《投入產(chǎn)出矩陣》PPT課件.ppt

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1、1,投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型,2,在經(jīng)濟活動中分析投入多少財力、物力、 人力,產(chǎn)出多少社會財富是衡量經(jīng)濟效益高 低的主要標志。投入產(chǎn)出技術(shù)正是研究一個 經(jīng)濟系統(tǒng)各部門間的“投入”與“產(chǎn)出”關(guān)系的 數(shù)學(xué)模型,該方法最早由美國著名的經(jīng)濟學(xué) 家瓦.列昂捷夫(W.Leontief)提出,是目前 比較成熟的經(jīng)濟分析方法。,3,一、投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的概念,投入從事一項經(jīng)濟活動的消耗; 產(chǎn)出從事經(jīng)濟活動的結(jié)果; 投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型通過編制投入產(chǎn)出表,運 用線性代數(shù)工具建立數(shù)學(xué)模型,從而揭示 國民經(jīng)濟各部門、再生產(chǎn)各環(huán)節(jié)之間的內(nèi) 在聯(lián)系,并據(jù)此進行經(jīng)濟分析、預(yù)測和安 排預(yù)算計劃。按計量單位不同,該模型可 分為

2、價值型和實物型。,4,表7.1:投入產(chǎn)出表,,,5,投入產(chǎn)出表描述了各經(jīng)濟部門在某個時期 的投入產(chǎn)出情況。它的行表示某部門的產(chǎn)出; 列表示某部門的投入。如表7.1中第一行x1表 示部門1的總產(chǎn)出水平,x11為本部門的使用 量, (j=1,2,,n)為部門1提供給部門j的使用 量,各部門的供給最終需求(包括居民消耗、 政府使用、出口和社會儲備等)為 (j=1,2,,n)。這幾個方面投入的總和代表了這 個時期的總產(chǎn)出水平。,6,投入產(chǎn)出的基本平衡關(guān)系,從左到右: 中間需求最終需求總產(chǎn)出 (7-9) 從上到下: 中間消耗凈產(chǎn)值總投入 (7-10),由此得產(chǎn)出平衡方程組(也稱分配平衡方程組):,

3、(7-11),(7-12),7,需求平衡方程組:,(7-13),投入平衡方程組(也稱消耗平衡方程組):,(7-15),(7-14),8,由(7-11)和(7-14),可得,(7-16),這表明就整個國民經(jīng)濟來講,用于非生 產(chǎn)的消費、積累、儲備和出口等方面產(chǎn)品的 總價值與整個國民經(jīng)濟凈產(chǎn)值的總和相等。,9,二、直接消耗系數(shù),定義7.2.1 第j部門生產(chǎn)單位價值所消耗第i部 門的價值稱為第j部門對第i部門的直接消耗 系數(shù),記作 。,由定義得,(7-17),把投入產(chǎn)出表中的各個中間需求 換成相應(yīng) 的 后得到的數(shù)表稱為直接消耗系數(shù)表,并 稱n階矩陣 為直接消耗系數(shù)矩陣。,10

4、,例1 已知某經(jīng)濟系統(tǒng)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)投入 產(chǎn)出情況如表7.2,試求直接消耗系數(shù)矩陣。,表7.2,,11,解 由直接消耗系數(shù)的定義 ,得直接 消耗系數(shù)矩陣,直接消耗系數(shù) 具有下面重 要性質(zhì):,性質(zhì)7.2.1,性質(zhì)7.2.2,12,由直接消耗系數(shù)的定義 ,代入(7-17),得,(7-18),令 , (7-18)式可表示為 ,或,(7-19),稱矩陣E-A為列昂捷夫矩陣。,13,類似地把 代入平衡方程(7-14)得到,(7-20),寫成矩陣形式為,(7-21),其中,14,定理7.2.1 列昂捷夫矩陣E-

5、A是可逆的。,如果各部門的最終需求 已知,則由定理7.2.1知,方程(7-19)存在惟一 解 。,例2 設(shè)某工廠有三個車間,在某一個生產(chǎn)周 期內(nèi)各車間之間的直接消耗系數(shù)及最終需求 如表7.3,求各車間的總產(chǎn)值。,15,表7.3,,,解,16,即三個車間的總產(chǎn)值分別為400,300,350。,17,定理7.2.2 方程(E-D)X=Z的系數(shù)矩陣E-D是可逆 的。,證明 因,由性質(zhì)7.2.2知, ,故,所以E-D可逆。,18,三、完全消耗系數(shù),直接消耗系數(shù)只反映各部門間的直接消耗, 不能反映各部門間的間接消耗,為此我們給出 如下定義。,定義7.2.2 第j部門生產(chǎn)單位價

6、值量直接和間 接消耗的第i部門的價值量總和,稱為第j部 門對第i部門的完全消耗系數(shù),記作 。,19,由 構(gòu)成的n階方陣 稱為各部門間的 完全消耗系數(shù)矩陣。,定理7.2.3 第j部門對第i部門的完全消耗系數(shù) 滿足方程,定理7.2.4 設(shè)n個部門的直接消耗系數(shù)矩陣為 A,完全消耗系數(shù)矩陣為B,則有,20,證明 由定理7.2.3知,,將 個等式用矩陣表示為,由定理7.2.1知(E-A)可逆,故,21,例3 假設(shè)某公司三個生產(chǎn)部門間的報告價值 型投入產(chǎn)出表如表7.4,,,表7.4,求各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣。,22,解 依次用各部門的總產(chǎn)值去除中間消耗欄中 各列,得

7、到直接消耗系數(shù)矩陣為,23,故所求完全消耗系數(shù)矩陣為,由此例可知,完全消耗系數(shù)矩陣的值比直接 消耗系數(shù)矩陣的值要大的多。,24,定理7.2.5 如果第j部門最終需求增加 ,而 其他部門的最終需求不變,那么部門總產(chǎn)出 X的增量為,其中,為單位坐標向量。,證明 由定理7.2.4知 ,將此 關(guān)系代入方程(7-19),得,25,由定理假設(shè),部門最終需求增量,于是,26,定理7.2.5表明,由第j部門最終需求的增加 (其他部門的最終需求不變),引起了各部門 總產(chǎn)值的增加。 從數(shù)量上表示了各 部門的增加量。如果沒有這些追加,第j部門要 完成增加 最終需求的任務(wù)就不能實現(xiàn)。,如

8、果定理7.2.5的結(jié)論用分量表示,27,特別取 ,則有,上式的經(jīng)濟意義是,當?shù)趈部門的最終需求 增加一個單位,而其他部門最終需求不變時, 第i部門總產(chǎn)值的增加量為 ,當?shù)趇部門的最終 需求增加一個單位而其他部門的最終需求不變 時,第i部門總產(chǎn)值的增加量為 。,28,若令,用矩陣表示為,將 代入上式,則,29,例4 利用例1中的數(shù)據(jù),求完全消耗系數(shù)矩陣B。,解 由例1知直接消耗系數(shù)矩陣,于是有,30,最后得完全消耗系數(shù)矩陣,31,四、投入產(chǎn)出實現(xiàn)模型的簡單應(yīng)用,投入產(chǎn)出法來源于一個經(jīng)濟系統(tǒng)各部門生 產(chǎn)和消耗的實際統(tǒng)計資料。它同時描述了當時 各部門之間的投入與產(chǎn)出協(xié)調(diào)關(guān)系,反映了

9、產(chǎn) 品供應(yīng)與需求的平衡關(guān)系,因而在實際中有廣 泛應(yīng)用。在經(jīng)濟分析方面可以用于結(jié)構(gòu)分析, 還可以用于編制經(jīng)濟計劃和進行經(jīng)濟調(diào)整等。,32,編制計劃的一種作法是先規(guī)定各部門計 劃期的總產(chǎn)量,然后計算出各部門的最終需 求;另一種作法是確定計劃期各部門的最終 需求,然后再計算出各部門的總產(chǎn)出。后一 種作法符合以社會需求決定社會產(chǎn)品的原則, 同時也有利于調(diào)整各部門產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例, 是一種較合理的作法。,33,例5 給定價值型投入產(chǎn)出表7.5,預(yù)先確定 計劃期各部門最終需求如表7.6。根據(jù)投入產(chǎn) 出表中的數(shù)據(jù),算出報告期的直接消耗系數(shù) 矩陣A。假定計劃期同報告期的直接消耗系數(shù) 是相同的,因此把A作為計劃期

10、的直接消耗系 數(shù)矩陣。再按公式 算出總產(chǎn) 出向量X。,34,表7.5 (單位:萬元),表7.6 (單位:萬元),35,解 通過數(shù)值計算得到,36,由 得出總產(chǎn)出向量,37,這樣得到各部門在計劃期的總產(chǎn)出依次是(萬元):,如果各部都能完成計劃期的上述總產(chǎn)出值,那 么就能保證完成各部門最終需求的計劃任務(wù)。,在求出了各部門總產(chǎn)出 之 后,根據(jù)公式 可計算 各部門間應(yīng)提多少中間需求 。具體數(shù)值表如 表7.7。,38,表7.7,39,例6 某地有三個產(chǎn)業(yè),一個煤礦,一個發(fā)電 廠和一條鐵路,開采一元錢的煤,煤礦要支付 0.25元的電費及0.25元

11、的運輸費; 生產(chǎn)一元錢 的電力,發(fā)電廠要支付0.65元的煤費,0.05元 的電費及0.05元的運輸費; 創(chuàng)收一元錢的運輸 費,鐵路要支付0.55元的煤費和0.10元的電 費,在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額50000元定 貨,發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨,外界 對地方鐵路沒有需求。,40,解 這是一個投入產(chǎn)出分析問題。設(shè)x1為本周 內(nèi)煤礦總產(chǎn)值,x2為電廠總產(chǎn)值, x3為鐵路總 產(chǎn)值, 則,問三個企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身 及外界需求?三個企業(yè)間相互支付多少金額? 三個企業(yè)各創(chuàng)造多少新價值?,41,設(shè)產(chǎn)出向量為 ,,外界需求向量為 ,,直接消耗矩陣為 。,42,則原方程為 ,其中E-A為列 昂捷夫矩陣。,投入產(chǎn)出矩陣為,由此解得 。,43,新創(chuàng)造價值向量為,總投入向量為,44,表7.8 投入產(chǎn)出分析表(單位:元),

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