高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修2能力強(qiáng)化提升：2-3-1 直線與平面垂直的判定

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一、選擇題 1．下列命題中，正確的有(　　) ①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直． ②過直線l外一點(diǎn)P，有且僅有一個(gè)平面與l垂直． ③如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面． ④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面． ⑤過點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi)． A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) [答案]　C [解析]?、冖邰堍菡_，①中當(dāng)這無數(shù)條直線都平行時(shí)，結(jié)論不成立． 2．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的： ①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊． 則能保證該直線與平面垂直(　　) A．①③ B．①② C．②④ D．①④ [答案]　A [解析]　三角形的兩邊，圓的兩條直徑一定是相交直線，而梯形的兩邊，正六邊形的兩條邊不一定相交，所以保證直線與平面垂直的是①③. 3．下面條件中，能判定直線l⊥α的是(　　) A．l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直 B．l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直 C．l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直 D．l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直 [答案]　D 4．在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個(gè)面中，與AA1垂直的面的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．6 [答案]　B [解析]　僅有平面AC和平面A1C1與直線AA1垂直． 5．直線a與平面α所成的角為50°，直線b∥a，則直線b與平面α所成的角等于(　　) A．40° B．50° C．90° D．150° [答案]　B [解析]　根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°. 6．已知m、n為兩條不同的直線，α、β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是(　　) A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β B．α∥β，m?α，n?β?m∥n C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．n∥m，n⊥α?m⊥α [答案]　D [解析]　B中，m，n可能異面，C中n可能在α內(nèi)，A中，m，n可能不相交． 7．(2012－2013·武安中學(xué)高二檢測(cè))如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　取B1D1中點(diǎn)O，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中， ∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1， 又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D， ∴∠C1BO為直線C1B與平面BB1D1D所成的角， 在Rt△BOC1中，C1O＝，BC1＝＝， ∴sin∠OBC1＝. 8．(09·四川文)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直線BC∥平面PAE D．直線PD與平面ABC所成的角為45° [答案]　D [解析]　設(shè)AB長(zhǎng)為1，由PA＝2AB得PA＝2， 又ABCDEF是正六邊形，所以AD長(zhǎng)也為2， 又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD， 所以△PAD為直角三角形． ∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°， ∴PD與平面ABC所成的角為45°，故選D. 二、填空題 9．空間四邊形ABCD的四條邊相等，則對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系為________． [答案]　垂直 [解析]　取AC中點(diǎn)E，連BE、DE. 由AB＝BC得AC⊥BE. 同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED. 因此，AC⊥BD. 10．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是________． [答案]　菱形 [解析]　由于PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以PA⊥BD. 又PC⊥BD，且PC?平面PAC，PA?平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC. 又AC?平面PAC，所以BD⊥AC. 又四邊形ABCD是平行四邊形，所以四邊形ABCD是菱形． 11．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，P為空間一點(diǎn)，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中點(diǎn)為M，則PM與平面ABC所成的角為________． [答案]　45° [解析]　由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC為PM與平面ABC所成的角． 又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴CM＝AB＝5. 又PC＝5，∴∠PMC＝45°. 12．如右圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是________． ①BD∥平面CB1D1； ②AC1⊥BD； ③AC1⊥平面CB1D1； ④異面直線AD與CB1所成的角為60°. [答案]?、? [解析]　由于BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，則BD∥平面CB1D1，所以①正確； 由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C， 所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD. 所以②正確； 可以證明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C， 所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正確； 由于AD∥BC，則∠BCB1＝45°是異面直線AD與CB1所成的角，所以④錯(cuò)誤． 三、解答題 13．如圖，從直線CD出發(fā)的兩個(gè)半平面α、β，EA⊥α于A，EB⊥β于B，求證：CD⊥AB. [證明]　∵EA⊥α，CD?α， ∴EA⊥CD，同理EB⊥CD， ∴CD⊥平面EAB， 又AB?平面EAB，∴CD⊥AB. 14．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直線PC與平面ABCD所成的角． [分析]　找到PC在平面ABCD上的射影AC，則∠PCA為直線PC與平面ABCD所成的角． [解析]　如圖，連接AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則AC是PC在平面ABCD上的射影， 所以∠PCA是PC與平面ABCD所成的角． 在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝＝＝5. 則∠PCA＝45°， 即直線PC與平面ABCD所成的角為45°. 15．如圖所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E.求證：AE⊥平面PBC. [分析]　只要證AE垂直于平面PBC內(nèi)兩相交直線即可，已知AE⊥PC，再證AE⊥BC，則可證AE垂直于平面PBC. [證明]　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC. 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. 又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE. 又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC. [點(diǎn)評(píng)]　利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟是：①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和已知直線垂直；②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線；③根據(jù)判定定理得出結(jié)論． 16．S為直角△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.D為斜邊AC的中點(diǎn)， (1)求證：SD⊥平面ABC； (2)若直角邊BA＝BC，求證：BD⊥平面SAC. [證明]　(1)D是Rt△ABC斜邊AC的中點(diǎn) ?SD⊥平面ABC. ?BD⊥平面SAC.