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1、 18.4 條件極值,一、極值,二、 條件極值拉格朗日乘數(shù)法,一、極值,若函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)成立不等式,則稱 在點(diǎn) 取到極大值 ，點(diǎn) 稱為函數(shù) 的極大點(diǎn)；,類似地，,若函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi) 成立不等式,則稱 在點(diǎn) 取到極小值 ， 點(diǎn) 稱為函數(shù) 的極小點(diǎn)；,極大值與極小值統(tǒng)稱為極值；極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。,由定義可見，若 在點(diǎn) 取得極值，則當(dāng)固定 時(shí)，一元函數(shù) 必定在 取相同的極值。,同理，一元函數(shù) 在 也取相同的極值。于是 由一元函數(shù)極值的必要條件，可得,上述條件不是充
2、分的，例如函數(shù) 在原點(diǎn) （0，0）有,但此函數(shù)的圖形是一馬鞍面， 因而在原點(diǎn)沒有極值。,設(shè)二元函數(shù) 在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)存在，若 在 取得極值，則,于是得到二元函數(shù)取得極值的必要條件如下：,稱滿足上式的點(diǎn) 為 的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)。,此外，函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)仍然可能有極值，例如：,這是交于 Y 軸的兩個(gè)平面。雖然， 的點(diǎn)都是函數(shù)的極小點(diǎn)，但是當(dāng) 時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)不存在。,綜上所述，函數(shù)的極值點(diǎn)只可能在偏導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn)中產(chǎn)生。因此要求函數(shù)的極值，首先要求出所有使 偏導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)（駐點(diǎn)）和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。然后考察該 點(diǎn)周圍函數(shù)的變化情況，
3、以進(jìn)一步判定是否有極值。,如何從駐點(diǎn)中找出極值點(diǎn)，關(guān)鍵在于判定表達(dá)式,為此我們考察,當(dāng)點(diǎn) 在 附近變動(dòng)時(shí)是否有恒定的符號(hào)。,的符號(hào)。,設(shè) 的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且 ，由泰勒公式有,由于 的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，所以,記,從而,于是,因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， 都是無窮小量，所以當(dāng),時(shí)，存在點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，使得 的符號(hào)與 的符號(hào)相同，而當(dāng) ， 的符號(hào)便取決于 的符號(hào)了。,對(duì)于二次型,它的判別式為,實(shí)二次型 為正定的必要條件是行列式,實(shí)二次型 為正定的充要條件是矩陣 A 的順序主子式都大于零。,實(shí)二次型 為負(fù)定的
4、充要條件是矩陣 A 的奇數(shù)階順序主子式都小于零，偶數(shù)階順序主子式都大于零。,那末有以下結(jié)論：, 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有極值；,若 ，則函數(shù)有極大值。,若 ，則函數(shù)有極大值。, 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)沒有極值；, 當(dāng) 時(shí)，函數(shù)有無極值還需進(jìn)一步考察判定。,例 1 求 的極值。,解,分別對(duì) 和 求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得方程組,解方程組得 的穩(wěn)定點(diǎn),再求 的二階偏導(dǎo)數(shù)在 的值：,因?yàn)?且,所以 有極小值：,例 2 討論 是否存在極值。,解,分別對(duì) 和 求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得方程組,解方程組得 的穩(wěn)定點(diǎn)為原點(diǎn)：,再求 的
5、二階偏導(dǎo)數(shù)在 的值：,因?yàn)?所以 無極值。,最大值、最小值問題,設(shè)函數(shù) 在某一有界閉區(qū)域 中連續(xù)且可導(dǎo)，則 必在 上達(dá)到最大值（或最小值）。若這樣的點(diǎn) 位于 區(qū)域的內(nèi)部，那末在這點(diǎn)函數(shù)顯然有極大值（或極小值）。因此在這種情形，函數(shù)取到最大值（或最小值）的點(diǎn)必是極值點(diǎn)之一。然而函數(shù)的最大值（或最小值）也可能在區(qū)域的邊界上達(dá)到。 因此，為了找出函數(shù)在區(qū)域 上的最大值 （或最小值），必需要找出所有有極值的內(nèi)點(diǎn)，算出這些 點(diǎn)的函數(shù)值，再與區(qū)域邊界上的函數(shù)極值相比較，這些數(shù)值 中的最大者（或最小者）就是函數(shù)在閉域 上的最大值（或最小值）,例 3 有一塊薄鐵皮，寬 2
6、4 厘米，把兩邊折起，做成一槽，求 和傾角 ，使槽的梯形截面的面積最大。,解,槽的梯形截面面積為,問題歸結(jié)為求 的最大值，先求穩(wěn)定點(diǎn),解方程組，得符合題意的唯一一組穩(wěn)定點(diǎn),由于在這個(gè)問題中，最大值必達(dá)到，因此當(dāng),時(shí)，槽的梯形截面積最大，這時(shí)截面積為,條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值,二 條件極值拉格朗日乘數(shù)法,求解方程組,解出 x, y, z, t 即得 可能極值點(diǎn)的坐標(biāo).,解,則,例4 求表面積為 a2 而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積.,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為 x , y，z. 體積為 V .,則問題就是條件,求函數(shù),的最大值.,,令,即,由(2), (1)及(3), (2)得,由(2), (1)及(3), (2)得,于是，,代入條件，得,解得,這是唯一可能的極值點(diǎn)。,因?yàn)橛蓡栴}本身可知，,所以，,最大值就在此點(diǎn)處取得。,故，最大值,最大值一定存在，,解,則,由 (1)，(2) 得,由 (1)，(3) 得,將 (5)，(6) 代入 (4)：,于是，得,這是唯一可能的極值點(diǎn)。,因?yàn)橛蓡栴}本身可知，最大值一定存在，,所以，,最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。,故，最大值,解,則,多元函數(shù)的極值,拉格朗日乘數(shù)法,（取得極值的必要條件、充分條件）,多元函數(shù)的最值,三 小結(jié),,
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