2013高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 考點(diǎn)專練38 文 新人教A版

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1、考點(diǎn)專練(三十八) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是 (　　) A．異面 B．相交 C．平行 D．異面或相交 解析： 如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB與B′C′為兩條異面直線，則BB′與AC′兩條直線都與AB、B′C′相交，BB′與AC′異面，而BB′、BC′都與AB、B′C′相交，BB′、BC′卻相交． 答案：D 2．已知a、b是異面直線，直線c∥直線a，則c與b (　　) A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 解析：c

2、與b不可能是平行直線，否則與條件矛盾． 答案：C 3．如圖，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，C?l，直線AB∩l＝M，則平面ABC與β的交線是 (　　) A．直線AC 　　　 B．直線AB C．直線BC 　　　 D．直線CM 解析：通過直線AB與點(diǎn)C的平面，為面ABC，M∈AB.∴M∈面ABC，而C∈面ABC，又∵M(jìn)∈β，C∈β.∴面ABC和β的交線必通過點(diǎn)C和點(diǎn)M. 答案：D 4．(2011年浙江)若直線l不平行于平面α，且l?α，則 (　　) A．α內(nèi)的所有直線與l異面 B．α內(nèi)不存在與l平行的直線 C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行 D．α內(nèi)的直線與l都相交

3、 解析：依題意，直線l∩α＝A(如圖)．α內(nèi)的直線若經(jīng)過點(diǎn)A，則與直線l相交；若不經(jīng)過點(diǎn)A，則與直線l是異面直線，故選B. 答案：B 5．(2012年大同調(diào)研)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于 (　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：分別取AB、AA1、A1C1的中點(diǎn)D、E、F，則BA1∥DE，AC1∥EF，所以異面直線BA1與AC1所成的角為∠DEF(或其補(bǔ)角)，設(shè)AB＝AC＝AA1＝2，則DE＝EF＝，DF＝，由余弦定理得，∠DEF＝120°. 答案：C 6

4、．過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作 (　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：如圖所示． AC1，AC2，AC3，AC4即為所求． 答案：D 二、填空題 7．在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，則直線PC與AB所成角的大小是________． 解析：分別取PA，AC，CB的中點(diǎn)F，D，E，連接FD，DE，EF，AE，則∠FDE是直線PC與AB所成角或其補(bǔ)角． 設(shè)PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝a，DE＝a，F(xiàn)

5、E＝＝a， 根據(jù)余弦定理，得cos∠FDE＝＝－，所以∠FDE＝120°. 所以PC與AB所成角的大小是60°. 答案：60° 8．已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a、b在α上的射影可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)．則在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是________(寫出所有正確結(jié)論的編號)． 解析：①、②、④對應(yīng)的情況如下： 用反證法證明③不可能． 答案：①②④ 9．(2012年南京一模)在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有

6、正確答案的序號) 解析：圖①中，直線GH∥MN； 圖②中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M?面GHN， 因此直線GH與MN異面； 圖③中，連接MG，GM∥HN； 因此GH與MN共面； 圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，∴GH與MN異面． 所以圖②、④中GH與MN異面． 答案：②④ 三、解答題 10. 如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于H，連接EH. (1)求AH∶HD； (2)求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn)． 解：(1)∵＝＝2，∴EF∥AC.

7、 ∴EF∥平面ACD.而EF?平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH， ∴EF∥GH.而EF∥AC， ∴AC∥GH.∴＝＝3， 即AH∶HD＝3∶1. (2)證明：∵EF∥GH，且＝，＝，∴EF≠GH. ∴四邊形EFGH為梯形． 令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD，所以P∈面ABD，P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD，所以P∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點(diǎn)． 11．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，對角線BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角的大小． 解：如圖所示，分別

8、取AD，CD，AB，DB的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H， 連接EF，F(xiàn)H，HG，GE，GF， 則由三角形中位線定理知EF∥AC 且EF＝AC＝， GE∥BD且GE＝BD＝， GH∥AD，GH＝AD＝，HF∥BC，HF＝BC＝， 從而可知GE與EF所成的銳角(或直角)即為BD和AC所成的角，GH和HF所成的銳角(或直角)即為AD與BC所成的角． ∵AD⊥BC，∴∠GHF＝90°　∴GF2＝GH2＋HF2＝1. 在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2， ∴∠GEF＝90°，即AC與BD所成的角為90°. 12．正方體ABCD－A1B1C1D1中． (1)求AC與A1D所成角的大??；

9、 (2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小． 解：(1)如圖所示，連接AB1，B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方體， 易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C， ∴∠B1CA＝60°. 即A1D與AC所成的角為60°. (2)如圖所示，連接AC、BD，在正方體ABCD－A1B1C1D中， AC⊥BD，AC∥A1C1， ∵E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)， ∴EF∥BD，∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1與EF所成的角為90°. [熱點(diǎn)預(yù)測] 13．(1)在底

10、面為正方形的長方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以這4個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的幾何形體可能是：①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個(gè)面為直角三角形，一個(gè)面為等腰三角形的四面體；④每個(gè)面都是等腰三角形的四面體；⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體．則其中正確結(jié)論的序號是 (　　) A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ (2)如圖是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中， ①GH與EF平行； ②BD與MN為異面直線； ③GH與MN成60°角； ④DE與MN垂直． 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是________． 解析：(1)由長方體的性質(zhì)知①正確，②不正確；對于③，長方體ABCD－A1B1C1D1中的四面體A1－ABD符合條件，③正確；對于④，長方體ABCD－A1B1C1D1中的四面體A1－BC1D符合條件，④正確；對于⑤，長方體ABCD－A1B1C1D1中的四面體A1－ABC符合條件． (2)還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN. 答案：(1)A　(2)②③④