九年級(jí)數(shù)學(xué)同步培優(yōu)競(jìng)賽詳附答案 28第二十八講 避免漏解的奧秘

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1、明師講義： “會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”，這是許多同窗在解題時(shí)無法避免而又屢犯不止的錯(cuò)誤，提高解題周密性，避免漏解的奧秘在于：掌握分類討論法，學(xué)會(huì)分類討論． 分類討論就是按照一定的原則，把研究對(duì)象提成幾種部分或幾種狀況，然后逐個(gè)加以解決，最后予以總結(jié)作出結(jié)論的思想措施，其實(shí)質(zhì)是化整為零、各個(gè)擊破的轉(zhuǎn)化方略． 解題時(shí)何時(shí)需要進(jìn)行分類?一般來說，當(dāng)問題涉及的因素發(fā)生變化，問題成果也相應(yīng)發(fā)生變化，我們就需要對(duì)這一核心因素分類討論，如何進(jìn)行對(duì)的分類?分類的基本規(guī)定是不反復(fù)、不漏掉，每次分類必須保持同一的分類原則，多級(jí)討論，逐級(jí)進(jìn)行． 【例題求解】 【例1】 四條線段的長分別為9，5

2、，，1(其中為正實(shí)數(shù))，用它們拼成兩個(gè)直角三角形，且AB與CD是其中的兩條線段(如圖)，則可取值的個(gè)數(shù)為 ． ( “信利杯”競(jìng)賽題) 注：初中數(shù)學(xué)常用的分類措施有： (1)按定義、性質(zhì)、法則、公式分類； (2)對(duì)參數(shù)分類； (3)按圖形位置分類； (4)按圖形特性分類； (5)按余數(shù)分類． 注：參數(shù)是較為常用的分類對(duì)象，由于參數(shù)的不同取值，也許導(dǎo)致不同的運(yùn)算成果，或者必須使用不同的措施去解決，這一分類措施在

3、方程、不等式、函數(shù)中有廣泛的應(yīng)用． 【例2】 方程的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 (山東省選拔賽試題) 思路點(diǎn)撥 這是一種特殊的冪指數(shù)方程問題，根據(jù)冪指數(shù)的意義，可將原問題提成三個(gè)并列的簡樸問題求解：(1)非零實(shí)數(shù)的零次冪等于1；(2)1的任何次冪等于1；(3)的偶次冪等于1． 【例3】 試擬定一切有理數(shù)，使得有關(guān)的方程有根且只有整數(shù)根．

4、 (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 思路點(diǎn)撥 根據(jù)方程定義，與否為零影響方程的次數(shù)，這是質(zhì)的不同，解法也不同，因此，應(yīng)對(duì)r=0及≠0兩種狀況分類求解． 【例4】 已知一三角形紙片ABC，面積為25，BC邊的長為10，∠B和∠C都為銳角，M為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(M與點(diǎn)A、B不重疊)．過點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N．設(shè)MN=． (1)用表達(dá)△AMN的面積S△AMN； (2)用△AMN沿MN折疊，使△AMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內(nèi))，設(shè)點(diǎn)A落在平面BCNM內(nèi)的點(diǎn)為A′，△A′MN與四邊形BC

5、NM重疊部分的面積為．①試求出有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范疇；②當(dāng)為什么值時(shí)重疊部分的面積最大，最大為多少? (蘇州市中考題) 思路點(diǎn)撥 折疊△AMN，A點(diǎn)位置不擬定，也許在△ABC內(nèi)或在BC邊上或在△ABC外，故需按以上三種狀況分別求出有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出的最大值． 注：有關(guān)平面幾何問題，常常按圖形互相之間的位置進(jìn)行分類，由于圖形存在不同的位置關(guān)系，其解答成果也許不同，也也許需要使用不同的措施解決，初中平面幾何按位置關(guān)系分類，最后一般都?xì)w結(jié)

6、為點(diǎn)、直線和圓之間的位置關(guān)系． 【例5】 已知⊙Ol與⊙O2外切，⊙Ol的半徑R=2，設(shè)⊙O2的半徑是r． (1)如果⊙Ol與⊙O2的圓心距d=4，求r的值； (2)如果⊙Ol、⊙O2的公切線中有兩條互相垂直，并且r≤R，求r的值． (南京市中考題) 思路點(diǎn)撥 題中沒有給出圖形，題設(shè)中外切兩圓的公切線中有兩條互相垂直，狀況不惟一，故應(yīng)分類討論． 注：中考?jí)狠S題分類討論有如下常用情形： (1)由點(diǎn)的不擬定定引起的分類討論；

7、 (2)由圖形全等或相似的相應(yīng)關(guān)系的不擬定性引起的分類討論； (3)由圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化引起的分類討論． 學(xué)力訓(xùn)練 1．已知m為實(shí)數(shù)，如果函數(shù)的圖象與軸只有一種交點(diǎn)，那么m的取值為 ． 2．若實(shí)數(shù)、滿足，，則的值為 ． 3．若半徑為5和4的兩個(gè)圓相交，且公共弦長為6，則它們的圓心距等于 ． 4．已知⊙O和不在⊙O上的一點(diǎn)P，過P直線交⊙O于A、B點(diǎn)，若PA·PB=4，OP=5，則⊙O的半徑為 ． 5．和拋物線只有一種公共點(diǎn)(-1，-1)的直線解析式為( ) A． B． C．或

8、 D． 6．若線段AB兩端點(diǎn)到直線的距離分別為4和8，則AB的中點(diǎn)到直線的距離是( ) A．2 B．4 C．6 D．2或6 7．點(diǎn)A(-4，0)，B(2，0)是坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn)，C是的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C． 3個(gè) D．4個(gè) 8．如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的P點(diǎn)有( ) A．1個(gè) B． 2個(gè) C．3個(gè)

9、D．4個(gè) 9．已知有關(guān)的方程． (1)求證：無論是取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根； (2)若等腰三角形ABC的一邊長，另兩邊長為、正好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此三角形的周長． (湖北賽區(qū)選拔賽試題) 10．已知：如圖，拋物線C1通過A，B，C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且與x軸的另一種交點(diǎn)為E． （1）求拋物線C1的解析式； （2）求四邊形ABCD的面積； （3）△AOB與△BDE與否相似，如果相似，請(qǐng)予以證明；如果不相似，請(qǐng)闡明理由； （4）設(shè)拋物線C1的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，另一

10、條拋物線C2通過點(diǎn)E（拋物線C2與拋物線C1不重疊），且頂點(diǎn)為M（a，b），對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)G，且以M，G，E為頂點(diǎn)的三角形與以D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等，求a，b的值（只需寫出成果，不必寫出解答過程） (黃岡市中考題) 11．以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓的半徑分別為9cm和5cm，⊙O′與這兩個(gè)圓都相切，則⊙O′的半徑是 ． 12．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，則底角B的大小為

11、 ． 13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜邊AB只有一種公共點(diǎn)，則R的取值范疇是 ． (北京市宣武區(qū)中考題) 14．已知點(diǎn)A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中m<6，以M為圓心，MC為半徑作圓，那么當(dāng)m= 時(shí)，⊙M與直線AB相切． 15．有關(guān)的方程有有理根，求整數(shù)是的值． (

12、山東賽區(qū)選拔賽試題) 16．華鑫超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下： (1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠； (2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標(biāo)價(jià)予以九折優(yōu)惠； (3)若一次購物超過500元，其中500元的部分予以九折優(yōu)惠，超過500元部分予以八折優(yōu)惠． 小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元，目前小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，她需付款多少? (江蘇省競(jìng)賽題) 17．如圖，已知：△ABC中

13、，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重疊)，Q點(diǎn)在BC上． (1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長； (2)當(dāng)△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時(shí)，求CP的長； (3)試問：在AB上與否存在點(diǎn)M，使得△PQM為等腰直角三角形?若不存在，請(qǐng)簡要闡明理由；若存在，祈求出PQ的長． 18．已知有關(guān)的方程(q≥0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且≤． (1)試用品有，的代數(shù)式表達(dá)和； (2)求證：≤1≤ (3)若以，為坐標(biāo)的點(diǎn)M(，)在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)，且△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(，1)

14、，C(1，1)，問與否存在點(diǎn)M使+=，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)闡明理由． (天津市中考題) 19．某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖甲的一條折線表達(dá)；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖乙表達(dá)的拋物線段表達(dá)． (1)寫出圖甲表達(dá)的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；寫出圖乙表達(dá)的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式． (2)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?(注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元／102㎏，時(shí)間單位：天) 參照答案