大學物理第十三章電磁場與麥克斯韋方程組習題解答和分析.doc
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第十三章 習題和解答 第十三章習題解答 題圖13-1 題圖13-2 13-1 如題圖13-1所示，兩條平行長直導線和一個矩形導線框共面，且導線框的一個邊與長直導線平行，到兩長直導線的距離分別為r1，r2。已知兩導線中電流都為，其中I0和為常數(shù)，t為時間。導線框長為a寬為b，求導線框中的感應電動勢。 分析：當導線中電流I隨時間變化時，穿過矩形線圈的磁通量也將隨時間發(fā)生變化，用法拉第電磁感應定律計算感應電動勢，其中磁通量，B為兩導線產生的磁場的疊加。 解：無限長直電流激發(fā)的磁感應強度為。取坐標Ox垂直于直導線，坐標原點取在矩形導線框的左邊框上，坐標正方向為水平向右。取回路的繞行正方向為順時針。由場強的疊加原理可得x處的磁感應強度大小 通過微分面積的磁通量為 通過矩形線圈的磁通量為 感生電動勢 時，回路中感應電動勢的實際方向為順時針；時，回路中感應電動勢的實際方向為逆時針。 13-2 如題圖13-2所示，有一半徑為r=10cm的多匝圓形線圈，匝數(shù)N=100，置于均勻磁場中（B=0.5T）。圓形線圈可繞通過圓心的軸O1O2轉動，轉速n=600rev/min。求圓線圈自圖示的初始位置轉過時， (1) 線圈中的瞬時電流值（線圈的電阻為R=100，不計自感）； (2) 感應電流在圓心處產生的磁感應強度。 分析：應用法拉第電磁感應定律求解感應電動勢。應用載流圓環(huán)在其圓心處產生的磁場公式求出感應電流在圓心處產生的磁感應強度。 解：(1) 圓形線圈轉動的角速度 rad/s 設t=0時圓形線圈處在圖示位置，取順時針方向為回路繞行的正方向。則t時刻通過該回路的全磁通 電動勢 感應電流 將圓線圈自圖示的初始位置轉過時， 代入已知數(shù)值 得： (2) 感應電流在圓心處產生的磁感應強度的大小為 的方向與均勻外磁場的方向垂直。 題圖13-3 題圖13-4 13-3 均勻磁場被限制在半徑R=10cm的無限長圓柱形空間內，方向垂直紙面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向與圓柱空間的軸平行，位置如題圖13-3所示。設磁場以的勻速率增加，已知，，求等腰梯形回路abcd感生電動勢的大小和方向。 分析：求整個回路中的電動勢，采用法拉第電磁感應定律，本題的關鍵是確定回路的磁通量。 解：設順時針方向為等腰梯形回路繞行的正方向.則t時刻通過該回路的磁通量 其中S為等腰梯形abcd中存在磁場部分的面積，其值為 電動勢 代入已知數(shù)值 “–”說明，電動勢的實際方向為逆時針，即沿adcba繞向。用楞次定律也可直接判斷電動勢的方向為逆時針繞向。 13-4 如題圖13-4所示，有一根長直導線，載有直流電流I，近旁有一個兩條對邊與它平行并與它共面的矩形線圈，以勻速度v沿垂直于導線的方向離開導線.設t=0時，線圈位于圖示位置,求： (1) 在任意時刻t通過矩形線圈的磁通量； (2) 在圖示位置時矩形線圈中的電動勢。 分析：線圈運動，穿過線圈的磁通量改變，線圈中有感應電動勢產生，求出t時刻穿過線圈的磁通量，再由法拉第電磁感應定律求感應電動勢。 解：(1) 設線圈回路的繞行方向為順時針。由于載流長直導線激發(fā)磁場為非均勻分布，。因此，必須由積分求得t時刻通過回路的磁通量。 取坐標Ox垂直于直導線，坐標原點取在直導線的位置，坐標正方向為水平向右，則在任意時刻t通過矩形線圈的磁通量為 （2）在圖示位置時矩形圈中的感應電動勢 電動勢的方向沿順時針繞向。 13-5 如題圖13-5所示為水平面內的兩條平行長直裸導線LM與,其間距離為,其左端與電動勢為的電源連接.勻強磁場垂直于圖面向里，一段直裸導線ab橫嵌在平行導線間（并可保持在導線上做無摩擦地滑動）,電路接通，由于磁場力的作用，ab從靜止開始向右運動起來。求: (1) ab達到的最大速度; (2) ab到最大速度時通過電源的電流I。 分析：本題是包含電磁感應、磁場對電流的作用和全電路歐姆定律的綜合性問題。當接通電源后，ab中產生電流。該通電導線受安培力的作用而向右加速運動，由于ab向右運動使穿過回路的磁通量逐漸增加，在回路中產生感應電流，從而使回路中電流減小，當回路中電流為零時，直導線ab不受安培力作用，此時ab達到最大速度。 解：（1）電路接通，由于磁場力的作用,ab從靜止開始向右運動起來。設ab運動的速度為v,則此時直導線ab所產生的動生電動勢，方向由b指向a.由全電路歐姆定理可得此時電路中的電流為 ab達到的最大速度時，直導線ab不受到磁場力的作用，此時。所以ab達到的最大速度為 （2）ab達到的最大速度時，直導線ab不受到磁場力的作用，此時通過電路的電流i=0。所以通過電源的電流也等于零。 題圖13-5 題圖13-6 13-6 如題圖13-6所示，一根長為L的金屬細桿ab繞豎直軸O1O2以角速度在水平面內旋轉，O1O2在離細桿a端L/5處。若已知均勻磁場平行于O1O2軸。求ab兩端間的電勢差Ua-Ub. 分析：由動生電動勢表達式先求出每段的電動勢，再將ab的電動勢看成是oa和ob二者電動勢的代數(shù)和，ab兩端的電勢差大小即為ab間的動生電動勢大小。求每段的電動勢時，由于各處的運動速度不同，因此要將各段微分成線元，先由動生電動勢公式計算線元的兩端的動生電動勢，再積分計算整段的動生電動勢。 解：設金屬細桿ab與豎直軸O1O2交于點O,將ab兩端間的動生電動勢看成ao與ob兩段動生電動勢的串聯(lián)。取ob方向為導線的正方向，在銅棒上取極小的一段線元，方向為ob方向。線元運動的速度大小為。由于互相垂直。所以兩端的動生電動勢 ob的動生電動勢為 動生電動勢的方向由b指向O。同理oa的動生電動勢為 動生電動勢的方向由a指向O。所以ab兩端間的的動生電動勢為 動生電動勢的方向由a指向了b；a端帶負電，b端帶正電。 ab兩端間的電勢差 b端電勢高于a端。 題圖13-7 題圖13-8 13-7 如題圖13-7所示，導線L以角速度ω繞其端點O旋轉，導線L與電流I在共同的平面內，O點到長直電流I的距離為a,且a>L,求導線L在與水平方向成θ角時的動生電動勢的大小和方向。 分析：載流長直導線產生磁場，導線L繞O旋轉切割磁力線。由于切割是不均勻的磁場，而且導體各處的運動速度不同，所以要微分運動導線，先由動生電動勢公式計算線元的兩端的動生電動勢，再積分計算整段的總動生電動勢。 解：取OP方向為導線的正方向，在導線OP上某處取極小的一段線元,方向為OP方向。線元運動的速度大小為。由于互相垂直。所以兩端的動生電動勢 將載流長直導線在該處激發(fā)磁場代入，積分得導線L在與水平方向線成θ角時的動生電動勢為： 動生電動勢的方向由P指向O。 13-8 如題圖13-8所示半徑為r的長直密繞空心螺線管，單位長度的繞線匝數(shù)為n,所加交變電流為I=I0sinωt。今在管的垂直平面上放置一半徑為2r,電阻為R的導線環(huán)，其圓心恰好在螺線管軸線上。 （1）計算導線環(huán)上渦旋電場E的值且說明其方向； (2)計算導線上的感應電流； (3)計算導線環(huán)與螺線管間的互感系數(shù)M。 分析：電流變化，螺線管內部磁場也變化，由磁場的柱對稱性可知，由變化磁場所激發(fā)的感生電場也具有相應的對稱性，感生電場線是一系列的同心圓。根據(jù)感生電場的環(huán)路定理，可求出感生電場強度。由法拉第電磁感應定律及歐姆定律求感應電流，由互感系數(shù)定義式求互感系數(shù)。 解：（1）以半徑為2r的導線環(huán)為閉合回路L，取回路L的繞行正方向與B呈右旋關系，自上向下看為逆時針方向。由于長直螺線管只在管內產生均勻磁場，導線環(huán)上某點渦旋電場E的方向沿導線環(huán)的切向。 所以由規(guī)律可得 導線環(huán)上渦旋電場E的值為 若cosωt>0,E電場線的實際走向與回路L的繞行正方向相反，自上向下看為順時針方向；若cosωt<0,E電場線的實際走向與回路L的繞行正方向相同，自上向下看為逆時針方向。 (2) 導線上的感應電流 (3)導線環(huán)與螺線管間的互感系數(shù)為 13-9 電子感應加速器中的磁場在直徑為0.50m的圓柱形區(qū)域內是勻強的，若磁場的變化率為1.010-2T/S。試計算離開中心距離為0.10m、0.50m、1.0m處各點的感生電場。 分析：由磁場的柱對稱性可知，變化磁場所激發(fā)的感生電場分布也具有相應的對稱性，即感生電場的電場線是一系列以圓柱體中心為軸的同心圓。根據(jù)可求出感生電場強度。 解：以圓柱形的區(qū)域的中心到各點的距離為半徑，作閉合回路L。取回路L的繞行正方向與B呈右旋關系，為順時針方向。由于回路上各點處的感生電場E沿L的切線方向。所以由規(guī)律 可得 得 式中“-”說明：若，E的實際方向與假定方向相反，否則為一致。 r=0.10m時,r
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