《離散型隨機(jī)變量及其分布列》.ppt

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1、離散型隨機(jī)變量及其分布列,復(fù)習(xí)回顧,引例： （1）拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有幾種情況？ （2）姚明罰球2次有可能得到的分?jǐn)?shù)有幾種情況？ （3）拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有幾種情況？ 思考：在上述試驗(yàn)開始之前，你能確定結(jié)果是哪一 種情況嗎？,1，2，3，4，5，6,0分，1分，2分,正面向上，反面向上,能否把擲硬幣的結(jié)果也用數(shù)字來表示呢？,分析：不行，雖然我們能夠事先知道隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的 所有結(jié)果，但在一般情況下，試驗(yàn)的結(jié)果是隨機(jī)出現(xiàn)的。,在前面的例子中，我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都用 一個(gè)確定的數(shù)字來表示，這樣試驗(yàn)結(jié)果的變化就可看成是 這些數(shù)字的變化。 若把這些數(shù)字當(dāng)做某個(gè)變量的取值，

2、則這個(gè)變量就叫 做隨機(jī)變量，常用X、Y、x、h 來表示。,一、隨機(jī)變量的概念：,按照我們的定義，所謂的隨機(jī)變量，就是隨機(jī)試驗(yàn) 的試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。那么，隨機(jī)變量 與函數(shù)有類似的地方嗎？,思考,隨機(jī)變量是試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，而 函數(shù)是實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，它們都是一種映射,在這兩種映射之間， 試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域， 隨機(jī)變量的取值結(jié)果相當(dāng)于函數(shù)的值域。 所以我們也把隨機(jī)變量的取值范圍叫做隨機(jī)變量的值域。,例1、一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，若從中任取3個(gè)， 則其中所含白球的個(gè)數(shù)x 就是一個(gè)隨機(jī)變量，求x 的取值 范圍，并說明x 的不同取值所表示的事件。

3、,解： x 的取值范圍是0，1，2，3 ，其中 x =0表示的事件是“取出0個(gè)白球，3個(gè)黑球”； x =1表示的事件是“取出1個(gè)白球，2個(gè)黑球”； x =2表示的事件是“取出2個(gè)白球，1個(gè)黑球”； x =3表示的事件是“取出3個(gè)白球，0個(gè)黑球”；,變題：x 3在這里又表示什么事件呢？,“取出的3個(gè)球中，白球不超過2個(gè)”,寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值，并說明它們各自 所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：,練一練,（1）從10張已編號(hào)的卡片（從1號(hào)到10號(hào)）中任取1張， 被取出的卡片的號(hào)數(shù)x ； （2）拋擲兩個(gè)骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和Y； （3）某城市1天之中發(fā)生的火警次數(shù)X； （4）某品牌的電燈泡的壽命X； （5

4、）某林場(chǎng)樹木最高達(dá)30米，最低是0.5米，則此林場(chǎng) 任意一棵樹木的高度x,（x=1、2、3、10）,（Y=2、3、12）,（X=0、1、2、3、）,0，+),0.5，30,思考：前3個(gè)隨機(jī)變量與最后兩個(gè)有什么區(qū)別？,二、隨機(jī)變量的分類：,1、如果可以按一定次序，把隨機(jī)變量可能取的值一一 列出，那么這樣的隨機(jī)變量就叫做離散型隨機(jī)變量。 （如擲骰子的結(jié)果，城市每天火警的次數(shù)等等） 2、若隨機(jī)變量可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切值，那么這樣的 隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量。 （如燈泡的壽命，樹木的高度等等）,注意： （1）隨機(jī)變量不止兩種，我們只研究離散型隨機(jī)變量； （2）變量離散與否與變量的選取有關(guān)； 比如：

5、對(duì)燈泡的壽命問題，可定義如下離散型隨機(jī)變量,下列試驗(yàn)的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示？ （1）已知在從汕頭到廣州的鐵道線上，每隔50米有一個(gè) 電線鐵站，這些電線鐵站的編號(hào)； （2）任意抽取一瓶某種標(biāo)有2500ml的飲料，其實(shí)際量 與規(guī)定量之差； （3）某城市1天之內(nèi)的溫度； （4）某車站1小時(shí)內(nèi)旅客流動(dòng)的人數(shù)； （5）連續(xù)不斷地投籃，第一次投中需要的投籃次數(shù). （6）在優(yōu)、良、中、及格、不及格5個(gè)等級(jí)的測(cè)試中， 某同學(xué)可能取得的等級(jí)。,小練一下,練習(xí)一:寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值:,(1)從10張已編號(hào)的卡片（從1號(hào)到10號(hào)）中任取1張，被取出的卡片的號(hào)數(shù),(2)一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球

6、，從中任取3個(gè)，其中所含白球數(shù),（3）拋擲兩個(gè)骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和,(4)接連不斷地射擊,首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù),(5)某一自動(dòng)裝置無故障運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間,(6)某林場(chǎng)樹木最高達(dá)30米，此林場(chǎng)樹木的高度,離散型,連續(xù)型,（1、2、3、10）,（ 內(nèi)的一切值）,（ 內(nèi)的一切值）,（0、1、2、3）,注:隨機(jī)變量即是隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.,1.將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是( ),(A)兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和,(B)兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù),(C)第一次減去第二次的點(diǎn)數(shù)差,(D)拋擲的次數(shù),D,2.某人去商廈為所在公司購買玻璃水杯若干只,公司要求至少要買50只,但不得超過80只

7、.商廈有優(yōu)惠規(guī)定：一次購買小于或等于50只的不優(yōu)惠.大于50只的，超出的部分按原價(jià)格的7折優(yōu)惠.已知水杯原來的價(jià)格是每只6元.這個(gè)人一次購買水杯的只數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，那么他所付款是否也為一個(gè)隨機(jī)變量呢? 、有什么關(guān)系呢？,本質(zhì)是建立了一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。,1.袋中有大小相同的5個(gè)小球，分別標(biāo)有1、2、3、4、5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回的條件下取出兩個(gè)小球，設(shè)兩個(gè)小球號(hào)碼之和為，則所有可能值的個(gè)數(shù)是_個(gè)；“”表示,“第一次抽1號(hào)、第二次抽3號(hào)，或者第一次抽3號(hào)、第二次抽1號(hào)，或者第一次、第二次都抽2號(hào)”,9,答：因?yàn)橐幻恩蛔拥狞c(diǎn)數(shù)可以是1，2，3，4，5，6六種 結(jié)果之一，由已知得 ，

8、也就是說“ 4”就是 “ 5”所以，“ 4”表示第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn),2.拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為，試問: (1)“4”表示的試驗(yàn)結(jié)果是什么?(2)P (4)=?,1.拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為，試問: (1)“4”表示的試驗(yàn)結(jié)果是什么？ (2) P (4)=?,2.一袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次取出一個(gè),取出后記下球的顏色,然后放回,直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，停止時(shí)取球的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變 量，則P(=12)=_（用式子表示）.,答:(1)因?yàn)橐幻恩蛔拥狞c(diǎn)數(shù)可以是1，2，3，4

9、，5，6六種 結(jié)果之一，由已知得 ，也就是說“ 4”就是 “ 5”所以，“ 4”表示第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn),1.隨機(jī)變量是隨機(jī)事件的結(jié)果的數(shù)量化,隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一隨機(jī)事件。,隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是人為建立起來的，但又是客觀存在的這與函數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的，只不過在函數(shù)概念中，函數(shù)f (x)的自變量x是實(shí)數(shù)，而在隨機(jī)變量的概念中，隨機(jī)變量 的自變量是試驗(yàn)結(jié)果。,3. 若是隨機(jī)變量，則=a+b（其中a、b是常數(shù)） 也是隨機(jī)變量 ,2.隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。,若用X表示拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所得的點(diǎn)數(shù)， 請(qǐng)把X

10、取不同值的概率填入下表，并求判斷下列事件發(fā)生 的概率是多少？ （1）X是偶數(shù)；（2） X3；,探究,解：P(X是偶數(shù))=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6),P(X3)=P(X=1)+P(X=2),三、離散型隨機(jī)變量的分布列：,一般地，若離散型隨機(jī)變量X 可能取的不同值為： x1，x2，xi，xn X取每一個(gè)xi (i=1，2，n)的概率P(X=xi)=Pi，則稱表：,為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列. 有時(shí)為了表達(dá)簡(jiǎn)單，也用等式 P(X=xi)=Pi i=1，2，n 來表示X的分布列,離散型隨機(jī)變量的分布列應(yīng)注意問題：,1、分布列的構(gòu)成：,（1）列出了離散型隨機(jī)變量X的所

11、有取值； （2）求出了X的每一個(gè)取值的概率；,2、分布列的性質(zhì):,練習(xí)1.隨機(jī)變量的分布為,解:(1)由離散型隨機(jī)變量的分布性質(zhì)有,練習(xí)2.,已知隨機(jī)變量的分布如下：,2,1,3,2,1,0,分別求出隨機(jī)變量,；,的分布,（1）求常數(shù)a;（2）求P(14),(2)P(14)=P(=2)+P(=3)=0.12+0.3=0.42,解：,由,可得,且相應(yīng)取值的概率沒有變化,練習(xí)2:已知隨機(jī)變量的分布如下：,2,1,3,2,1,0,分別求出隨機(jī)變量,；,的分布列,練習(xí)2:已知隨機(jī)變量的分布列如下：,2,1,3,2,1,0,分別求出隨機(jī)變量,；,的分布,兩點(diǎn)分布與超幾何分布,兩點(diǎn)分布的應(yīng)用非常廣泛.如抽

12、取的彩券是否中獎(jiǎng)； 買回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別； 投籃是否命中等，都可以用兩點(diǎn)分布列來研究 如果隨機(jī)變量X的概率分布為兩點(diǎn)分布， 就稱X服從兩點(diǎn)分布 ( two point distribution)， 而稱p=P (X = 1）為成功概率兩點(diǎn)分布又稱0一1分布 又只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫伯努利（ Bernoulli ）試驗(yàn) 所以還稱這種概率分布為伯努利分布其中：,示例：在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中，令,如果針尖向上的概率為p，試寫出隨機(jī)變量 X 的分布 解：根據(jù)概率分布的性質(zhì)，針尖向下的概率是（1-p），,則有隨機(jī)變量 X 的分布是 像上面這樣的分布稱為兩點(diǎn)分布,舉例說明：,例

13、2、在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中，令,如果針尖向上的概率為p，試寫出隨機(jī)變量X的分布列。,解：根據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是(1-p),于是，隨機(jī)變量X的分布列是,像上面這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列。,如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱 X服從兩點(diǎn)分布，而稱p=P(X=1)為成功概率。,例3、袋子中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黑球，這些球 除顏色外完全相同，現(xiàn)要從中摸一個(gè)球出來，若摸到 黑球得1分，摸到白球得0分，摸到紅球倒扣1分，試寫 出從該盒內(nèi)隨機(jī)取出一球所得分?jǐn)?shù)X的分布列.,解：因?yàn)橹蝗?球，所以X的取值只能是1，0，-1,從袋子中隨機(jī)取出一球 所得分?jǐn)?shù)X的分布列為：,求離散型隨機(jī)變量

14、分布列的基本步驟：,（1）確定隨機(jī)變量的所有可能的值xi,（2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi,（3）列出表格,課堂練習(xí)：,0.3,0.16,P,3,2,1,0,-1,2、若隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則常數(shù)a=_,C,課堂練習(xí)：,0.88,思考：一個(gè)口袋有5只同樣大小的球，編號(hào)分別為1，2， 3，4，5，從中同時(shí)取出3只，以X表示取出的球最小的 號(hào)碼，求X的分布列。,解：因?yàn)橥瑫r(shí)取出3個(gè)球，故X的取值只能是1，2，3 當(dāng)X=1時(shí)，其他兩球可在剩余的4個(gè)球中任選 故其概率為 當(dāng)X=2時(shí)，其他兩球的編號(hào)在3，4，5中選， 故其概率為 當(dāng)X=3時(shí)，只可能是3，4，5這種情況， 概率為,隨機(jī)變量X的分布列為,思考：一個(gè)口袋有5只同樣大小的球，編號(hào)分別為1，2， 3，4，5，從中同時(shí)取出3只，以X表示取出的球最小的 號(hào)碼，求X的分布列。,例題分析：,