2013高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 考點(diǎn)專練18 文 新人教A版

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1、考點(diǎn)專練(十八) 一、選擇題 1．函數(shù)　f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 (　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析：f ′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex， 令f ′(x)>0，解得x>2. 答案：D 2．(2012年蘭州一中月考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因?yàn)楹瘮?shù)有極

2、大值和極小值，所以f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6. 答案：B 3．(2011年遼寧)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)任意x∈R, f ′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為 (　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析：f(x)>2x＋4，即f(x)－2x－4>0. 構(gòu)造F(x)＝f(x)－2x－4，F(xiàn)′(x)＝f ′(x)－2>0. F(x)在R上為增函數(shù)，而F(－1)＝f(－1)－2x(－1)－4＝0. x∈(－1，＋∞)，F(xiàn)(x)>F(－1)

3、，∴x>－1. 答案：B 4．(2012年天津模擬)定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，滿足f(3－x)＝f(x)，(x－)f′(x)<0，若x13，則有 (　　) A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)為減函數(shù)； 當(dāng)x<時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為增函數(shù)． ∵x1＋x2>3，且x1或x2>x1>. 當(dāng)x1<，x2>時(shí)，x2>3－x1>. 則f(x2)x1>時(shí)，

4、f(x1)>f(x2)．故選A. 答案：A 5．(2012年重慶)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是 (　　) A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1) C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2) D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2) 解析：①當(dāng)x<－2時(shí)，1－x>0. ∵(1－x)f′(x)>0， ∴f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上是增函數(shù)． ②當(dāng)－20. ∵(1－x)f

5、′(x)<0， ∴f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上是減函數(shù)． ③當(dāng)10，∴f′(x)<0， 即f(x)在(1,2)上是減函數(shù)． ④當(dāng)x>2時(shí)，1－x<0.∵(1－x)f′(x)<0， ∴f′(x)>0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)． 綜上：f(－2)為極大值，f(2)為極小值． 答案：D 6．(2012年荊州中學(xué)月考)對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有 (　　) A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D

6、．f(0)＋f(2)>2f(1) 解析：不等式(x－1)f′(x)≥0等價(jià)于或可知f(x)在(－∞，1)上遞減，(1，＋∞)上遞增，或者f(x)為常數(shù)函數(shù)，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)． 答案：C 二、填空題 7．(2011年廣東)函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值． 解析：由題意得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)02時(shí)，f′(x)>0.故當(dāng)x＝2時(shí)取得極小值． 答案：2 8．(2012年洛陽(yáng)調(diào)研)若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有極大值和極小值，則a的取值

7、范圍________． 解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)， 由已知條件Δ>0，即36a2－36(a＋2)>0， 解得a<－1，或a>2. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 9．若函數(shù)　f(x)＝2x2－lnx在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________ . 解析：求導(dǎo)，可求得　f(x)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.函數(shù)　f(x)＝2x2－lnx在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則 ，解得1≤k<. 答案：1≤k< 三、解答題 10．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1 (1)若f(x)在

8、(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在試說(shuō)明理由． 解：(1)f ′(x)＝3x2－a 由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0， 因此當(dāng)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增時(shí)，a的取值范圍是(－∞，0]． (2)若f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減， 則對(duì)于任意x∈(－1,1)，不等式f ′(x)＝3x2－a≤0恒成立 即a≥3x2，又x∈(－1,1)，則3x2<3因此a≥3 函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，＋∞)． 11．(2012年天津)已知函數(shù)f(

9、x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a>0. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍． 解：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)． 由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a>0. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1)，(a，＋∞)； 單調(diào)遞減區(qū)間是(－1，a)． (

10、2)由(1)知f(x)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(－1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)解得0

11、x)＋x－b ＝ln(x＋1)－x2＋x－b　x∈(－1，＋∞) ∵g′(x)＝－2x＋＝ 列表 x (－1,1) 1 (1，＋∞) g′(x) ＋ 0 － g(x) ↑ 極大 ↓ ∴當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)取極大值也是最大值 由題設(shè)y＝g(x)在[0,2]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn) ∴即 得ln3－1≤b

12、gax(a>1) 　 B．f(x)＝x2＋(b＋2)x＋1(b>1) C．f(x)＝ln x 　　　　　　 D．f(x)＝x (2)設(shè)f(x)＝2ln x－ax2(a∈R)，求f(x)的極值 (3)設(shè)g(x)＝2ln x－ax2＋x－＋(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．當(dāng)a>0時(shí)，討論函數(shù)g(x)是否存在不動(dòng)點(diǎn)，若存在求出a的范圍，若不存在說(shuō)明理由． 解：(1)C (2)f′(x)＝－2ax＝(x>0) ①當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，無(wú)極值； ②當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，無(wú)極值； ③當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)

13、＝0，得x＝ ，列表如下： X f′(x) ＋ 0 － f(x) 增 極大值 減 當(dāng)x＝ 時(shí)，f(x)有極大值＝f＝－ln a－1 綜上，當(dāng)a≤0時(shí)無(wú)極值，當(dāng)a>0時(shí)f(x)有極大值＝f＝－ln a－1. (3)假設(shè)存在不動(dòng)點(diǎn)，則方程g(x)＝x有解，即2 ln x－ax2－＋＝0有解． 設(shè)h(x)＝2ln x－ax2－＋，(a>0)，由(2)可知h(x)極大值＝－ln a－1－＋＝－ln a－－， 下面判斷h(x)極大值是否大于0，設(shè)p(a)＝－ln a－－，(a>0)，p′(a)＝－＋＝，列表如下： A (0，e) e (e，＋∞) p′(a) ＋ 0 － p(a) 增 極大值 減 當(dāng)a＝e時(shí)，p(a)極大值＝p(e)－<0，所以p(a)＝－ln a－－<0恒成立，即h(x)極大值小于零，所以g(x)無(wú)不動(dòng)點(diǎn)．