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選修4－5 不等式選講
最新考綱：1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會(huì)證明.4.通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法．
1．含有絕對(duì)值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|
0)?－ab>0時(shí)等號(hào)成立．( )
(2)對(duì)|a－b|≤|a|＋|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)等號(hào)成立．( )
(3)|ax＋b|≤c(c>0)的解等價(jià)于－c≤ax＋b≤c.( )
(4)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集為.( )
(5)若實(shí)數(shù)x、y適合不等式xy>1，x＋y>－2，則x>0，y>0.( )
[答案] (1) (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
2．不等式|2x－1|－x<1的解集是( )
A．{x|02 B．|a＋b|＋|a－b|<2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比較大小
[解析] |a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.
[答案] B
4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最大值為( )
A．1 B．
C. D．2
[解析] (＋＋)2＝(1＋1＋1)2≤ (12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立．
∴(＋＋)2≤3.
故＋＋的最大值為.故應(yīng)選C.
[答案] C
5．若存在實(shí)數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
[解析] 利用數(shù)軸及不等式的幾何意義可得x到a與到1的距離和小于3，所以a的取值范圍為－2≤a≤4.
[答案]?。?≤a≤4
考點(diǎn)一 含絕對(duì)值的不等式的解法
解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步驟是：
(1)令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根．
(2)把這些根由小到大排序，它們把定義域分為若干個(gè)區(qū)間．
(3)在所分區(qū)間上，去掉絕對(duì)值符號(hào)組成若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出它們的解集．
(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集．
解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)娜サ艚^對(duì)值符號(hào)．
(1)(2015山東卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1,4) D．(1,5)
(2)(2014湖南卷)若關(guān)于x的不等式|ax－2|<3的解集為，則a＝________.
[解題指導(dǎo)] 切入點(diǎn)：“脫掉”絕對(duì)值符號(hào)；關(guān)鍵點(diǎn)：利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行分類討論．
[解析] (1)當(dāng)x<1時(shí)，不等式可化為－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，顯然成立，所以此時(shí)不等式的解集為(－∞，1)；
當(dāng)1≤x≤5時(shí)，不等式可化為x－1＋(x－5)<2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，所以此時(shí)不等式的解集為[1,4)；
當(dāng)x>5時(shí)，不等式可化為(x－1)－(x－5)<2，即4<2，顯然不成立，所以此時(shí)不等式無(wú)解．
綜上，不等式的解集為(－∞，4)．故選A.
(2)∵|ax－2|<3，∴－10時(shí)，－c或|x－a|＋|x－b|k的解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．
[解題指導(dǎo)] 切入點(diǎn)：絕對(duì)值的幾何意義；關(guān)鍵點(diǎn)：把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．
[解析] (1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，
∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
(2)解法一：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，－1,2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，則原不等式等價(jià)于PA－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故當(dāng)k<－3時(shí)，原不等式恒成立．
解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，
則y＝
要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，從圖象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3滿足題意．
[答案] (1) (2)(－∞，－3)
解含參數(shù)的不等式存在性問(wèn)題，只要求出存在滿足條件的x即可；不等式的恒成立問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即f(x)f(x)max，f(x)>a恒成立?acd，則＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件．
[解題指導(dǎo)] 切入點(diǎn)：不等式的性質(zhì)；關(guān)鍵點(diǎn)：不等式的恒等變形．
[證明] (1)因?yàn)?＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由題設(shè)a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，則(＋)2>(＋)2，即
a＋b＋2>c＋d＋2.
因?yàn)閍＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
綜上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件．
分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
(2014新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.證明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[證明] (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
———————方法規(guī)律總結(jié)————————
[方法技巧]
1．絕對(duì)值不等式求解的根本方向是去除絕對(duì)值符號(hào)．
2．絕對(duì)值不等式在求與絕對(duì)值運(yùn)算有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)需靈活運(yùn)用，同時(shí)還要注意等號(hào)成立的條件．
3．在證明不等式時(shí)，應(yīng)根據(jù)命題提供的信息選擇合適的方法與技巧．如在使用柯西不等式時(shí)，要注意右邊為常數(shù)．
[易錯(cuò)點(diǎn)睛]
1．對(duì)含有參數(shù)的不等式求解時(shí)，分類要完整．
2．應(yīng)用基本不等式和柯西不等式證明時(shí)要注意等號(hào)成立的條件．
課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(七十)
一、填空題
1．不等式|2x－1|<3的解集為_(kāi)_________．
[解析] |2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1－，此時(shí)－－1時(shí)，f(x)＝f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.
[答案] －6或4
7．若關(guān)于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
[解析] ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝
∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.
[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)
8．已知關(guān)于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
[解析] 若x－1<0，則a∈R；若x－1≥0，則(x－a)2>(x－1)2對(duì)任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]>0對(duì)任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以(舍去)或?qū)θ我獾膞∈[1，＋∞]恒成立，解得a<1.綜上，a<1.
[答案] (－∞，1)
9．設(shè)a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝9，則＋＋的最小值為_(kāi)_________．
[解析] ∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]
≥2＝18，
∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值為2.
[答案] 2
10．(2014陜西卷)設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則 的最小值為_(kāi)_______．
[解析] 由柯西不等式，得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，
即5(m2＋n2)≥25，
∴m2＋n2≥5，當(dāng)且僅當(dāng)an＝bm時(shí)，等號(hào)成立．∴的最小值為.
[答案]
11．對(duì)任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為_(kāi)_________．
[解析] ∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|
＝(|1－x|＋|x|)＋(|1－y|＋|1＋y|)
≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝1＋2＝3，
當(dāng)且僅當(dāng)(1－x)x≥0，(1－y)(1＋y)≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1時(shí)等號(hào)成立，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為3.
[答案] 3
12．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋，對(duì)任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
[解析] 只要函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|(x＋1)－(x－4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a＋即可．當(dāng)a>0時(shí)，將不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≤0，無(wú)解；當(dāng)a<0時(shí)，將不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≥0，則有a≤－4或－1≤a<0.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－4]∪[－1,0)．
[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)
二、解答題
13．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.
(1)若a＝1，求不等式的解集；
(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范圍．
[解] (1)當(dāng)a＝1時(shí)，不等式即為2|x－3|＋|x－4|<2，
若x≥4，則3x－10<2，x<4，∴舍去；
若31，a>，即a的取值范圍為.
14．(2015新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．
[解] (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0.
當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式化為x－4>0，無(wú)解；
當(dāng)－10，解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為.
(2)由題設(shè)可得，f(x)＝所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面積為(a＋1)2.
由題設(shè)得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范圍為(2，＋∞)．
15．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍．
[解] (1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，
f(x)＝
作出函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的圖象．
由圖象可知，不等式f(x)≥3的解集為
.
(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，
不滿足題設(shè)條件；
若a<1，f(x)＝
f(x)的最小值為1－a；
若a>1，f(x)＝
f(x)的最小值為a－1.
∴對(duì)于?x∈R，f(x)≥2的充要條件是|a－1|≥2，
∴a的取值范圍是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
16．(2015福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
[解] (1)因?yàn)閒(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
當(dāng)且僅當(dāng)－a≤x≤b時(shí)，等號(hào)成立．
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值為a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值為4，
所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得
(4＋9＋1)≥
2＝(a＋b＋c)2＝16，
即a2＋b2＋c2≥.
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，
即a＝，b＝，c＝時(shí)等號(hào)成立．
故a2＋b2＋c2的最小值為.
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