高中數(shù)學 第二章 推理與證明綜合檢測 新人教A版選修2-2

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第二章 推理與證明綜合檢測 時間120分鐘，滿分150分。 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．銳角三角形的面積等于底乘高的一半； 直角三角形的面積等于底乘高的一半； 鈍角三角形的面積等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面積都等于底乘高的一半． 以上推理運用的推理規(guī)則是(　　) A．三段論推理　　　　　 B．假言推理 C．關系推理 D．完全歸納推理 [答案]　D [解析]　所有三角形按角分，只有銳角三角形、Rt三角形和鈍角三角形三種情形，上述推理窮盡了所有的可能情形，故為完全歸納推理． 2．數(shù)列1,3,6,10,15，…的遞推公式可能是(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　記數(shù)列為{an}，由已知觀察規(guī)律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，可知當n≥2時，an比an－1多n，可得遞推關系(n≥2，n∈N*)． 3．有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”，結論顯然是錯誤的，因為(　　) A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．不是以上錯誤 [答案]　C [解析]　大小前提都正確，其推理形式錯誤．故應選C. 4．用數(shù)學歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)時，驗證n＝1，左邊應取的項是(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案]　D [解析]　當n＝1時，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故應選D. 5．在R上定義運算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1對任意實數(shù)x都成立，則(　　) A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．－＜a＜ D．－＜a＜ [答案]　C [解析]　類比題目所給運算的形式，得到不等式(x－a)?(x＋a)<1的簡化形式，再求其恒成立時a的取值范圍． (x－a)?(x＋a)<1?(x－a)(1－x－a)<1 即x2－x－a2＋a＋1>0 不等式恒成立的充要條件是 Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0 即4a2－4a－3<0 解得－>0，>>0， 所以＋>＋>0，所以a時，f(2k＋1)－f(2k)＝________. [答案]　＋＋…＋ [解析]　f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋ f(2k)＝1＋＋＋…＋ f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋. 15．觀察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝； ②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.兩式的結構特點可提出一個猜想的等式為________________． [答案]　sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝ [解析]　觀察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想： sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝. 可以證明此結論是正確的，證明如下： sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α) ＝＋＋[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋[cos(60°＋2α)－cos2α]＋sin(30°＋2α)－ ＝1＋[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋sin(30°＋2α)－ ＝－sin(30°＋2α)＋sin(30°＋2α)＝. 16．設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除數(shù)b≠0)，則稱P是一個數(shù)域．例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是數(shù)域．有下列命題： ①整數(shù)集是數(shù)域； ②若有理數(shù)集Q?M，則數(shù)集M必為數(shù)域； ③數(shù)域必為無限集； ④存在無窮多個數(shù)域． 其中正確命題的序號是________．(把你認為正確命題的序號都填上) [答案]?、邰? [解析]　考查閱讀理解、分析等學習能力． ①整數(shù)a＝2，b＝4，不是整數(shù)； ②如將有理數(shù)集Q，添上元素，得到數(shù)集M，則取a＝3，b＝，a＋b?M； ③由數(shù)域P的定義知，若a∈P，b∈P(P中至少含有兩個元素)，則有a＋b∈P，從而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有無窮多個元素，∴③對． ④設x是一個非完全平方正整數(shù)(x>1)，a，b∈Q，則由數(shù)域定義知，F(xiàn)＝{a＋b|a、b∈Q}必是數(shù)域，這樣的數(shù)域F有無窮多個． 三、解答題(本大題共6個小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1. 求證：a2＋b2＋c2≥. [證明]　由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. 三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2. 由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1， 即a2＋b2＋c2≥. 18．(本題滿分12分)證明下列等式，并從中歸納出一個一般性的結論． 2cos＝， 2cos＝， 2cos＝， …… [證明]　2cos＝2·＝ 2cos＝2＝2· ＝ 2cos＝2 ＝2＝ … 19．(本題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an·an－1＝2·an－1－1. (1)求a2、a3、a4； (2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列{an}的一個通項公式． [解析]　(1)由an·an－1＝2·an－1－1得 an＝2－， 代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得 a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝. (2)證明：由an·an－1＝2·an－1－1變形，得 (an－1)·(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)， 即－＝1， 所以{}是等差數(shù)列． 由＝，所以＝＋n－1， 變形得an－1＝， 所以an＝為數(shù)列{an}的一個通項公式． 20．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a>1)． (1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)； (2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負根． [解析]　(1)證法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設x10，且ax1>0， 又∵x1＋1>0，x2＋1>0， ∴f(x2)－f(x1)＝－ ＝ ＝>0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0， 故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 證法2：f′(x)＝axlna＋＝axlna＋ ∵a>1，∴l(xiāng)na>0，∴axlna＋>0， f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)解法1：設存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0 則ax0＝－，且00，ax0>0， ∴f(x0)>0. 綜上，x<0(x≠－1)時，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0無負根． 21．(本題滿分12分)我們知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，則△ABC是直角三角形．現(xiàn)在請你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，問△ABC為何種三角形？為什么？ [解析]　銳角三角形　∵cn＝an＋bn (n＞2)，∴c＞a, c＞b， 由c是△ABC的最大邊，所以要證△ABC是銳角三角形，只需證角C為銳角，即證cosC＞0. ∵cosC＝， ∴要證cosC＞0，只要證a2＋b2＞c2，① 注意到條件：an＋bn＝cn， 于是將①等價變形為：(a2＋b2)cn－2＞cn.② ∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2， 即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0， 從而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn ＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0， 這說明②式成立，從而①式也成立． 故cosC＞0，C是銳角，△ABC為銳角三角形． 22．(本題滿分14分)(2010·安徽理，20)設數(shù)列a1，a2，…an，…中的每一項都不為0. 證明{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N＋，都有＋＋…＋＝. [分析]　本題考查等差數(shù)列、數(shù)學歸納法與充要條件等有關知識，考查推理論證、運算求解能力． 解題思路是利用裂項求和法證必要性，再用數(shù)學歸納法或綜合法證明充分性． [證明]　先證必要性． 設數(shù)列{an}的公差為d.若d＝0，則所述等式顯然成立． 若d≠0，則 ＋＋…＋ ＝ ＝ ＝＝ ＝. 再證充分性． 證法1：(數(shù)學歸納法)設所述的等式對一切n∈N＋都成立．首先，在等式＋＝ 兩端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差數(shù)列，記公差為d，則a2＝a1＋d. 假設ak＝a1＋(k－1)d，當n＝k＋1時，觀察如下兩個等式 ＋＋…＋＝，① ＋＋…＋＋＝② 將①代入②，得 ＋＝， 在該式兩端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak. 將ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd. 由數(shù)學歸納法原理知，對一切n∈N，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差為d的等差數(shù)列． 證法2：(直接證法)依題意有 ＋＋…＋＝，① ＋＋…＋＋＝.② ②－①得 ＝－， 在上式兩端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③ 同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1(n≥2)④ ③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an) 即an＋2－an＋1＝an＋1－an， 由證法1知a3－a2＝a2－a1，故上式對任意n∈N*均成立．所以{an}是等差數(shù)列． - 11 -