理論力學機械工業(yè)出版社第十一章動量矩定理習題解答.doc
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- 1 - 習 題 11-1 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點在平面 Oxy 內(nèi)運動，其運動方程為： 。其中 a、 btbytax?2sin,co? 和 w 均為常量。試求質(zhì)點對坐標原點 O 的動量矩。 taxv?sin??? tbyv?2cos??xvyLO? )cs2sii( tattbtm??? ocsna??? )cssi(i tttt )2cco22b? tma?3s? 11-2 C、 D 兩球質(zhì)量均為 m，用長為 2 l 的桿連接，并將其中點固定在軸 AB 上，桿 CD 與 軸 AB 的交角為 ，如圖 11-25 所示。如軸 AB 以角速度 w 轉(zhuǎn)動，試求下列兩種情況下，系統(tǒng)對? AB 軸的動量矩。 （1）桿重忽略不計；（2）桿為均質(zhì)桿，質(zhì)量為 2m。 圖 11-25 (1) ??22sin)sin(mllJz??? ??2sinlmLz? (2) 202i3dilxlz?桿 2i38lJz??2sn38L? 11-3 試求圖 11-26 所示各均質(zhì)物體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩。各物體質(zhì)量均為 m。 圖 11-26 - 2 - (a) ?231mlLO? (b) 291)6(llJ?? ?291mlLO?? (c) 22451mllO??45 (d) 23RJ? 23RO 11-4 如圖 11-27 所示，均質(zhì)三角形薄板的質(zhì)量為 m，高為 h，試求對底邊的轉(zhuǎn)動慣量 Jx。 圖 11-27 面密度為 bhmA2?? 在 y 處 y yhbyhbmAy d22dd????? 微小區(qū)域?qū)τ?z 軸的轉(zhuǎn)動慣量 yhmyhJz d)(2d)(2????? ????hz mhy0 0 232222 )413(d)( 61h? 11-5 三根相同的均質(zhì)桿，用光滑鉸鏈聯(lián)接，如圖 11-28 所示。試求其對與 ABC 所在平面 垂直的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量。 圖 11-28 3)1(22?????????hmlJz lh23?21)1(mllz ?? 11-6 如圖 11-29 所示，物體以角速度 w 繞 O 軸轉(zhuǎn)動，試求物體對于 O 軸的動量矩。(1) - 3 - 半徑為 R，質(zhì)量為 m 的均質(zhì)圓盤，在中央挖去一邊長為 R 的正方形，如圖 11-32a 所示。(2) 邊長為 4a，質(zhì)量為 m 的正方形鋼板，在中央挖去一半徑為 a 的圓，如圖 11-32b 所示。 圖 11-29 (1) 2126RJC?? π21mR?2π3mm???)(π? 2222 π679)1(6RJCO ???????97L? (2) 212)4(61amJC? ma1621?296π35π38????? 2222 96π483581)( mRaaaJCO ?????????96π51024mR???204JLO 11-7 如圖 11-30 所示，質(zhì)量為 m 的偏心輪在水平面上作平面運動。輪子軸心為 A，質(zhì)心 為 C， AC＝ e；輪子半徑為 R，對軸心 A 的轉(zhuǎn)動慣量為 JA； C、 A、 B 三點在同一直線上。試求下 列兩種情況下輪子的動量和對地面上 B 點的動量矩：(1)當輪子只滾不滑時，已知 vA；(2)當輪 子又滾又滑時，已知 vA、w。 圖 11-30??)())( 2meJRJeRmvLAcCCB ?????? - 4 - (1) RvA???)(eC?RvemJRvmJmL AAAB ])([)( 2222 ????? (2) evAC???CBJe)( )(2eRAA??? ][mRv 11-8 曲柄以勻角速度 w 繞 O 軸轉(zhuǎn)動，通過連桿 AB 帶動滑塊 A 與 B 分別在鉛垂和水平滑道 中運動，如圖 11-31 所示。已知 OC＝ AC＝ BC＝ l，曲柄質(zhì)量為 m，連桿質(zhì)量為 2m，試求系統(tǒng)在 圖示位置時對 O 軸的動量矩。 圖 11-31 (順時針)??ABABOCL?231ml ??2222 34)()( mllllvABCAB ?????25lLO 11-9 如圖 11-32 所示的小球 A，質(zhì)量為 m，連接在長為 l 的無重桿 AB 上，放在盛有液體 的容器中。桿以初角速度 w0繞 O1O2軸轉(zhuǎn)動，小球受到與速度反向的液體阻力 F＝ kmw， k 為比 例常數(shù)。問經(jīng)過多少時間角速度 w 成為初角速度的一半？ 圖 11-32 ?2mlLz??kmlMz??ztd - 5 - 得 ?lkt??d ?tl00? tk??ln 0t 2lnkt? 11-10 水平圓盤可繞 z 軸轉(zhuǎn)動。在圓盤上有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點 M 作圓周運動，已知其速 度大小 v0=常量，圓的半徑為 r，圓心到 z 軸的距離為 l， M 點在圓盤上的位置由 f 角確定，如 圖 11-33 所示。如圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為 J，并且當點 M 離 z 軸最遠（在點 M0）時，圓盤的角速度 為零。軸的摩擦和空氣阻力略去不計，試求圓盤的角速度與 f 角的關系。 圖 11-33 0??zM常zL )(rlmvL? ????cos)cos2( 02 lmvrlrlmJz ??? ()cos2002 vvrlJz ???? (10rvz?? 11-11 兩個質(zhì)量分別為 m1、 m2的重物 M1、 M2分別系在繩子的兩端，如圖 11-34 所示。兩繩 分別繞在半徑為 r1、 r2并固結(jié)在一起的兩鼓輪上，設兩鼓輪對 O 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 JO，試求鼓輪 的角加速度。 圖 11-34 21rvmJLOz????1rv?2rv?)(2rz 21gMz?? - 6 - zzMtL??d 2121)( grmrmJO????2g?? 11-12 如圖 11-35 所示，為求半徑 R＝0.5m 的飛輪 A 對于通過其重心軸的轉(zhuǎn)動慣量，在飛 輪上繞以細繩，繩的末端系一質(zhì)量為 m1＝8kg 的重錘，重錘自高度 h＝2m 處落下，測得落下時 間 t1＝16s。為消去軸承摩擦的影響，再用質(zhì)量為 m2＝4kg 的重錘作第二次試驗，此重錘自同 一高度落下的時間 t2＝25s。假定摩擦力矩為一常數(shù)，且與重錘的重量無關，試求飛輪的轉(zhuǎn)動 慣量和軸承的摩擦力矩。 圖 11-35vRmJvRJmvJLz )()()( 2?????????gMz?fztd f2)(mgRaJ???)(f MthJ)(2 tgR)(2f??? 第一次試驗 2165.0).8(5.02f2??J (1))43fMg??? 第二次試驗 25.0)5.(5.02f2??J - 7 - (2))2(15.78fMgJ??? (1)-(2) f.46.? mN03f? 由(1)得 2f kg.10592)(2???gJ 11-13 通風機風扇的葉輪的轉(zhuǎn)動慣量為 J，以初角速度 w0繞其中心軸轉(zhuǎn)動，見圖 11- 36。設空氣阻力矩與角速度成正比，方向相反，即 M＝－ kw， k 為比例系數(shù)，試求在阻力作用 下，經(jīng)過多少時間角速度減少一半？在此時間間隔內(nèi)葉輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？ 圖 11-36 剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程 ?kMtJ???d t ???tJk02d0 ? t1ln 2kt 11-14 兩均質(zhì)細桿 OC 和 AB 的質(zhì)量分別為 50kg 和 100kg，在 C 點互相垂直焊接起來。若 在圖 11-37 所示位置由靜止釋放，試求釋放瞬時鉸支座 O 的約束力。鉸 O 處的摩擦忽略不計。 圖 11-37ggmgMJezO 125)025(15.0)()( 21 ??????????F?325031???g6 - 8 - 質(zhì)心運動定理 ??125)025(5.02121 ????????mamayCyCy0 x eF?eyCF? Ox 21WO ? ggy652????N496750?y 11-15 質(zhì)量為 100kg、半徑為 1m 的均質(zhì)圓輪，以轉(zhuǎn)速 n=120r/min 繞 O 軸轉(zhuǎn)動，如圖 11- 38 所示。設有一常力 F 作用于閘桿，輪經(jīng) 10s 后停止轉(zhuǎn)動。已知摩擦因數(shù) ＝0.1，試求力 F? 的大小。 圖 11-38 桿 05.3.10N????? FMO N73F? 圓輪 RFJOd? ?NdF??RtJFO????dNtmRnRttJFO??140π372137N?N8.6910.4π??? 11-16 如圖 11-39 所示的帶傳動系統(tǒng)，已知主動輪半徑為 R1、質(zhì)量為 m1，從動輪半徑為 R2、質(zhì)量為 m2，兩輪以帶相連接，分別繞 O1 和 O2軸轉(zhuǎn)動，在主動輪上作用有力偶矩為 M 的主 - 9 - 動力偶，從動輪上的阻力偶矩為 。帶輪可視為均質(zhì)圓盤，帶質(zhì)量不計，帶與帶輪間無滑動。M? 試求主動輪的角加速度。 圖 11-39 主動輪 RFJO???1T21)()? 從動輪 ??22 即 (1)1T212)(MRm (2)RF???T2? 因 12 式(1) R2+(2) R1 1221 RMm????? 122 11)(R? 2112mM????? 11-17 如圖 11-40 所示，電絞車提升一質(zhì)量為 m 的物體，在其主動軸上作用有一矩為 M 的 主動力偶。已知主動軸和從動軸連同安裝在這兩軸上的齒輪以及其它附屬零件的轉(zhuǎn)動慣量分別 為 J1 和 J2 ；傳動比 z2:z1＝ i；吊索纏繞在鼓輪上，鼓輪半徑為 R。設軸承的摩擦和吊索的質(zhì) 量均略去不計，試求重物的加速度。 圖 11-40 主動軸 MRFJ??1t1)(?2i (1)1ta - 10 - 從動軸連重物 vRmJvJmvRJLO )(2222 ?????gFM??t222dOt? (2)mgRFaRJ??2t2 式(1) R2+(2) R1 121 Mi? 上式除以 R1 mgiaJi??22212)(imga? 11-18 半徑為 R、質(zhì)量為 m 的均質(zhì)圓盤，沿傾角為 的斜面作純滾，如圖 11-41 所示。不? 計滾動阻礙，試求：(1)圓輪質(zhì)心的加速度；(2)圓輪在斜面上不打滑的最小靜摩擦因數(shù)。 圖 11-41 (1) 圓盤的平面運動微分方程 )(eCy exMJFma??? (1)g??sin (2)co0NF (3)rJC?? (4)a - 11 - 由式(3)、(4)得 CmaF21? 代入式(1) ?sin3g 由式(2) coN (2) ??cosin31sNsFgF??? ?tas??tan31mis 11-19 均質(zhì)圓柱體 A 的質(zhì)量為 m，在外圓上繞以細繩，繩的一端 B 固定不動，如圖 11-42 所示。圓柱體因解開繩子而下降，其初速度為零。試求當圓柱體的軸心降落了高度 h 時軸心的 速度和繩子的張力。 圖 11-42 (1)TFmgaA??RJC)(? AT21 (2)Fa? 由式(1)、(2)得 gA32mg31T? hhav2?? 11-20 如圖 11-43 所示，有一輪子，軸的直徑為 50mm，無初速地沿傾角 的軌道滾??20? 下，設只滾不滑，5 秒內(nèi)輪心滾過距離 s=3m。試求輪子對輪心的回轉(zhuǎn)半徑。 圖 11-43 與習題 11-18 類似，此處 2?mJC? (1)FmgaC???sin - 12 - (2)?cos0NmgF?? (3)rJC? (4)a 由式(3)、(4)得 2ramFC?? 代入式(1) 2/1sing?? 而 21tasC?4.0532??tC 即 4.0/in2??rg? )1.si(? m02.9658.124.0sin895240 ???????r 11-21 重物 A 質(zhì)量為 m1，系在繩子上，繩子跨過不計質(zhì)量的固定滑輪 D，并繞在鼓輪 B 上，如圖 11-44 所示。由于重物下降，帶動輪 C 沿水平軌道滾動而不滑動。設鼓輪半徑為 r， 輪 C 的半徑為 R，兩者固連在一起，總質(zhì)量為 m2，對于其水平軸 O 的回轉(zhuǎn)半徑為 。試求重物? A 的加速度。 圖 11-44 重物 A T1Fgma?? (1)AT 鼓輪 B 和輪 C FRrJO??T)(? (2)amA?2? - 13 - FamO??T2 (3)RrA? 由式(2)、(3)消去 F 得 RraAAT222 ??? )(T2rRam? 將式(1)代入上式 )((122 rRamgrAA???? Ra? )()(221rA? 11-22 半徑為 r 的均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為 m，放在粗糙的水平面上，如圖 11-45 所示。設其中 心 C 的初速度為 v0，方向水平向右，同時圓柱如圖所示方向轉(zhuǎn)動，其初角速度為 w0，且有 rw0
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