2013高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 考點專練30 文 新人教A版

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1、考點專練(三十) 一、選擇題 1．(2011年大綱全國)設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，則|a＋2b|等于 (　　) A. B. C. D. 解析：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝－， ∴|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝1＋4＋4×(－) ＝5－2＝3.∴|a＋2b|＝. 答案：B 2．(2012年唐山統(tǒng)考)在邊長為1的正三角形ABC中，＝，E是CA的中點，則·＝ (　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析： 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(－，0)，B(，0)，C(0，)，依題意設(shè)D(x1,0)，E(x2

2、，y2)， ∵＝，∴(x1－，0)＝(－1,0)，∴x1＝. ∵E是CA的中點，∴＝，又＝(－，－)，∴x2＝－，y2＝. ∴·＝(，－)·(－，)＝×(－)＋(－)×＝－.故選A. 答案：A 3．(2012年長春調(diào)研)已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，則a·(b＋c)＝ (　　) A. B. C．－ D．－ 解析：依題意得|3a|＝3，|4b|＝4，|5c|＝5，向量3a、4b、5c首尾相接構(gòu)成一個直角三角形，因此有a·b＝0，a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝a·c＝|a|·|c|cos θ＝cos θ＝－(其中θ為向量a與c的夾角)，選D.

3、 答案：D 4．△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，則a與b的夾角為 (　　) A．30° B．－150° C．150° D．30°或150° 解析：S△ABC＝|a||b|sin C＝，|a|＝3，|b|＝5，∴sin C＝，a·b＝|a||b|cos C<0，C為鈍角，所以C＝150°，a與b的夾角為150°，故應(yīng)選C. 答案：C 5．(2012年山東聊城外國語學(xué)校二模)平面上有四個互異的點A、B、C、D，滿足(－)·(－)＝0，則三角形ABC是 (　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形

4、解析：由(－)·(－)＝0得(－)·(＋)＝0，即(－)·＝0，(－)·(＋)＝0，即－＝0，所以||＝||，故為等腰三角形，選B. 答案：B 6．(2012年鄭州三模)△ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，＋＋＝0，且||＝||，則在方向上的投影為 (　　) A．1 B．2 C. D．3 解析：如圖，設(shè)D為BC的中點，由＋＋＝0得＋2＝0，即＝2，∴A、O、D共線且||＝2||，又O為△ABC的外心，∴AO為BC的中垂線， ∴||＝||＝||＝2，||＝1， ∴||＝，∴在方向上的投影為. 答案：C 二、填空題 7．(2012年浙江)在△ABC中，M是BC的中點，

5、AM＝3，BC＝10，則·＝________. 解析：＝(＋)， ＋＝2 ① －＝， ② 由①2－②2得4·＝42－2＝－64，即·＝－16. 答案：－16 8．(2012年安徽)若平面向量a，b滿足|2a－b|≤3，則a·b的最小值是________． 解析：由向量的數(shù)量積知－|a||b|≤a·b≤|a||b|?|a|·|b|≥－a·b(當(dāng)且僅當(dāng)〈a，b〉＝π時等號成立)． 由|2a－b|≤3?4|a|2－4a·b＋|b|2≤9?9＋4a·b≥4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b?a·b≥－(當(dāng)且僅當(dāng)2|a|＝|b|，〈a，b〉＝π時取等號)?a·b的最小值為

6、－. 答案：－ 9．(2012～2013學(xué)年河北省唐山高三年級摸底)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a－b)sin B＝asin A－csin C，且a2＋b2－6(a＋b)＋18＝0，則·＋·＋·＝__________. 解析：由(a－b)sin B＝asin A－csin C，利用正弦定理可得： (a－b)b＝a2－c2，∴ab＝a2＋b2－c2， ∴cos C＝＝，∴C＝60°. 由a2＋b2－6(a＋b)＋18＝0， 則(a－3)2＋(b－3)2＝0，∴a＝b＝3， ∵c2＝a2＋b2－ab，∴c2＝9. ·＋·＋·＝·(＋)＋·＝·＋·＝－c2

7、＋abcos＝－c2－ab＝－9－＝－. 答案：－ 三、解答題 10．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a與b的夾角是45°. (1)求b； (2)若c與b同向，且a與c－a垂直，求c. 解：(1)a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝， ∴cos 45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0(n>1)， ∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)． (2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5. 又c與b同向，故可設(shè)c＝λb(λ>0)，(c－a)·a＝0， ∴λb·a－|a|2＝0，∴λ＝＝＝， ∴c＝b＝(－1,3)． 11．2012年英國倫敦奧運會帆船比賽是借助風(fēng)帆

8、推動船只在規(guī)定距離內(nèi)競速的一項水上運動，如果一帆船所受的風(fēng)力方向北偏東30°，速度20 km/h，此時水的流向是正東，流速為20 km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向． 解： 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，風(fēng)的方向北偏東30°，速度為|v1|＝20 km/h，水流的方向為正東，速度為|v2|＝20 km/h， 設(shè)帆船行駛的速度為v，則v＝v1＋v2. 由題意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10)， 向量v2＝(20,0)， 則帆船的行駛速度 v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)， 所以|v|＝＝20(km/h

9、)． 因為tan α＝＝(α為v和v2的夾角，α為銳角)，所以α＝30°.所以帆船向北偏東60°行駛，速度為20km/h. 12．(2013年深圳調(diào)研)設(shè)向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b. 解：因為a與b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，

10、 因此tan(α＋β)＝2. (2)由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b＋c|＝ ＝≤4. 又當(dāng)β＝kπ－(k∈Z)時，等號成立，所以|b＋c|的最大值為4. (3)由tan αtan β＝16得＝，即16cos βcos α＝sin αsin β 所以a∥b. [熱點預(yù)測] 13．(1)(2012年山東煙臺高三診斷性測試)設(shè)G是△ABC的重心，若∠A＝120°，·＝－1，則||的最小值是 (　　) A. B. C. D. (2)(2012年山東濟寧高三一模)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(2,1)，c＝(x，y)，

11、且滿足x≥0，y≥0.若a·c≥1，b·c≥1，z＝－(a＋b)·c，則 (　　) A．z有最小值－2 B．z有最大值－2 C．z有最小值－3 D．z有最大值－3 解析：(1)如圖所示，G是△ABC的重心，AG交BC于點M， 則M為BC的中點， 由＝＝×(＋)＝(＋)， 所以2＝(2＋2＋2·)＝(2＋2－2)． 故只需求2＋2的最小值即可． 由∠A＝120°，·＝－1，得||·||＝2，即bc＝2， 因為bc≤，所以2＋2＝c2＋b2≥2bc＝4. 所以2≥，||≥，選D. (2)由a·c≥1，b·c≥1，得z＝－(a＋b)·c＝－3x－3y. 畫出可行域如圖所示，當(dāng)直線y＝－x－經(jīng)過點A時，－最小，z最大， 由得 即A(，)． 此時zmax＝－3x－3y＝－2.故選B. 答案：(1)D　(2)B