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1、7.3.1 線性變換的矩陣,設V是數域F上一個n維向量空間，令是V的一個線性變換，取定V的一個基 令,,7.3 線性變換和矩陣,設,n階矩陣A 叫做線性變換關于基 的矩陣. 簡稱的矩陣.,,(1),上面的表達式常常寫出更方便的形式:,例題,7.3.2 坐標變換,設V是數域F上一個n 維向量空間, 是它的一個基, 關于這個基的坐標是 而()的坐標是 問: 和 之間有什么關系?,,設,因為是線性變換，所以,（2）,將（1）代入（2）得,最后，等式表明， 的坐標所組成的列是,綜合上面所述, 我們得到坐標變換公式：
2、,定理7.3.1 令V是數域F上一個n 維向量空間，是V的一個線性變換，而關于V的一個基 的矩陣是,如果V中向量關于這個基的坐標是 ，而()的坐標是 ，,那么,,例1 在空間 內取從原點引出的兩個彼此正交的單位向量 作為 的基.令是將 的每一向量旋轉角的一個旋轉. 是 的一個線性變換.我們有,所以關于基 的矩陣是,設 ，它關于基 的坐標是 ,而 的坐標是 .那么,7.3.3 矩陣唯一確定線性變換,引理7.3.1 設V是數域F上一個n 維向量空間， 是V的一個基，那么對于V 中任意n個向量 ，恰有
3、V 的一個線性變換，使得:,,我們證明，是V的一個線性變換. 設,那么,于是,設 那么,,,這就證明了是V的一個線性變換. 線性變換顯然滿足定理所要求的條件：,,如果是V的一個線性變換，且,,那么對于任意,從而 ,,定理7.3.2 設V 是數域 F 上一個n 維向量空間， 是V 的一個基，對于V 的每一個線性變換，令關于基 的矩陣A與它對應，這樣就得到V 的全體線性變換所成的集合 L(V)到F上全體n 階矩陣所成的集合 的一個雙射，并且如果 ,而 ， 則 (3) (4),證 設線性變換關于基 的矩陣是A.那么 是 的一個映射.,是F
4、上任意一個n階矩陣. 令,由引理7.3.2，存在唯一的 使,反過來，設,顯然關于基 的矩陣就是A. 這就證明了如上建立的映射是 的雙射.,設 我們有,由于是線性變換, 所以,因此,所以關于基 的矩陣就是AB. （4）式成立，至于（3）式成立，是顯然的.,推論7.3.1 設數域F上n 維向量空間V 的一個線性變換關于V 的一個取定的基的矩陣是A，那么可逆必要且只要A可逆，并且 關于這個基的矩陣就是 .,證 設可逆. 令 關于所取定的基的矩陣是B. 由（4），,然而單位變換關于任意基的矩陣都是單位矩陣 I .,所以AB = I . 同
5、理 BA = I . 所以,我們需要對上面的定理7.3.1和定理7.3.2的深刻意義加以說明:,1. 取定n 維向量空間V的一個基之后, 在映射: 之下, (作為向量空間),研究一個抽象的線性變換, 就可以轉化為研究一個具體的矩陣. 也就是說, 線性變換就是矩陣.以后,可以通過矩陣來研究線性變換,也可以通過線性變換來研究矩陣.,2. 我們知道, 數域F上一個n 維向量空間V 同構于 , V上的線性變換,轉化為 上一個具體的變換:,也就是說, 線性變換都具有上述形式.,7.3.4 線性變換在不同基下的矩陣相似矩陣,定義：設 A，B 是數域 F 上兩個 n 階矩
6、陣. 如果存在F上一個 n 階可逆矩陣 T 使等式成立，那么就說B與A相似，記作： .,n階矩陣的相似關系具有下列性質：,1. 自反性：每一個n階矩陣A都與它自己相似，因為,2. 對稱性：如果 ，那么 ；因為由,事實上，由 得,設線性變換關于基 的矩陣是 A , 關于基 的矩陣是 B , 由基 到基 的過渡矩陣T, 即:,,7.3 線性變換和矩陣,7.3.1 線性變換的矩陣 一、內容分布 7.3.2 坐標變換 7.3.3 矩陣唯一確定線性變換 7.3.4 線性變換在不同基下的矩陣相似矩陣 二、教學目的: 1熟練地求出線性變換關于給定基的矩陣，以及給定n 階矩陣和基，求出關于這個基矩陣為的線性變換 2由向量關于給定基的坐標，求出()關于這個基的坐標 3已知線性變換關于某個基的矩陣，熟練地求出關于另一個基的矩陣。 三、重點難點: 線性變換和矩陣之間的相互轉換, 坐標變換, 相似矩陣。,
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