第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

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1、 習(xí)題精解 3-1 某剛體繞定軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)剛體上距轉(zhuǎn)軸為r處的任意質(zhì)元的法向加速度為和切線加速度來(lái)正確的是（） A. ，大小均隨時(shí)間變化 B. ，大小均保持不變 C. 的大小變化，的大小保持不變 D. 大小保持不變，的大小變化 解 剛體繞定軸做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)?，而為恒量，所以，故?？梢?jiàn)：的大小變化，的大小保持恒定，本題答案為C. 3-2 一飛輪以的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，現(xiàn)施加一恒定的制動(dòng)力矩，使飛輪在2s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則該恒定制動(dòng)力矩的大小為_(kāi)________. 解 飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為所以該恒定制動(dòng)

2、力矩大小為。 3-3 一飛輪半徑，以轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，受制動(dòng)均勻減速，經(jīng)后靜止，試求：（1）角速度和從制動(dòng)開(kāi)始到靜止這段時(shí)間飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)；（2）制動(dòng)開(kāi)始后時(shí)飛輪的角速度；（3）在時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。 解 （1）角加速度 從制動(dòng)開(kāi)始到靜止這段時(shí)間飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù) （2）制動(dòng)開(kāi)始后時(shí)飛輪的角速度 （3）在是飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度分別為 3-4 有A、B兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量也相同的細(xì)圓環(huán)，其中A環(huán)的質(zhì)量分布均勻，而B(niǎo)環(huán)的質(zhì)量分布不均勻。若兩環(huán)對(duì)過(guò)環(huán)心且與環(huán)面垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和，則有（） A. B. C. D.無(wú)法確

3、定和的相對(duì)大小。 解 因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量,對(duì)于細(xì)圓環(huán)而言，各質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為圓環(huán)的半徑，即，所以。故A,B兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量也相同的細(xì)圓環(huán)，不論其質(zhì)量在圓環(huán)上如何分布，兩環(huán)對(duì)過(guò)環(huán)心且與環(huán)面垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，本題答案為C。 3-5 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于______、________和____________等3各因素。_ 解 干體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于：剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量的分布和轉(zhuǎn)軸的位置3個(gè)元素。 3-6 如圖3.4所示，細(xì)棒的長(zhǎng)為。設(shè)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上離中心距離為d的一點(diǎn)并與棒垂直，求棒對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。試說(shuō)明這一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與棒對(duì)過(guò)棒中心并與此軸平行的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系（此為平行軸定理）。

4、解 如圖3.4所示，以過(guò)點(diǎn)垂直于棒的直線為軸，沿棒長(zhǎng)方向?yàn)檩S，原點(diǎn)在 處，在棒上取一原長(zhǎng)度元，則 所以與之間的關(guān)系為 3-7 一輕繩在具有水平轉(zhuǎn)軸的定滑輪上，繩下掛一物體，物體的質(zhì)量為m，此時(shí)滑輪的角加速度為，若將物體取下，而用大小等于，方向向下的拉繩子，則滑輪的角加速度將（ ） A.變大 B.不變 C.變小 D.無(wú)法確定 解 設(shè)滑輪的半徑為,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，如圖3.5所示。使用大小等于，方向向下的力拉繩子時(shí)，如圖3.5（a）,滑

5、輪產(chǎn)生的角加速度為。 繩下段掛一質(zhì)量為m的物體時(shí)，如圖3.5（b），若設(shè)繩子此時(shí)的拉力為T(mén)，則 對(duì)物體有： 對(duì)滑輪有： 此時(shí)滑輪產(chǎn)生的角加速度為 比較可知，用大小等于，方向向下的拉力拉繩子時(shí)，滑輪產(chǎn)生的角加速度變大，本題答案為A. 3-8 力矩、功和能量的單位量綱相同，它們的物理意義有什么不同？ 解 雖然力矩、功和能量的單位量綱相同，同為,但物理量的量綱相同，并不意味著這些物理量的物理意義相同，力矩為矢量，而功和能量均為標(biāo)量。力矩通過(guò)做功的過(guò)程使物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，以改變物體所具有的能量。 3-9

6、如圖3.6所示，兩物體的質(zhì)量分別為和，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為r。若與桌面的摩擦系數(shù)為，設(shè)繩子與滑動(dòng)間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，試求系統(tǒng)的加速度a的大小及繩子中張力和的大小。 解 分析受力如圖3.6所示。和可視為質(zhì)點(diǎn)，設(shè)其加速度分別為和，則由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得 滑輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 由于繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以 聯(lián)立以上4個(gè)方程可得，系統(tǒng)的加速度的大小及繩子中張力和的大小分別為 3-10 如圖3.7所示。兩個(gè)半徑不同的同軸滑輪

7、固定在一起，兩滑輪的半徑分別為和，兩個(gè)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和，繩子的兩端分別懸掛著兩個(gè)質(zhì)量分別為和的物體，設(shè)滑輪與軸之間的摩擦力忽略不計(jì)，滑輪與繩子之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，繩子的質(zhì)量也忽略不計(jì)，且繩子不可伸長(zhǎng)。試求兩物體的加速度的大小和繩子中張力的大小。 解 分析受力如圖3.7所示。和可視為質(zhì)點(diǎn)，設(shè)其受繩子的拉力分別為和，加速度分別為和，則由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得 滑輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則有轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 由于繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以 聯(lián)立以上5個(gè)方程可得，兩物體的

8、加速度和繩子中的張力分別為 3-11 如圖3.8所示，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿，可繞通過(guò)其一端O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的另一端與質(zhì)量為m的小球固連在一起，當(dāng)該系統(tǒng)從水平位置有靜止轉(zhuǎn)動(dòng)角時(shí)，系統(tǒng)的角速度_________、動(dòng)能__________,此過(guò)程中力矩所做的功__________. 解 在任意位置時(shí)，受力分析如圖3.8所示。系統(tǒng)所受的合外力矩為 則在此過(guò)程中合外力矩所做的功為 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 于是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理可寫(xiě)為

9、 所以系統(tǒng)的角速度為，系統(tǒng)的動(dòng)能為 3-12 一個(gè)張開(kāi)雙臂手握啞鈴坐在轉(zhuǎn)椅上，讓轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，若此后無(wú)外力矩作用，則當(dāng)此人收回雙臂時(shí)，人和轉(zhuǎn)椅這一系統(tǒng)的（ ）。 A.轉(zhuǎn)速加大，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能不變 B.角動(dòng)量加大 C.轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能變化不清楚 D.角動(dòng)量保持不變 解 因?yàn)橄到y(tǒng)無(wú)外力矩的作用，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，及，當(dāng)人收回雙臂時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減少，即，所以，故轉(zhuǎn)速增大。 又因?yàn)?，所以。因此轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能都增大，求角動(dòng)量守恒。所以本題的正確答案為

10、D 3-13 如圖3.9所示。有一半徑為R，質(zhì)量為M的勻質(zhì)盤(pán)水平放置，可繞通過(guò)盤(pán)心的豎直軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤(pán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)圓盤(pán)以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，有一質(zhì)量為的橡皮泥（可視為質(zhì)點(diǎn)）豎直落在圓盤(pán)上，并粘在距轉(zhuǎn)軸處，如圖所示。那么橡皮泥和盤(pán)共同角速度________. 解 對(duì)于圓盤(pán)和橡皮泥組成的系統(tǒng)而言，所受的合外力矩為零，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，于是有 因?yàn)閳A盤(pán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 所以橡皮泥和盤(pán)的共同角速度為 3-14 如圖3.10所示。以質(zhì)量為的小球由一繩子系著，

11、以角速度在無(wú)摩擦的水平面上，繞圓心O作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。若在通過(guò)圓心O的繩子端作用一豎直向下的拉力，小球則作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。試求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所做的功。 解 （1）在拉力拉小球的過(guò)程中，由于拉力通過(guò)了軸心，因此小球在水平面上轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中不受外力矩的作用，故其角動(dòng)量守恒。于是有 即 小球新的角速度。 （2）隨著小球轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的增加，其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也在增加，這正是拉力做功的結(jié)果。于是有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理得拉力所做的功為 3-15 如圖3.11所示。A與B兩個(gè)

12、飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使之連接，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，開(kāi)始時(shí)B輪靜止，A輪以的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后時(shí)A與B連接，因而B(niǎo)輪得到加速度而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于為止。求：（1）B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）在嚙合過(guò)程中損失的機(jī)械能。 解 （1）兩飛輪在軸方向嚙和時(shí)，軸向受的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，所以兩飛輪構(gòu)成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。于是有 所以B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 （2）有兩飛輪在嚙和前后轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化可得嚙和過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能為 3-16 質(zhì)量為，長(zhǎng)為的均勻細(xì)棒，可繞垂直與棒的一端的水平軸無(wú)摩擦的

13、轉(zhuǎn)動(dòng)。若將此棒放在水平位置，然后任其開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：（1）開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；（2）落到豎直位置時(shí)的動(dòng)能；（3）落至豎直位置時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量。 解 根據(jù)題意作圖3.12. （1）開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)是角加速度為 （2）在下落過(guò)程中，系統(tǒng)（棒和地球）受的重力為保守力，軸的支持力始終不做功，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以落到豎直位置時(shí)的動(dòng)能為 （3）因?yàn)?，所以落至豎直位置時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角速度為，故落至豎直位置是對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 3-17 如圖3.13所示。一均勻細(xì)棒長(zhǎng)為，質(zhì)量為m，可繞通過(guò)端點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)。棒在水平位置

14、時(shí)釋放，當(dāng)它落到豎直位置時(shí)與放在地面上一靜止的物體碰撞。該物體與地面之間的摩擦系數(shù)為，其質(zhì)量也為m，物體滑行s距離后停止。求碰撞后桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。 解 根據(jù)題意可知此題包含3個(gè)物理過(guò)程。 第一過(guò)程為均勻細(xì)棒的下落過(guò)程。在此過(guò)程中，以棒和地球構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，棒受的重力為保守力，軸對(duì)棒的支持力始終不做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則 第二過(guò)程為均勻細(xì)棒與物體的碰撞過(guò)程。在此過(guò)程中，以棒和物體構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，物體所受的摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩與碰撞的沖力矩相比較可忽略，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，則

15、 其中為碰撞后瞬時(shí)棒的角速度，為碰撞后瞬時(shí)物體與棒分離時(shí)物體的速率。 第三過(guò)程為分離以后的過(guò)程。對(duì)于棒而言，棒以角速度繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)；對(duì)于物體而言，物體在水平面內(nèi)僅受摩擦力的作用，由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定律得 聯(lián)立以上3個(gè)方程可得碰撞后桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為 3-18 如圖3.14所示，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧與一輕柔繩相連，該跨過(guò)一半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的定滑輪，繩的另一端懸掛一質(zhì)量為m的物體，開(kāi)始時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，物體由靜止釋放。滑輪與軸之間的摩擦可以忽略不計(jì)，當(dāng)物體下落h時(shí)，試求物體的速度，（1）用

16、牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解；（2）用守恒定律求解。 解 （1）用牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解。 建立坐標(biāo)系及受力分析如圖3.14所示。則由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 對(duì)于物體有： 對(duì)于滑輪有： 對(duì)于彈簧有： 物體的加速度與滑輪邊緣的切向加速相同，即 聯(lián)立以上4個(gè)方程可得 因?yàn)? 所以有 整理并積分有 解之可得物體的速度為 （2） 用守恒定律求解 由于滑輪和軸之間的摩擦忽略不計(jì)，系統(tǒng)（彈簧、滑輪、物體和地球）僅受保守力（重力和彈力）的作用，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，若以物體的初始位置處為勢(shì)能零點(diǎn)，則 解之得物體的速度為 8