)列{cn+1-p·cn}為等比數(shù)列，求常數(shù)P 解：設(shè)數(shù)列{cn+1-p·cn}的公比為q，則 q=cn+2-p·cn+1cn+1-p·cn =2n+2+3n+2-p·（2n+1+3n+1）2n+1+3n+1-p·（2n+3n） =2n+12-p+3n+1(3-p)2n2-p+3n(3-p) =223n2-p+3(3-p)23n2-p+(3-p) （1） 對(duì)上式兩邊求極限 當(dāng)p=3時(shí)， q=?limn→∞2=2 當(dāng)p≠3時(shí)， q=limn→∞0+3(3-p)0+(3-p) 此時(shí) cn+2-p·cn+1=3（cn+1-p·cn） 即 2n+2+3n+2-p·2n+1+3n+1 =3（2n+1+3n+1）-3p·（2n+3n） 整理得 2n+2-p2n+1=3·2n+1-3p·2n 即 4-2p=6-3p 所以p=2或p=3 解析：此題采用中學(xué)數(shù)學(xué)中的解法：根據(jù)等比數(shù)列的定義用后一項(xiàng)和前一項(xiàng)之比來(lái)表示公比q，經(jīng)過(guò)運(yùn)算后發(fā)現(xiàn)根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)的常規(guī)計(jì)算很難得到公比q，而（1）式正好是大學(xué)數(shù)學(xué)中極限的簡(jiǎn)單運(yùn)算，采用極限的運(yùn)算很快得出公比q的值。這道題是中學(xué)數(shù)學(xué)解法與極限相輔相成的體現(xiàn)。并不能用兩種方法單獨(dú)解答，但是也很好的體現(xiàn)了極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透。 3.2 洛必達(dá)法則在等比數(shù)列中的應(yīng)用 例.limx→1xm-1xn-1=_______ 解：中學(xué)數(shù)學(xué)解法： 已知一個(gè)公比為x的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為： Sn=1+x+x2+…+xn =1-xn+11-x 所以 xn+1-1=（1-x）（1+x+x2+…+xn） 所以 xn-1=（1-x）（1+x+x2+…+xn-1） limx→1xm-1xn-1=limx→1（1-x）（1+x+x2+…+xm-1）（1-x）（1+x+x2+…+xn-1） =limx→11+x+x2+…+xm-11+x+x2+…+xn-1 =mn 用極限的思想的解法： 洛必達(dá)法則是用于無(wú)窮比無(wú)窮或0/0型，分子分母同時(shí)求導(dǎo)，可以多次求導(dǎo)，在求導(dǎo)過(guò)程中不斷尋找等價(jià)的無(wú)窮小，或削去無(wú)窮因子。 此題符合洛必達(dá)法則。 limx→1xm-1xn-1=limx→1（xm-1）'（xn-1）'=limx→1mxm-1nxn-1=mn 解析：觀察題目的分子分母可知分子分母符合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，再通過(guò)極限的計(jì)算得出結(jié)果。而采用大學(xué)數(shù)學(xué)的極限的方法，我們可以看出整個(gè)式子符合運(yùn)用洛必達(dá)法則的條件，所以通過(guò)洛必達(dá)法則對(duì)分子和分母同時(shí)求導(dǎo)就可以得出結(jié)果。此題是一道填空題，我們通過(guò)解答可以看出極限思想的優(yōu)越性。中學(xué)數(shù)學(xué)解法過(guò)程比較繁瑣和耗時(shí)，而極限的解法簡(jiǎn)單省時(shí)，甚至可以達(dá)到秒殺的效果，應(yīng)當(dāng)掌握 第四章 極限在不等式中的應(yīng)用 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的模塊，在大學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的應(yīng)用十分廣泛，例如極限的證明，夾逼法則的應(yīng)用等等。而極限同樣也在不等式中有著十分廣泛的應(yīng)用。 4.1 極限比較不等式的大小 例：已知 p>0，q>0，p≠q，比較13p+q，313（p3+q3），613（p6+q6）的大小。 解：中學(xué)數(shù)學(xué)的解法：采用賦值法，已知p>0，q>0，p≠q 假設(shè)p=3，q=6 則 13p+q=3 313（p3+q3）=33 613（p6+q6）=3395 所以可得 13p+q<313（p3+q3）<613（p6+q6） 極限的解法：當(dāng)?p→0時(shí)， 13p+q→13q， 313（p3+q3）→q33， 613（p6+q6）→q63 由13q下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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