（浙江專(zhuān)用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 7.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件.ppt

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1、7.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和,,第七章數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類(lèi) 深度剖析,課時(shí)作業(yè),1,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),PART ONE,,知識(shí)梳理,1.等差數(shù)列的定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列 ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ，通常用字母 表示. 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是 .,ZHISHISHULI,,,,公差,從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),d,ana1(n1)d,3.等差中項(xiàng) 由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等

2、差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a與b的 . 4.等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：anam (n，mN*). (2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則 .,(nm)d,akalaman,等差中項(xiàng),(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為 . (4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列. (5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為 的等差數(shù)列. (6)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，構(gòu)成等差數(shù)列.,2d,md,5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，

3、其前n項(xiàng)和Sn 或Sn . 6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系,數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A，B為常數(shù)). 7.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值 在等差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最 值.,大,小,【概念方法微思考】,提示充要條件.,2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù)嗎？,提示不一定.當(dāng)公差d0時(shí)，Snna1，不是關(guān)于n的二次函數(shù).,3.如何推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？,提示利用倒序相加法.,,題組一思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.() (2

4、)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的.() (3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).() (4)已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an32n，則它的公差為2.() (5)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*，都有2an1anan2.() (6)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是anpnq(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列an一定是等差數(shù)列.(),,,,,,基礎(chǔ)自測(cè),JICHUZICE,,,,1,2,3,4,5,6,,,題組二教材改編 2.P46A組T2設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a62且S530，則S8等于 A.31 B.32 C.33 D.34,,,1,2,3,4,5,6,3.P3

5、9T5在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a7450，則a2a8_____.,180,,1,2,3,4,5,6,解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3a4a5a6a75a5450， a590， a2a82a5180.,題組三易錯(cuò)自糾,,1,2,3,4,5,6,,,1,2,3,4,5,6,5.若等差數(shù)列an滿足a7a8a90，a7a10<0，則當(dāng)n___時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大.,8,解析因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，且a7a8a93a80，所以a80. 又a7a10a8a9<0，所以a9<0. 故當(dāng)n8時(shí)，其前n項(xiàng)和最大.,解析設(shè)物體經(jīng)過(guò)t秒降落到地面.物體在降落過(guò)程中，每一秒降落的距離構(gòu)成首項(xiàng)為4.90，公差

6、為9.80的等差數(shù)列.,6.一物體從1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么經(jīng)過(guò)____秒落到地面.,,1,2,3,4,5,6,20,即4.90t21 960，解得t20.,2,題型分類(lèi)深度剖析,PART TWO,,題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算,1.(2018全國(guó))記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3S3S2S4，a12，則a5等于 A.12 B.10 C.10 D.12,,自主演練,,解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，,將a12代入上式，解得d3， 故a5a1(51)d24(3)10.故選B.,2.(2018湖州德清縣、長(zhǎng)興縣

7、、安吉縣期中)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)的和為Sn，若a44，a2a810，則d___，an___.,解析由題意得a2a82a510，所以a55， 則等差數(shù)列an的公差da5a4541，ana4(n4)dn.,1 n,(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè). (2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.,,題型二等差數(shù)列的判定與證明,例1在數(shù)列an中，a12，an是1與anan1的等差中項(xiàng).,,師生共研,解an是1與anan1的等差中項(xiàng)，,等差數(shù)列的四個(gè)判定方法 (1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)

8、n都有an1an等于同一個(gè)常數(shù). (2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an1anan2. (3)通項(xiàng)公式法：得出anpnq后，再根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列.,跟蹤訓(xùn)練1(2018溫州市高考適應(yīng)性測(cè)試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)積為T(mén)n，且Tn1an.,,題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,命題點(diǎn)1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì) 例2已知an為等差數(shù)列，a2a818，則an的前9項(xiàng)和S9等于 A.9 B.17 C.72 D.81,,多維探究,,解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，a1a9a2a818，,命題點(diǎn)2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 例3(1)

9、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S57，S1021，則S15等于 A.35 B.42 C.49 D.63,,解析在等差數(shù)列an中，S5，S10S5，S15S10成等差數(shù)列， 即7,14，S1521成等差數(shù)列， 所以7(S1521)214， 解得S1542.,,等差數(shù)列的性質(zhì) (1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq. (2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則 S2nn(a1a2n)n(anan1)； S2n1(2n1)an.,跟蹤訓(xùn)練2(1)已知等差數(shù)列an，a22，a3a5a715，則數(shù)列an的公差d等于 A.0 B.1 C.1

10、D.2,,解析a3a5a7 3a515， a55，a5a233d， 可得d1，故選B.,(2)(2018金華模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S130，S14<0，則Sn取最大值時(shí)n的值為 A.6 B.7 C.8 D.13,,解析根據(jù)S130，S140，a1a14a7a80，a8<0， 所以Sn取最大值時(shí)n的值為7，故選B.,3,課時(shí)作業(yè),PART THREE,基礎(chǔ)保分練,1.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S23，S4S631，則S8S10等于 A.91 B.85 C.78 D.55,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4

11、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析方法一設(shè)an的公差為d，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以可設(shè)Snan2bn，則,2.(2018嘉興基礎(chǔ)測(cè)試)在等差數(shù)列an中，a13，a1a2a321，則a3a4a5等于 A.45 B.42 C.21 D.84,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a1a2a33a221，a27， 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d， 又a13，d4， a3a4a53a43a26d212445，故選A.

12、,3.(2018溫州市適應(yīng)性測(cè)試)已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，bn2an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和、前3n項(xiàng)和分別為A，B，C，則 A.ABC B.B2AC C.(AB)CB2 D.(BA)2A(CB),解析令ann，則bn2n，設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn， 令A(yù)S12， 則BS221226，CS321222314，可以排除選項(xiàng)A，B，C，故選D.,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.程大位算法統(tǒng)宗里有詩(shī)云“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏.次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言.務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳.”意為：996斤棉花，分別贈(zèng)

13、送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要等級(jí)分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個(gè)孩子分得斤數(shù)為 A.65 B.176 C.183 D.184,解析根據(jù)題意可得每個(gè)孩子所得棉花的斤數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列an，其中d17，n8，S8996.,,由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得a865(81)17184.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018浙江杭州二中期中)已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An 和Bn，且 ，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是 A.5 B.4 C.3 D.2,,,1,2,3,4

14、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)知，,6.在等差數(shù)列an中，若 0時(shí)，n的最小值為 A.14 B.15 C.16 D.17,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析數(shù)列an是等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和Sn有最小值， 公差d0，首項(xiàng)a1<0，an為遞增數(shù)列.,由等差數(shù)列的性質(zhì)知，2a8a1a150.,,7.(2018紹興教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè))已知數(shù)列an中，a33，an1an2，則a2a4___，an_______.,1,2

15、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6 2n3,解析因?yàn)閍n1an2，所以an為等差數(shù)列， 所以公差d2， 由a12d3得a11， 所以an1(n1)22n3，a2a42a36.,8.在等差數(shù)列an中，若a7 ，則sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13___.,解析根據(jù)題意可得a1a132a7， 2a12a134a72， 所以有sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13 sin 2a1sin(22a1)cos a1cos(a1)0.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,解析依

16、題意得a6S6S50，a7S7S60，則使an0的最大正整數(shù)n6，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2018浙江省部分重點(diǎn)中學(xué)調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S7 S5，則使an0的最大正整數(shù)n___，滿足SkSk1<0的正整數(shù)k____.,6 12,所以S12S13<0，即滿足SkSk1<0的正整數(shù)k12.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(n23n3)2,an(n23n3)2，n1時(shí)也成立. an(n23n3)2.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

17、10,11,12,13,14,15,16,(1)證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求an和Sn；,a4a2(a3a5)2a4， 因此有1a22，a23，2d4，d2，a15， 因此有an2n7，Snn26n.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,易知僅當(dāng)t1時(shí)，n為正整數(shù)，m為正整數(shù)，

18、 因此可得m2時(shí)成立.,技能提升練,,,,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(tan a8tan a7tan a7tan a6tan a2tan a1)7,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018寧波模擬)已知an，bn是公差分別為d1，d2的等差數(shù)列，且Ananbn，Bnanbn，若A11，A23，則An_____；若Bn為等差數(shù)列

19、，則d1d2___.,2n1,0,解析因?yàn)閍n，bn是公差分別為d1，d2的等差數(shù)列，所以An也為等差數(shù)列，所以An1(n1)22n1， Bna1(n1)d1b1(n1)d2 d1d2n2(a1d2b1d12d1d2)n(a1d1)(b1d2)， 因?yàn)锽n為等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征可知d1d20.,15.(2019紹興期中)已知數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d2的等差數(shù)列(其中d1，d2為整數(shù))，且對(duì)任意nN*，都有an

20、6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3 11,解析因?yàn)閍11，a22，所以a31d1，a42d2，a512d1， 對(duì)任意nN*，都有ana2，即1d12，解得d11；,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以d1d26，所以d26d1，,又d1，d2為整數(shù)，所以d13，所以d23. 所以a82(41)d223311.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以a13a2(2n1)an2n， 所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN*)，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,當(dāng)n1時(shí)，a12，符合上式，,所以b13b23n1bn3n， 所以b13b23n2bn13n3(n2，nN*)， 兩式相減得bn32n(n2，nN*). 當(dāng)n1時(shí)，b13，符合上式， 所以bn32n(nN*). 所以cn(2k)n2k1. 因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n都有SnS6，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,