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1、1,有限元與數值方法第四講微分方程的等價積分形式,授課教師：劉書田,Tel：84706149； Email： 教室：綜合教學樓 351 時間：2013年4月07日：8：0010：20,2,基于積分方程的數值方法的基本思想,微分提法：真實解在任意點均滿足微分方程 積分提法：對于所有可能的解（u(x)中，真實的解應滿足下式 積分形式的近似解法： 在有限個可能的解中，真實解的近似解為使下式取極小的解。,3,微分方程的算子形式 在域內： 邊界上： 其中，A，B1，B2為微分算子,微分方程的等價積分形式,對于滿足微分方程及其邊界條件的解 u ,上式顯然是成立的； 如果對任意的函數v(x)，上式成立，則可
2、以證明u是微分方程的解。,4,顯然，如果在區(qū)域上， 幾乎處處為零，則對任意的有,引理:如果對任意的 ，恒有 則,如果F(X)=0代表了微分方程，則上面定理和引理建立了微分方程和其積分形式之間的聯系,(一) 預備知識,微分方程的等價積分形式,5,等價積分形式,若對任意函數列向量 有,則該積分表達式與微分表達式 完全等效。,同理，若對任意函數列向量 有,則該積分表達式與微分表達式 完全等效。,故稱 為原微分方程,的等價積分形式。,6,等價積分形式可積的條件：,1. 單值且在域內和邊界上可積分,若 A 的最高階導數為n，則u 的n-1 階導數 必須連續(xù)，即u 具有 連續(xù)性,等價積分方程對函數連續(xù)性的
3、要求：函數是可積的。 被積函數在區(qū)域上有有限個間斷點，則可積,右圖函數是 C0 連續(xù)的，其二階導數不可積,等價積分形式,7,?。?上式可得到簡化,對于滿足微分方程及其邊界條件的解 u ,上式顯然是成立的； 如果對任意的函數v(x)，上式成立，則可以證明u是微分方程的解。,8,積分弱形式,在很多情況下，可以通過分部積分方法將前述積分方程轉化為另外一個等價形式：,其中，D 和 F 通常包括相對 A 和 B 較低階的導數。 這一形式稱為微分方程的“弱形式”。,解函數的連續(xù)性降低，其代價是試函數連續(xù)性要求提高了。 弱形式經常是描述物理現象更為合理的形式，因為微分方程往往對解提出了過于光滑的要求。 對弱
4、形式進行積分，是有限元方法的重要基礎,9,一維問題的弱形式例子,例：受軸向分布載荷 和端部集中力 P 的均勻桿,微分方程表達形式為,該方程積分后可得,一維問題可以通過分部積分將等價積分形式轉化為弱形式,顯然，真實解是三次多項式,10,一維問題的弱形式例子,微分方程的積分等價形式為,分部積分得到弱形式：,設解和試函數的形式各為,Galerkin方法,注意解已經滿足強制邊界條件,邊界條件的等效積分形似：,11,自然邊界條件的概念,對于微分方程的等價積分形式及其弱形式，,如果能通過選擇試函數消去邊界積分項，將給積分帶來方便。能夠實現這一點的邊界條件成為自然邊界條件。 指定函數值本身的邊界條件不是自然
5、邊界條件，成為強制邊界條件。,12,自然邊界條件的概念,例如，考慮問題：,如果近似解 滿足x=0處的邊界條件，但不滿足x=1處的邊界條件，則加權殘數列式應反映域內的微分方程和x=1處的邊界條件，即,13,自然邊界條件的概念,第一項分部積分給出,為消去邊界上未知函數的導數項，選取試函數之間滿足如下關系：,這樣，弱形式成為,以上弱形式中，不再出現未知函數導數的邊界條件，即該邊界條件在上式中自動滿足，稱為自然邊界條件。,14,歸納：強式和弱式的對比,強式 可直接求得系統方程的精確解 困難：復雜問題難以獲得精確解； 數值求解時，近似函數要求有與微分方程同階的可導性。 有限差分法屬于基于強式的數值方法。
6、,弱式 降低了對近似函數的連續(xù)性要求，使得選取試函數更容易； 基于弱式的方程通常是一組穩(wěn)定性良好的離散方程，易于求解,15,二維、三維問題的積分形式,16,預備知識,Green公式,或,為推導二維或三維問題的弱形式，需要掌握以下積分公式,Gauss定理（散度定理）,17,由格林公式可推導出：,所以,類比于高等數學中單變量函數的分部積分公式,預備知識,而,同理,18,同理，三維空間中，由此前公式可推導出：,所以,預備知識,而,同理,19,微分方程的等價積分形式,2D穩(wěn)態(tài)熱傳導問題的弱形式,微分方程（強形式）,強制邊界條件,自然邊界條件,20,利用格林公式,2D熱傳導問題的弱形式,同理，,21,弱
7、形式,2D熱傳導問題的弱形式,考慮到 ，并令 ， 上式成為,目的是消去自然邊界上的函數導數,22,討論,2D熱傳導問題的弱形式,自然邊界條件 自動滿足 如果選擇場函數時已經滿足強制邊界條件，則可通過選擇 v 使得 而略去,23,有限元與數值方法第四講加權殘數法,授課教師：劉書田,Tel：84706149； Email： 教室：綜合教學樓 351 時間：2013年4月07日：8：0010：20,24,加權殘數法（Weighted Residual Method）,加權殘數法的基本思想是：構造包含參數的微分方程的近似解，將近似解代入微分方程和相應的邊條件中，令得到的殘差在適當加權后在微分方程定義域
8、上的平均值為零，從而得到確定待求參數的代數方程式。,25,殘數（內部）,殘數（邊界）,考慮微分方程和邊界條件,加權殘數法（Weighted Residual Method）,近似解,26,此處，一個方程，n個未知數（C1Cn）,加權殘數法（Weighted Residual Method）,27,選 n 個權函數 Wj （j=1n）,j=1n n 個方程,求得C1Cn,加權殘數法（Weighted Residual Method）,28,近似解構造方法,基函數系選擇原則 連續(xù)性 線性無關 正交 完備,典型的基函數系 多項式 三角級數 梁振動振形 柱穩(wěn)定函數 B-樣條函數,通常取近似解為基函數的
9、線性組合-基函數的選擇方法,29,域內殘數法 選取的基函數滿足邊界條件但不滿足微分方程 邊界殘數法 選取的基函數滿足域內微分方程但不滿足邊界條件 混合殘數法 選取的基函數域內微分方程和邊界條件都不滿足,按基函數的性質進行分類,30,1.子域法,強迫余量在n個子域 的積分為零,n個方程，求得 C1Cn,取,子域上近似,按權函數的性質進行分類,31,2.配點法,取 j 個方程,當子域法中，令面積0，退化為配點法,32,（最小二乘法的殘數方程）,(*),對應每一點誤差的平方和最小，即接近真解。,3.最小二乘法（Least Square Method）,33,一次矩,二次矩,n 次矩,R的 j 次矩,
10、4.矩法,伽遼金方程,把基函數作為權函數：,5.伽遼金法（Galerkin Method）,誤差與解函數空間“正交”,34,以上方法的比較,以上方法都將原問題轉化為代數方程組的求解 Aa=c 配點法、子域法得到的是非對稱的系數矩陣A； 最小二乘法、Galerkin法得到的是對稱的系數矩陣A 最小二乘法易于產生病態(tài)矩陣A；并且不能通過分部積分法降低被積函數的微分階次，因此要求單元間函數的充分的連續(xù)性,35,設,n=2 時,例題,即,余量為,36,1.子域法求解：,例題,解方程，得到,不對稱的系數矩陣,37,2.配點法：,3.最小二乘法：,解方程，得到,解方程，得到,其中,該方程顯然有對稱的系數矩
11、陣,38,4. Galerkin法：,經與精確解比較，Galerkin法結果具有較高精度,解方程，得到,39,例題：一維穩(wěn)態(tài)熱傳導問題,取近似解為,加權余量法格式：,40,Galerkin法：取 ，代入上式中，得到,即,顯然，,其中,41,結果的比較,42,WRM推導虛功原理,三維彈性固體的平衡方程和邊界條件：,取權函數為 ，則加權殘數方程（等效積分形式）為,43,WRM推導虛功原理,分部積分給出,引用虛位移（微小位移）與虛應變的關系及力的邊界條件，上式可寫為,此即虛功原理,弱形式,44,WRM推導虛功原理,注解： 這里假定虛位移在域內連續(xù)可導，否則不能通過分部積分建立等效積分的弱形式 這里假定虛位移滿足位移邊界條件，否則外力虛功項中還應包括位移邊界上約束反力的虛功 推導虛功原理的過程中，沒有涉及本構關系，所以虛功原理可以用于非線性彈性及彈塑性等非線性問題 虛功原理表述了平衡條件 這里給出的虛功原理是基于小變形理論的，因此不能直接用于基于大變形理論的力學問題（對于大變形問題需要采用恰當的應力和應變度量）,45,練習,推導下列方程的弱形式：,解：,46,作業(yè)：平面應力問題的解,提示：u,v 用多項式做近似展開,47,作業(yè)解答,
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