《投入產(chǎn)出平衡》PPT課件.ppt

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1、實(shí)驗(yàn)一,投入產(chǎn)出平衡,矩陣和線(xiàn)性方程組,一、國(guó)民經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出綜合平衡,設(shè)有n個(gè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)，xi為部門(mén)i的總 產(chǎn)出，cij為部門(mén)j單位產(chǎn)品對(duì)部門(mén)i產(chǎn)品 的消耗，di為外部對(duì)部門(mén)i的需求，fj為 部門(mén)j新創(chuàng)造的價(jià)值。那么各經(jīng)濟(jì)部門(mén) 總產(chǎn)出應(yīng)滿(mǎn)足下列關(guān)系式：,消耗平衡方程組,j=1,2,,n,令 C =（cij），X = (x1, , xn) , D = (d1, , dn)，F(xiàn)= (f1, , fn) 則 X=CX+D 令 A = EC，E為單位矩陣，則 AX = D,C稱(chēng)為直接消耗矩陣，A稱(chēng)為列昂杰夫（Leontief）矩陣。,分配平衡方程組,i =1,2,,n,Y = 1,1,,1 B,Y表示各

2、部門(mén)的總投入，稱(chēng)為投入向量。,新創(chuàng)造價(jià)值向量 F=X Y ,B=C,B表示各部門(mén)間的投入產(chǎn)出關(guān)系，稱(chēng)為投入產(chǎn)出矩陣。,二、數(shù)學(xué)理論復(fù)習(xí)：線(xiàn)性代數(shù),1、線(xiàn)性方程組,記為 A x = b 其中A =(aij)mn x = (x1, ,xn), b = (b1, , bm),若秩(A) 秩(A,b)，則無(wú)解； 若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解； 若秩(A) = 秩(A,b) < n, 存在無(wú)窮多解； 通解是齊次線(xiàn)性方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解 系與 Ax=b 的一個(gè)特解之和。,對(duì)于線(xiàn)性方程組 Ax = b：,Ax = 0 稱(chēng)為齊次的線(xiàn)性方程組,2、逆矩陣,方陣A稱(chēng)為可逆的，如果存在

3、方陣B，使A B = B A = E，記 B = A-1 方陣A可逆的充分必要條件:A0,求逆矩陣方法：,A-1 =A*/|A| 這里A*為A的伴隨矩陣,（A E） 行變換,,（E A-1）,3、特征值與特征向量,對(duì)于方陣A，若存在數(shù)和非零向量x 使 A x = x，則稱(chēng)為A的一個(gè)特征值，x 為A 的一個(gè)對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。,特征值計(jì)算歸結(jié)為: 特征多項(xiàng)式|A - E|=0的求根。對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量是齊次線(xiàn)性方程組 (A - E) x = 0的所有非零解,三、使用MATLAB,det 方陣的行列式 diag 對(duì)角陣 inv 方陣的逆 cond 方陣的條件數(shù) trace 方陣的跡 ort

4、h 正交規(guī)范化 rank 矩陣的秩 null 求基礎(chǔ)解系 rref 矩陣的行最簡(jiǎn)形 eig 特征值與特征向量 jordan 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形分解 norm 矩陣或向量范數(shù),1、特殊矩陣生成 zeros(m,n) 生成m行n列的零矩陣; ones(m,n) 生成m行n列的元素全為1的陣; eye(n) 生成n階單位矩陣; 當(dāng)A是矩陣,diag(A)返回A的對(duì)角線(xiàn)元素構(gòu)成的向量; 當(dāng)X是向量,diag(X)返回由X的元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣；,rand(m,n) 生成m行n列0,1上均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣； linspace(x1,x2,n) 生成x1與x2間的n維等距行向量,即將x1,x2 n-1等分。,2、行

5、列式和逆矩陣 det(A) 返回方陣A的行列式; inv(A) 返回A的逆矩陣。,3、矩陣除法,左除法 AB 求解矩陣方程AX=B 右除法 B/A 求解矩陣方程XA=B,(1) 當(dāng)A為方陣，AB與inv(A)*B基本一致： (2) 當(dāng)A不是方陣，除法將自動(dòng)檢測(cè)。 若方程組無(wú)解,除法給出最小二乘意義上的近似解，即使向量AXB的長(zhǎng)度達(dá)到最小； 若方程組有無(wú)窮多解，除法將給出一個(gè)具有最多零元素的特解； 若為唯一解，除法將給出解。,例1 解下列方程組,A=1 2;3 -2; B=1;4;x=AB 求得唯一解,A=1 2 1;3 -2 1; B=1;4;x=AB 求得一特解, A=1 2;3 -2:1

6、-1; B=1;4;2;x=A B 求得一最小二乘近似解,A=1 2;-2 -4; B=1;-2;x=AB 不能直接求解,A=1 2;-2 -4;0 0; B=1;-2;0;x=AB 仍可求一近似特解,增加方程 0 x+0y=0,例2 線(xiàn)性方程組的通解,解 在無(wú)窮多解情況下可用三種方法求通解， 用rref化為行最簡(jiǎn)形以后求解； 用除法求出一個(gè)特解，再用null求得一個(gè)齊次組的基礎(chǔ)解系； 用符號(hào)工具箱中的solve求解。,a=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1; b=1;1;-1; rank(a),rank(a,b) rref(a,b) x0=ab,x=null(a),

7、4、特征值和特征向量,D=eig(A) 返回方陣A的特征值構(gòu)成的列向量； V,D=eig(A) 返回方陣A的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣D和每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量按列構(gòu)成的矩陣V。其中每個(gè)特征向量都是模等于1的向量，并且屬于同一特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量已正交化。,四、實(shí)驗(yàn)例題,例3 某地有三個(gè)產(chǎn)業(yè)，一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠(chǎng)和一條鐵路，開(kāi)采一元錢(qián)的煤，煤礦要支付0.25元的電費(fèi)及0.25元的運(yùn)輸費(fèi); 生產(chǎn)一元錢(qián)的電力，發(fā)電廠(chǎng)要支付0.65元的煤費(fèi)，0.05元的電費(fèi)及0.05元的運(yùn)輸費(fèi); 創(chuàng)收一元錢(qián)的運(yùn)輸費(fèi),鐵路要支付0.55元的煤費(fèi)和0.10元的電費(fèi)，在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠(chǎng)接到外

8、地金額25000元定貨，外界對(duì)地方鐵路沒(méi)有需求。,解：這是一個(gè)投入產(chǎn)出分析問(wèn)題。設(shè)x1為本周內(nèi)煤礦總產(chǎn)值，x2為電廠(chǎng)總產(chǎn)值, x3為鐵路總產(chǎn)值, 則,問(wèn)三個(gè)企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿(mǎn)足自身及外界需求？三個(gè)企業(yè)間相互支付多少金額？三個(gè)企業(yè)各創(chuàng)造多少新價(jià)值?,直接消耗矩陣C=,外界需求向量 D =,產(chǎn)出向量X =,則原方程為 (E-C)X=D,投入產(chǎn)出矩陣為 B=C*diag(X) 總投入向量 Y= ones(1,3)*B 新創(chuàng)造價(jià)值向量 F=X-Y,例4 （隱性病遺傳）染色體遺傳中，后代是從父母體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和a控制，那么就有三種基因型，,上表給出父母基因型的所有可能組合使其后代形成每種基因?qū)Φ母怕省?設(shè)金魚(yú)某種遺傳病染色體的正?；?yàn)锳，不正?；?yàn)閍, 那么AA，Aa，aa分別表示正常金魚(yú)，隱性患者，顯性患者。設(shè)初始分布為90%正常金魚(yú)，10%的隱性患者，無(wú)顯性患者。考慮下列兩種配種方案對(duì)后代該遺傳病基因型分布的影響,方案一：同類(lèi)基因結(jié)合，均可繁殖； 方案二：顯性患者不允許繁殖，隱性患者必須與正常金魚(yú)結(jié)合繁殖,解 設(shè)初始分布X(1)=(0.9 0.1 0),,第n代分布為X(n)=,A =,B=,則 X(n) = An-1X(1) X(n) = Bn-1X(1) 分別是 兩種情況下第n代的基因型分布,