人教版九年級下冊 反比例函數(shù)存在性問題解析版(綜合復(fù)習(xí))

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1、 反比例函數(shù)存在性問題解析版 一．相似 1． ABC?在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，反比例函數(shù)?y＝ （k≠0）在第一象限內(nèi)的 圖象與?BC?邊交于點(diǎn)?D（4，1），與?AB?邊交于點(diǎn)?E（2，n）． （1）求反比例函數(shù)的解析式和?n?值； （2）當(dāng) ＝ 時(shí)，求直線?AB?的解析式； （3）設(shè)?P?是線段?AB?邊上的點(diǎn)，在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)?P，以?B、C、P?為頂點(diǎn) 的三角形與△EDB?相似？若存在，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)?P?的坐標(biāo)；若不存在，請說明理 由．

2、 【解答】解：（1）∵D（4，1）、E（2，n）在反比例函數(shù)?y＝ 的圖象上， ∴4＝k，2n＝k， ∴k＝4，n＝2， ∴反比例函數(shù)的解析式為?y＝ ； （2）如圖?1，過點(diǎn)?E?作?EH⊥BC，垂足為?H． 第1頁（共49頁） 在?Rt△BEH?中，tan∠BEH＝tan∠A＝ ，EH＝2，所以?BH＝1． ∴D（4，1），E（2，2），B（4，

3、5）． 設(shè)直線?AB?的解析式為?y＝kx+b，代入?B（4，3）、E（2，2）， 得 ，解得： ， 因此直線?AB?的函數(shù)解析式為：y＝ x+1； （3）存在， 如圖?2，作?EF⊥BC?于?F，PH⊥BC?于?H， 當(dāng)△BED∽△BPC?時(shí)， ， ∴ ＝ ， ∵BF＝1， ∴BH＝ ， 第2頁（共49頁） ∴CH＝ ，可得 ＝ x+1，x＝1，

4、 點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（1， ）； 如圖?，當(dāng) BED∽△BCP?時(shí)， ＝ ， ∵EF＝2，BF＝1，由勾股定理，BE＝ ， ∴ ＝ ， ∴BP＝ ， ∴ ，BF＝1，BH＝ ， ∴CH＝ ，可得 ＝ x+1，x＝ ， 點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（ ， ）， 點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（1， ）；（ ， ）． 二．直角三角形 1．如圖，已知直線?OA?與反比例函數(shù)?y＝?（m≠0）的圖象在第一象限交于點(diǎn)

5、?A．若?OA＝ 4，直線?OA?與?x?軸的夾角為?60°． （1）求點(diǎn)?A?的坐標(biāo)； （2）求反比例函數(shù)的解析式； 第3頁（共49頁） （3）若點(diǎn)?P?是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，當(dāng)△AOP?是直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)?P?的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）如圖?1，過點(diǎn)?A?作?AE⊥x?軸于?E， ∵∠AOE＝60°，AE⊥OE， ∴∠OAE＝30°，

6、 ∴OE＝ OA＝2，AE＝ OE＝2 ， ∴點(diǎn)?A（2，2 ）； （2）∵反比例函數(shù)?y＝ 的圖象過點(diǎn)?A， ∴m＝2×2 ＝4 ， ∴反比例函數(shù)解析式為?y＝ （3）如圖， ； 第4頁（共49頁） 當(dāng)點(diǎn)?P1?在?y?軸上時(shí)，且∠AP1O＝90°， 又∵∠AOP1＝30°， ∴AP1＝2，OP1＝ AP1＝2??， ∴點(diǎn)?P1

7、（0，2 ）； 當(dāng)點(diǎn)?P2?在?x?軸上，且∠AP2O＝90°， 又∵∠OAP2＝30°， ∴OP2＝2， ∴點(diǎn)?P2（2，0）； 當(dāng)點(diǎn)?P3?在?y?軸上，且∠P3AO＝90°， 又∵∠AOP3＝30°， ∴OP3＝2AP3，AO＝ AP3＝4， ∴OP3＝ ， ∴點(diǎn)?P3（0， ）； 當(dāng)點(diǎn)?P4?在?x?軸上，且∠P4AO＝90°， ∵∠AOP4＝60°， 第5頁（共49頁） ∴∠AP4O＝30°， ∴O

8、P4＝2OA＝8， ∴點(diǎn)?P4（8，0）； 綜上所述：點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（0，2 ）或（2，0）或（0， ）或（8，0）． 2．如圖，一次函數(shù)?y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù) 的圖象在第一象限交于?A、 B?兩點(diǎn)，A?點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，4），B?點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），連接?OA、OB，過?B?作?BD⊥ y?軸，垂足為?D，交?OA?于?C．若?OC＝CA， （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式； （）求 AOB?的面積； （3）在直線?BD?上是否存在一點(diǎn)?E，使得△AOE?是以?AO?為直角邊的直角三角形，直接

9、 寫出所有可能的?E?點(diǎn)坐標(biāo)． 【解答】解：（1）∵點(diǎn)?B（3，2）在反比例函數(shù)?y＝ 的圖象上， ∴a＝3×2＝6， ∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為?y＝ ， ∵點(diǎn)?A?的縱坐標(biāo)為?4， ∵點(diǎn)?A?在反比例函數(shù)?y＝ 圖象上， 第6頁（共49頁） ∴A（ ，4）， ∴ ， ∴ ， ∴一次函數(shù)的表達(dá)式為?y＝﹣ x+6； （2）如圖?1，過點(diǎn)?A?作

10、?AF⊥x?軸于?F?交?OB?于?G， ∵B（3，2）， ∴直線?OB?的解析式為?y＝ x， ∴G（ ，1），A（ ，4）， ∴AG＝4﹣1＝3， ∴?AOB＝?AOG+S△ABG＝ ×3×3＝ ． （3）如圖?2?中， 第7頁（共49頁） ①當(dāng)∠AOE1＝90°時(shí)， ∵點(diǎn)?A（ ，4

11、）， ∴直線?AC?的解析式為?y＝ x， ∴直線?OE1?的解析式為?y＝﹣ x， 當(dāng)?y＝2?時(shí)，x＝﹣ ， ∴E1（﹣ ，2）； ②當(dāng)∠OAE2＝90°時(shí)，可得直線?AE2?的解析式為?y＝﹣ x+ ， 當(dāng)?y＝2?時(shí)，x＝ ， ∴E2（ ，2）． 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)?E?坐標(biāo)為（﹣ ，2）或（ ，2）． 3．已知：如圖，一次函數(shù)?y＝﹣2x+10?的圖象與反比例函數(shù)?y＝ 的圖象相交于?A、B?兩點(diǎn) （A?在?B?的右側(cè)），點(diǎn)?A?橫坐標(biāo)為?4．

12、 （1）求反比例函數(shù)解析式及點(diǎn)?B?的坐標(biāo)； （2）觀察圖象，直接寫出關(guān)于?x?的不等式﹣2x+10﹣ ＞0?的解集； 第8頁（共49頁） （3）反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點(diǎn)?，使 PAB?是以?AB?為直角邊的直角三 角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)?P?的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【解答】解：（1）把?x＝4?代入?y＝﹣2x+10?得?y＝2， ∴A（4，2）， 把?A（4，2）代入?y＝ ，得?k＝4×2

13、＝8． ∴反比例函數(shù)的解析式為?y＝ ， 解方程組 ，得 ，或 ， ∴點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為（1，8）； （2）觀察圖象得，關(guān)于?x?的不等式﹣2x+10﹣ ＞0?的解集為：1＜x＜4?或?x＜0； （3）存在， 理由：①?若∠BAP＝90°， 過點(diǎn)?A?作?AH⊥OE?于?H，設(shè)?AP?與?x?軸的交點(diǎn)為?M，如圖?1， 第9頁（共49頁）

14、 對于?y＝﹣2x+10， 當(dāng)?y＝0?時(shí)，﹣2x+10＝0，解得?x＝5， ∴點(diǎn)?E（5，0），OE＝5． ∵A（4，2）， ∴OH＝4，AH＝2， ∴HE＝5﹣4＝1． ∵AH⊥OE， ∴∠AHM＝∠AHE＝90°． 又∵∠BAP＝90°， ∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°， ∴∠MAH＝∠AEM， ∴△AHM∽△EHA， ∴ ，即 ， ∴MH＝4， ∴M（0，0）， 第10頁（共49頁） 可設(shè)直

15、線?AP?的解析式為?y＝mx， 則有?4m＝2，解得?m＝ ， ∴直線?AP?的解析式為?y＝ x， 解方程組 ，得 ， ， ∴點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）． ②?若∠ABP＝90°， 同理可得：點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（﹣16，﹣ ）． 綜上所述：符合條件的點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣ ）． 4．已知：一次函數(shù)?y＝﹣2x+10?的圖象與反比例函數(shù)?y＝ （k＞0）的圖象相交于?A，B?兩 點(diǎn)（A?在?B?的右側(cè)）． （1）當(dāng)?A

16、（4，2）時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式及?B?點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）在（1）的條件下，反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點(diǎn)?，使 PAB?是以?AB 為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)?P?的坐標(biāo)；若不存在，請說明 理由． 第11頁（共49頁） 【解答】解：（1）把?A（4，2）代入?y＝ ，得?k＝4×2＝8． ∴反比例函數(shù)的解析式為?y＝ ． 解方程組 ，得 ， ∴點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為（1，8）；

17、 （2）存在，理由： ①?若∠BAP＝90°， 過點(diǎn)?A?作?AH⊥OE?于?H，設(shè)?AP?與?x?軸的交點(diǎn)為?M，如圖?1， 對于?y＝﹣2x+10， 當(dāng)?y＝0?時(shí)，﹣2x+10＝0，解得?x＝5， ∴點(diǎn)?E（5，0），OE＝5． ∵A（4，2）， ∴OH＝4，AH＝2， ∴HE＝5﹣4＝1． 第12頁（共49頁） ∵AH⊥OE， ∴∠AHM＝∠AHE＝

18、90°． 又∵∠BAP＝90°， ∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°， ∴∠MAH＝∠AEM， ∴△AHM∽△EHA， ∴ ，即 ， ∴MH＝4， ∴M（0，0）， 可設(shè)直線?AP?的解析式為?y＝mx， 則有?4m＝2，解得?m＝ ， ∴直線?AP?的解析式為?y＝ x， 解方程組 ，得 ， ∴點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）． ②?若∠ABP＝90°， 同理可得：點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（

19、﹣16，﹣ ）． 綜上所述：符合條件的點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣ ）． 第13頁（共49頁） 三．平行四邊形 A B 1．如圖，一次函數(shù)?y1＝kx+b?的圖象與反比例函數(shù)?y2＝ 的圖象交于?（2，m），?（n，1） 兩點(diǎn)，連接?OA，OB． （1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式； （）求 OAB?的面積； （3）問：在直角坐標(biāo)系中，是否存在一點(diǎn)?P，使以?O，A，B，P?為頂點(diǎn)的四邊形是平行 四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)?P?的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

20、 【解答】解：（1）∵點(diǎn)?A（2，m），B（n，1）在反比例函數(shù)?y2＝ 上， ∴2m＝6，n＝6， ∴m＝3， ∴A（2，3），B（6，1）， ∵點(diǎn)?A（2，3），B（6，1）在一次函數(shù)?y1＝kx+b?上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函數(shù)的表達(dá)式為?y1＝﹣ x+4； 第14頁（共49頁） （2）如圖?1，記一次函數(shù)?y1＝﹣ x+4?的圖象與?x，y?軸的交點(diǎn)為點(diǎn)?D，C，

21、 針對于?y1＝﹣ x+4， 令?x＝0，則?y1＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝6， 令?y1＝0，則﹣ x+4＝0， ∴x＝8， ∴D（8，0）， ∴OD＝8， 過點(diǎn)?A?作?AE⊥y?軸于?E，過點(diǎn)?B?作?BF⊥x?軸于?F， ∵A（2，3），B（6，1）， ∴AE＝2，BF＝1， ∴?AOB＝?COD﹣?AOC﹣?BOD ＝ OC?OD﹣ OC?AE﹣ OD?BF ＝ ×4×8﹣ ×4×2﹣ ×8×1 ＝8；

22、 （3）存在，如圖?2， B O 當(dāng)?AB?和?OB?為鄰邊時(shí)，點(diǎn)?（6，1）先向左平移?6?個(gè)單位再向下平移?1?個(gè)單位到點(diǎn)?（0， 第15頁（共49頁） 0），則點(diǎn)?A?也先向左平移?6?個(gè)單位再向下平移?1?個(gè)單位到點(diǎn)?P（2﹣6，3﹣1），即?P（﹣ 4，2）； O A 當(dāng)?OA?和?OB?為鄰邊時(shí)，點(diǎn)?（0，0）先向右平移?2?個(gè)單位再向上平移?3?個(gè)單位到點(diǎn)?（2， 3）， ' ' 則點(diǎn)?B?也先向右平移?2?個(gè)單位再向上平移?3?個(gè)單位到點(diǎn)?P（6+2，1+3），即?P（8，4）；

23、 A B 當(dāng)?AB?和?OA?為鄰邊時(shí)，點(diǎn)?（2，3）先向右平移?4?個(gè)單位再向下平移?2?個(gè)單位到點(diǎn)?（6， 1）， ' 則點(diǎn)?O?也先向右平移?4?個(gè)單位再向下平移?2?個(gè)單位到點(diǎn)?P''（0+4，0﹣2），即?P（4，﹣ 2）； 點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（﹣4，2）或（4，﹣2）或（8，4）． 2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系?xOy?中，一次函數(shù)?y＝x+b?的圖象經(jīng)過點(diǎn)?A（﹣2，0），與反比

24、 例函數(shù)?y＝ 的圖象交于點(diǎn)?B（a，4）和點(diǎn)?C． （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式； 第16頁（共49頁） （2）若點(diǎn)?P?在?y?軸上，且△PBC?的面積等于?6，求點(diǎn)?P?的坐標(biāo)； （3）設(shè)?M?是直線?AB?上一點(diǎn)，過點(diǎn)?M?作?MN∥x?軸，交反比例函數(shù)?y＝ 的圖象于點(diǎn)?N， 若?A，O，M，N?為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)?M?的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）∵一次函數(shù)?y＝x+b?的圖象經(jīng)過

25、點(diǎn)?A（﹣2，0）， ∴b＝2， ∴直線解析式為?y＝x+2， ∵點(diǎn)?B（a，4）在直線?y＝x+2?上， ∴4＝a+2， ∴a＝2， ∴點(diǎn)?B（2，4）， ∵反比例函數(shù)?y＝ 的圖象過點(diǎn)?B（2，4）， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函數(shù)解析式為?y＝ ； （2）如圖?1，設(shè)直線?AB?與?y?軸交于點(diǎn)?D，點(diǎn)?P?坐標(biāo)為（0，p）， 第17頁（共49頁）

26、∵直線?AB?與?y?軸交于點(diǎn)?D， ∴點(diǎn)?D（0，2）， 聯(lián)立方程得： ， 解得： ，或 ， ∴C（﹣4，﹣2）， ∴?PBC＝S△BPD+S△PDC＝ ， ∴p＝0?或?4， ∴P（0，0）或（0，4）； （3）如圖?2，設(shè)?M（m﹣2，m），則?N（ ）， 第18頁（共49頁） ∵

27、以?A，O，M，N?為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，MN∥OA，OA＝2， ∴MN＝OA＝2， ∴ ， ∴ 或 ， ∴點(diǎn)?M?坐標(biāo)為（2 ﹣2，???）或（﹣2????，﹣2??）或（2??，??????）或（﹣ 2 ， ）． 3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系?xOy?中，一次函數(shù)?y＝x+b?的圖象經(jīng)過點(diǎn)?C（0，2），與反比例 函數(shù)?y＝ （x＞0）的圖象交于點(diǎn)?A（1，a）． （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式； （2）設(shè)?M?是反比例函數(shù)?y＝ （x＞0）圖象上一點(diǎn)，N?是直線

28、?AB?上一點(diǎn)，若以點(diǎn)?O、 M、C、N?為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)?N?的坐標(biāo)． 第19頁（共49頁） 【解答】解：（1）∵點(diǎn)?C（0，2）在直線?y＝x+b?上， ∴b＝2， ∴一次函數(shù)的表達(dá)式為?y＝x+2； ∵點(diǎn)?A（1，a）在直線?y＝x+2?上， ∴a＝3， ∴點(diǎn)?A（1，3）， ∵點(diǎn)?A（1，3）在反比例函數(shù)?y＝ （x＞0）的圖象上，

29、 ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為?y＝ ； （2）由（1）知，直線?AB?的表達(dá)式為?y＝x+2，反比例函數(shù)的表達(dá)式為?y＝ ， 設(shè)點(diǎn)?M（m， ），N（n，n+2）， 若以點(diǎn)?O、M、C、N?為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形， 則①?以?OC?和?MN?為對角線時(shí)， 第20頁（共49頁） ∴ ＝0， ， ∴m＝ ∴N（﹣ ，n＝﹣ ，﹣ 或?m＝﹣ +2）， （此時(shí)

30、，點(diǎn)?M?不在第一象限，舍去），n＝??， ②以?CN?和?OM?為對角線時(shí)， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴m＝n＝﹣2+ ∴N（﹣2+ ， 或?m＝n＝﹣2﹣ ）， （此時(shí)，點(diǎn)?M?不在第一象限，舍去）， ③以?CM?和?ON?為對角線時(shí)， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴m＝n＝ 或?m＝n＝﹣ （此時(shí)，點(diǎn)?M?不在第一象限，舍去）， ∴N（ ，2+ ）， 即滿足條件的點(diǎn)?N?的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ +2）或

31、（﹣2+ ， ）或（ ，2+ ）． 4．閱讀理解：已知：對于實(shí)數(shù)?a≥0，b≥0，滿足?a+b≥2 ，當(dāng)且僅當(dāng)?a＝b?時(shí)，等號成 立，此時(shí)取得代數(shù)式?a+b?的最小值． 根據(jù)以上結(jié)論，解決以下問題： （1）拓展：若?a＞0，當(dāng)且僅當(dāng)?a＝ 1 時(shí)，a+ 有最小值，最小值為 2 ； （2）應(yīng)用： ①如圖?1，已知點(diǎn)?P?為雙曲線?y＝?（x＞0）上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)?P?作?PA⊥x?軸，PB⊥y 第21頁（共49頁） 軸，四邊形?OAPB?的周長取得最小值時(shí)，求出點(diǎn)?P?的坐標(biāo)以及周

32、長最小值； ②?如圖?2，已知點(diǎn)?Q?是雙曲線?y＝ （x＞0）上一點(diǎn)，且?PQ∥x?軸，連接?OP、OQ，當(dāng) 線段?OP?取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)取一點(diǎn)?C，使得以?O、P、Q、C?為頂點(diǎn)的四邊形是平 行四邊形，求出點(diǎn)?C?的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）由題意得：a+ ≥2 ＝2， 故?a+ 有最小值為?2； 此時(shí)?a＝ ，解得?a＝±1（舍去負(fù)值）， 故答案為?1，2； （2）設(shè)點(diǎn)?P（x， ），

33、則四邊形?OAPB?的周長＝2PB+2AP＝2（x+ ）≥2（2 ）＝8， 此時(shí)?x＝ ，解得?x＝±2（舍去負(fù)值），則點(diǎn)?P（2，2）， 故答案為：P（2，2），周長最小?8； （3）設(shè)點(diǎn)?P（x， ）， 第22頁（共49頁） 則由題意得：OP2＝x2+（ ）2≥2x ＝8， 當(dāng)?OP?最小時(shí)，x＝ ，解得?x＝±2（舍去負(fù)值），故點(diǎn)?P（2，2）， 當(dāng)?y＝2?時(shí)，y＝ ＝2，解得?x＝4，即點(diǎn)?Q（4，2）， 則?PQ＝4﹣2＝2，

34、 ①當(dāng)?PQ?是邊時(shí)， ∵PQ∥x?軸， ∴四邊形?OPQC?為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)?C?在?x?軸上， 即?OC＝PQ＝2，則點(diǎn)?C（2，0）或（﹣2，0）； ②當(dāng)?PQ?是對角線時(shí)， 設(shè)點(diǎn)?C?的坐標(biāo)為（x，y）， 由中點(diǎn)的性質(zhì)得： （2+4）＝ （x+0）且 （2+2）＝ （0+y）， 解得 ，故點(diǎn)?C（6，4）． 故答案為：（﹣2，0）、（2，0）或（6，4）． 四．菱形 1．如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線?y＝x+2?和雙曲線?y＝ 相交于?

35、A、B?兩點(diǎn)． 第23頁（共49頁） （1）連結(jié)?AO、BO，求出△AOB?的面積． （2）已知點(diǎn)?E?在雙曲線?y＝ 上且橫坐標(biāo)為?1，作?EF?垂直于?x?軸垂足為?F，點(diǎn)?H?是?x 軸上一點(diǎn)，連結(jié)?EH?交雙曲線于點(diǎn)?I，連結(jié)?IF?并延長交?y?軸于點(diǎn)?G，若點(diǎn)?G?坐標(biāo)為（0， ﹣ ），請求出?H?點(diǎn)的坐標(biāo)． （3）已知點(diǎn)?M?在?x?軸上，點(diǎn)?N?是平面內(nèi)一點(diǎn)，以

36、點(diǎn)?O、E、M、N?為頂點(diǎn)的四邊形是菱 形，請你直接寫出?N?點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）如圖?1?中，設(shè)?AB?交?y?軸于?C． 由 ，解得 或 ， ∴A（2，4），B（﹣4，﹣2）， 第24頁（共49頁） ∵直線?AB?交?y?軸于?C（0，2）， ∴?AOB＝?AOC+S△OCB＝ ×2×2+ ×2×4＝6． （2）如圖?2?中，

37、 由題意?E（1，8），F(xiàn)（1，0）， ∵G（0，﹣ ）， ∴直線?FG?的解析式為?y＝ x﹣ ， 由 ，解得 或 ， ∴I（ ， ）， ∴直線?EH?的解析式為?y＝ x+ 令?y＝0，解得?x＝ ， ∴H（ ，0）． 第25頁（共49頁） （3）如圖?3?中，

38、 ∵E（1，8）， ∴OE＝ ＝ ， 當(dāng)?OM1?是菱形的對角線時(shí)，E，N1?關(guān)于?x?軸對稱，可得?N1（1，﹣8）． 當(dāng)?OM?為菱形的邊時(shí)，可得?N2（1+ ，8），N4（1﹣ ，8）． 當(dāng)?OE?為菱形的對角線時(shí)，連接?M3N3?交?OE?于?T，EN3?交?y?軸于?P． ∵M(jìn)3N3⊥OE， ∴∠OTM3＝90°， ∵∠POE＝∠TM3O， ∴sin∠POE＝sin∠OM3T， ∴ ＝ ， ∴OM3＝ ， 第2

39、6頁（共49頁） ∴M3（ ，0）， ∵TN3＝TM3，T（ ，4）， ∴可得?N3（﹣ ，8）， 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)?N?的坐標(biāo)為（1，﹣8）或（1+  ，8）或（1﹣???，8）或（﹣ ，8）． 2．如圖，已知直線?y＝kx+b?與反比例函數(shù)?y＝ （x＞0）的圖象分別交于點(diǎn)?A（m，3）和 點(diǎn)?B（6，n），與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)?C?和點(diǎn)?D． （1）求直線?AB?的解析式； （2）若點(diǎn)?P?是反比例函數(shù)第一

40、象限內(nèi)，直線?CD?上方一動點(diǎn)，當(dāng)△ABP?面積為?5?時(shí)，求 點(diǎn)?P?的坐標(biāo)． （3）若?M?是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動點(diǎn)，在?y?軸上是否存在一動點(diǎn)?Q，使以?A、C、Q、 M?為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出?Q?點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，說明理由． 【解答】解：（1）把點(diǎn)?A（m，3）、B?（6，n）分別代入?y＝ ①?得?3m＝6，6n＝6， 解得?m＝2，n＝1， ∴A（2，3），B（6，1）， 把?A（2，3），B（6，1）代入?y＝kx+b?得 ，

41、 第27頁（共49頁） 解得 ， ∴直線?AB?的解析式為?y＝﹣ x+4； （2）將直線?AB?向右平移 P， h?個(gè)單位得到直線?l，直線?l?與反比例函數(shù)的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) 過點(diǎn)?D?作?DH⊥l?交于點(diǎn)?H，設(shè)直線?l?交?x?軸于點(diǎn)?M， 由直線?AB?的表達(dá)式知，tan∠HMD＝ ，則?sin∠HMD＝ ， 則?HD＝DMsin∠HMD＝ h× ＝h， 由點(diǎn)?A

42、、B?的坐標(biāo)知，AB＝ ＝2 ， 則△ABP?面積＝ ×AB×h＝ ×2 h＝5，解得?h＝ ，則?DM＝ h＝5， 即直線?AB?向右平移?5?個(gè)單位得到直線?l，則直線?l?的表達(dá)式為?y＝﹣ （x﹣5）+4②， 聯(lián)立①②并解得： ， 故點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（1，6）或（12， ）； 第28頁（共49頁） （3）存在，理由： 設(shè)點(diǎn)?P（a，b），點(diǎn)?Q（0，t），由?A、C?的坐標(biāo)知，AC2＝5， ①當(dāng)?AC?是邊時(shí)， 點(diǎn)?C?向右平移?2?

43、個(gè)單位向下平移?1?個(gè)單位得到點(diǎn)?A，同樣點(diǎn)?P（Q）向右平移?2?個(gè)單位向 下平移?1?個(gè)單位得到點(diǎn)點(diǎn)?Q（P）， 則?a+2＝0?且?b﹣1＝t?且?AC＝PC?或?a﹣2＝0?且?b+1＝t?且?AC＝QC， 即?a+2＝0?且?b﹣1＝t?且?a2+（b﹣4）2＝5?或?a﹣2＝0?且?b+1＝t?且（t﹣4）2＝5， 解得?t＝4（舍去）或?2?或?4± ， ②當(dāng)?AC?是對角線時(shí)， 由中點(diǎn)公式得： （2+0）＝ （3+4）＝ （b+t）且?CP＝CQ，即?a2+（b﹣4）2＝（t ﹣4）2，

44、 解得?t＝1.5； 故點(diǎn)?Q?的坐標(biāo)為（0，2）或（0，4+ ）或（0，4﹣ ）或（0，1.5）． 3．如圖?1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線?y＝ x+12?與雙曲線?y＝﹣ 交于?A、B?兩點(diǎn)（點(diǎn)?A 在點(diǎn)?B?左邊），過?A、O?兩點(diǎn)作直線，與雙曲線的另一交點(diǎn)為?D，過?B?作直線?AO?的平 行線交雙曲線于點(diǎn)?C． （1）則點(diǎn)?A?坐標(biāo)為 （﹣6，4） ，點(diǎn)?B?坐標(biāo)為 （﹣3，8） ，并求直線?BC?的解析 式； （2）如圖?2，點(diǎn)?P?在?y?軸負(fù)半軸上，連接?PB，交直線?AO?于點(diǎn)?E，

45、連接?CE、PA，且? PAB＝ ?BCE，將線段?PO?在?y?軸上移動，得到線段?P′O′（如圖?3），請求出|P′B ﹣O′D|的最大值； （3）如圖?4，點(diǎn)?M?在?x?軸上，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)?N，使以點(diǎn)?C、D、M、N?為頂點(diǎn) 第29頁（共49頁） 的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的?N?點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

46、 【解答】解：（1）聯(lián)立方程組 ， 解得， ， ∴A（﹣6，4），B（﹣3，8）， 設(shè)直線?OA?的解析式為?y＝kx（k≠0），則?4＝﹣6k， 解得，k＝﹣ ， 第30頁（共49頁） ∴直線?OA?的解析式為：y＝ x， ∵BC∥OA， ∴設(shè)直線?BC?的解析式為?y＝ x+b，則?8＝﹣ +b， 解得?b＝6， ∴直線?BC?的解析式為?y＝ x+6， 故答案為：（﹣6，4），（﹣3，8）．

47、 （2）∵A、D?關(guān)于原點(diǎn)對稱，A（﹣6，4）， ∴D（6，﹣4）， 設(shè)?P（0，a）， ∴ ， ∵?BCE＝S△BCA＝ [28﹣（﹣2）]?|（﹣3）﹣（﹣6）|＝45， ∴?PAB＝24＝9﹣ a， ∴a＝﹣4， ∴P（0，﹣4）， 將?B?向上平移?4?個(gè)單位，得到?B1（﹣3，12）， 設(shè)?B1，B2?關(guān)于?Y?軸對稱，則?B2（3，12）， 連接?DB2?并延長交?y?軸于?O′， ∴|P′B﹣O′D|的最大值＝DB2＝

48、＝ 第31頁（共49頁） ． （3）聯(lián)立方程組 ， 解得， ， ∴C（12，﹣2）， 若?CD?為對角線，則?M（8，0），N（10，﹣6）． 若?CD?為邊，且?CD＝MD，則?M（6+2 ，0），N（12+2??，2）或?M（6﹣2??，0）．N （12﹣2 ，2） 若?CD?為邊，且?CD＝MC，則?M（6，0），N（0，﹣2）． 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)?N?的坐標(biāo)為（10，﹣6）或（12+2 或（0，﹣2）．

49、  ，2）或（12﹣2??，2） 4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形?ABCD?的頂點(diǎn)?A、B?在函數(shù)?y＝?（x＞0）的圖象上， 頂點(diǎn)?C、D?在函數(shù)?y＝ （x＞0）的圖象上，其中?0＜m＜n，對角線?BD∥y?軸，且?BD⊥ 第32頁（共49頁） AC?于點(diǎn)?P．已知點(diǎn)?B?的橫坐標(biāo)為?4． （1）當(dāng)?m＝4，n＝20?時(shí)， ①點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為 （4，1） ，點(diǎn)?

50、D?的坐標(biāo)為 （4，5） ，BD?的長為 5 ． ②若點(diǎn)?P?的縱坐標(biāo)為?2，求四邊形?ABCD?的面積． ③若點(diǎn)?P?是?BD?的中點(diǎn)，請說明四邊形?ABCD?是菱形． （2）當(dāng)四邊形?ABCD?為正方形時(shí)，直接寫出?m、n?之間的數(shù)量關(guān)系． 【解答】解：（1）①當(dāng)?x＝4?時(shí)，y＝ ＝1， ∴點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為（4，1）； 當(dāng)?y＝2?時(shí)，2＝ ，解得：x＝2， ∴點(diǎn)?A?的坐標(biāo)為（2，2）； 當(dāng)?n＝20

51、?時(shí)，y＝ ，當(dāng)?x＝4?時(shí)，y＝5，故點(diǎn)?D（4，5）， BD＝5﹣1＝4， 故答案為（4，1）；（4，5）；4； ②∵BD∥y?軸，BD⊥AC，點(diǎn)?P?的縱坐標(biāo)為?2， 第33頁（共49頁） ∴A（2，2），C（10，2）． ∴AC＝8， ∴四邊形?ABCD?的面積＝ AC×BD＝ ×8×4＝16； ③四邊形?ABCD?為菱形，理由如下： 由①得：點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)?D?的坐標(biāo)為（4，5）， ∵點(diǎn)?P?為線段?BD?的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)?P?的坐標(biāo)

52、為（4，3）． 當(dāng)?y＝3?時(shí)，3＝ ，解得：x＝ ， ∴點(diǎn)?A?的坐標(biāo)為（ ，3）； 當(dāng)?y＝3?時(shí)，3＝ ，解得：x＝ ， ∴點(diǎn)?C?的坐標(biāo)為（ ，3）． ∴PA＝4﹣ ＝ ，PC＝ ﹣4＝ ， ∴PA＝PC． ∵PB＝PD， ∴四邊形?ABCD?為平行四邊形． 又∵BD⊥AC， ∴四邊形?ABCD?為菱形； （2）四邊形?ABCD?能成為正方形． 第34頁（共49頁） 當(dāng)四邊形?ABCD?為正方形時(shí)，設(shè)?PA

53、＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0）． 當(dāng)?x＝4?時(shí)，y＝ ＝ ， ∴點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為（4， ）， ∴點(diǎn)?A?的坐標(biāo)為（4﹣t， +t）． ∵點(diǎn)?A?在反比例函數(shù)?y＝ 的圖象上， ∴（4﹣t）（ +t）＝m，化簡得：t＝4﹣ ， ∴點(diǎn)?D?的縱坐標(biāo)為 +2t＝ +2（4﹣ ）＝8﹣ ， ∴點(diǎn)?D?的坐標(biāo)為（4，8﹣ ）， ∴4×（8﹣ ）＝n，整理，得：m+n＝32． 即四邊形?ABCD?能成為正方形，此時(shí)?m+n＝32． 5．已知：如圖，正比例函數(shù)?y1

54、＝kx（k＞0）的圖象與反比例函數(shù)?y2＝ 的圖象相交于點(diǎn)?A 和點(diǎn)?C，設(shè)點(diǎn)?C?的坐標(biāo)為（2，n）． （1）求?k?與?n?的值； （2）點(diǎn)?B?是?x?軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)?AB、BC，作點(diǎn)?A?關(guān)于直線?BC?的對稱點(diǎn)?Q，在點(diǎn) B?的移動過程中，是否存在點(diǎn)B，使得四邊形?ABQC?為菱形？若存在，求出點(diǎn)?B?的坐標(biāo)； 若不存在請說明理由． 第35頁（共49頁）

55、 【解答】解：（1）把點(diǎn)?C?的坐標(biāo)（2，n）代入?y2＝ ， 解得：n＝3， ∴點(diǎn)?C?的坐標(biāo)為（2，3）， 把點(diǎn)?C（2，3）代入?y1＝kx?得：3＝2k， 解得：k＝ ； （2）存在，理由： ①?如圖?1，當(dāng)點(diǎn)?B?在?x?軸的正半軸且?AB＝AC?時(shí)，四邊形?ABQC?為菱形． 第36頁（共49頁） ∵點(diǎn)?A?與點(diǎn)?Q?關(guān)于直線?BC?對稱， ∴AC＝QC，A

56、B＝QB， ∴AC＝QC＝AB＝QB． ∴四邊形?ABQC?為菱形． 由（1）中點(diǎn)?C?的坐標(biāo)（2，3）， 可求得：OC＝ ， ∵點(diǎn)?A?與點(diǎn)?C?關(guān)于原點(diǎn)對稱， ∴點(diǎn)?A?的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）， ∴OA＝OC＝ ∴AC＝AB＝2 ，AC＝2 ． ， 過點(diǎn)?A?作?AH⊥x?軸于點(diǎn)?H，則?AH＝3． 在?Rt△AHB?中，由勾股定理得：BH＝ ＝ ， 又∵OH＝2， ∴OB＝BH﹣OH＝ ∴點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為（

57、﹣2， ﹣2，0）； ②?如圖?2，當(dāng)點(diǎn)?B?在?x?軸的負(fù)半軸且?AB＝AC?時(shí)，四邊形?ABQC?為菱形． 過點(diǎn)?A?作?AT⊥x?軸于點(diǎn)?T， 第37頁（共49頁） 同理可求得：BT＝ ＝ ， 又∵OT＝2， ∴OB＝BT+OT＝ ∴點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為（﹣ +2， ﹣2，0）， 綜上，當(dāng)點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為（

58、 ﹣2，0）或（﹣???﹣2，0）時(shí)，四邊形?ABQC?為菱形． 五．等腰三角形 1．如圖，一次函數(shù)?y＝﹣x+1?的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于?A，B?兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象 交于點(diǎn)?C（﹣2，m）． （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）若點(diǎn)?P?在?y?軸正半軸上，且與點(diǎn)?B，C?構(gòu)成以?BC?為腰的等腰三角形，請直接寫出 所有符合條件的?P?點(diǎn)坐標(biāo)． 第38頁（共49頁） 【解答】解：（1）∵點(diǎn)?C（﹣2，m）在一次函數(shù)?y

59、＝﹣x+1?的圖象上， 把?C?點(diǎn)坐標(biāo)代入?y＝﹣x+1，得?m＝﹣（﹣2）+1＝3， ∴點(diǎn)?C?的坐標(biāo)是（﹣2，3）， 設(shè)反比例函數(shù)的解析式為 ， 把點(diǎn)?C?的坐標(biāo)（﹣2，3）代入 得， ， 解得?k＝﹣6， ∴反比例函數(shù)的解析式為 ； （2）在直線?y＝﹣x+1?中，令?x＝0，則?y＝1， ∴B（0，1）， 由（1）知，C（﹣2，3）， ∴BC＝ ＝2 ， 當(dāng)?BC＝BP?時(shí)，BP＝2 ， ∴OP＝

60、2 ∴P（0，2 +1， +1）， 當(dāng)?BC＝PC?時(shí)，點(diǎn)?C?在?BP?的垂直平分線， ∴P（0，5）， 即滿足條件的點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（0，5）或（0， ）． 2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)?A（2，m）在正比例函數(shù)?y＝ x（x＞0）的圖象上，反 第39頁（共49頁） 比例函數(shù)?y＝?（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)?A，點(diǎn)?P?是?x?軸正半軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)?P?作?x?軸的 垂線，與正比例函數(shù)?y＝ x（x＞0）的圖象交于點(diǎn)?C，點(diǎn)?B?是線段?CP?與反比例函數(shù)的

61、交點(diǎn)，連接?AP、AB． （1）求該反比例函數(shù)的表達(dá)式； （2）觀察圖象，請直接寫出當(dāng)?x＞0?時(shí)， x≤ 的解集； （3）若??ABP＝1，求?B?點(diǎn)坐標(biāo)； （4）點(diǎn)?Q?是?A?點(diǎn)右側(cè)雙曲線上一動點(diǎn)，是否存在△APQ?為以?P?為直角頂點(diǎn)的等腰直角 三角形？若存在，求出點(diǎn)?Q?坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【解答】解：（1）當(dāng)?x＝2?時(shí)，y＝ x＝3，故點(diǎn)?A（2，3）， 將點(diǎn)?A?的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：3＝ ，

62、解得?k＝6， 故反比例函數(shù)表達(dá)式為?y＝ ； （2）觀察圖象，請直接寫出當(dāng)?x＞0?時(shí)， x≤ 的解集為?0＜x≤2； 第40頁（共49頁） （3）設(shè)點(diǎn)?B（m， ）， 則??ABP＝ ×BP×（xB﹣xA）＝ × ×|（m﹣2）|＝1， 解得?m＝3?或?1.5， 故點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為（3，2）或（1.5，4）； （4）存在，理由： 設(shè)點(diǎn)?Q?的坐標(biāo)為（t， ），點(diǎn)?P（n，0），

63、 ∵△APQ?為以?P?為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，故?AP＝QP，∠APQ＝90°， 過點(diǎn)?A、Q?分別作?x?軸的垂線，垂足分別為?M、N， ∵∠APM+∠QPN＝90°，∠QPN+∠PQN＝90°， ∴∠APM＝∠PQN， ∵∠AMP＝∠PNQ＝90°，AP＝QP， ∵△AMP≌△PNQ（AAS）， ∴AM＝PN，PM＝QN，即?n﹣2＝ 且?t﹣n＝3， 第41頁（共49頁） 解得?t＝6，

64、 故點(diǎn)?Q（6，1）． 3．已知一次函數(shù)?y＝kx+b?與反比例函數(shù)?y＝ 的圖象交于?A（﹣3，2）、B（1，n）兩點(diǎn) （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式； （） AOB?的面積為 8 ； （3）直接寫出不等式?kx+b＞ 的解集 0＜x＜1?或?x＜﹣3 ； （4）點(diǎn)?P?在?x?的負(fù)半軸上，當(dāng)△PAO?為等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)?P?的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)?y＝ 經(jīng)過點(diǎn)?A（﹣3，2），

65、 ∴m＝﹣6， ∵點(diǎn)?B（1，n）在反比例函數(shù)圖象上， ∴n＝﹣6． ∴B（1，﹣6）， 把?A，B?的坐標(biāo)代入?y＝kx+b，則 ，解得 ， ∴一次函數(shù)的解析式為?y＝﹣2x﹣4，反比例函數(shù)的解析式為?y＝﹣ ； 第42頁（共49頁） （2）如圖設(shè)直線?AB?交?y?軸于?C，則?C（0，﹣4）， ∴?AOB＝?OCA+S△OCB＝ ×4×3+ ×4×1＝8， 故答案為?8； （3）觀察函數(shù)圖象知，kx+b＞ 的解集為?0

66、＜x＜1?或?x＜﹣3， 故答案為?0＜x＜1?或?x＜﹣3； （4）由題意?OA＝ ＝ ， 當(dāng)?AO＝AP?時(shí)，可得?P1（﹣6，0）， 當(dāng)?OA＝OP?時(shí)，可得?P2（﹣ ，0），P4（ ，0）（舍去）， 當(dāng)?PA＝PO?時(shí)，過點(diǎn)?A?作?AJ⊥x?軸于?J．設(shè)?OP3＝P3A＝x， 在?Rt△AJP3?中，則有?x2＝22+（3﹣x）2， 解得?x＝ ， 第43頁（共49頁） ∴P3（﹣ ，0）， 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為（﹣ ，0）或（﹣ ，0）或（﹣6，0）． 六．其他 1．定義：如圖?1，點(diǎn)?P?為∠AOB?平分線上一點(diǎn)，∠MPN?的兩邊分別與射線?OA，OB?交于?M， N?兩點(diǎn)，若∠MPN?繞點(diǎn)?P?旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足?OM?ON＝OP2，則稱∠MPN?是∠AOB?