2018-2019學(xué)年濟(jì)寧市曲阜市八年級上期中數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)

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2018-2019學(xué)年山東省濟(jì)寧市曲阜市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（下列各題的四個選項中，只有一項符合題意，每小題3分，共30分） 1．下列圖形具有穩(wěn)定性的是（　?。? A． B． C． D． 2．已知三角形兩邊的長分別是3和7，則此三角形第三邊的長可能是（　?。? A．1 B．2 C．8 D．11 3．下列四個圖案中，不是軸對稱圖案的是（　?。? A． B． C． D． 4．平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)（﹣2，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　） A．（﹣2，﹣1 ） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2） 5．如果n邊形的內(nèi)角和是它外角和的3倍，則n等于（　?。? A．6 B．7 C．8 D．9 6．如圖，已知∠ABC=∠DCB，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　） A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC 7．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC=50°，∠ABC=60°，則∠EAD+∠ACD=（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 8．已知∠AOB=30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OA對稱，P2與P于OB對稱，則△P1OP2的形狀一定是（　?。? A．直角三角形 B．等邊三角形 C．底邊和腰不相等的等腰三角形 D．鈍角三角形 9．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點(diǎn)D和E，∠B=60°，∠C=25°，則∠BAD為（　?。? A．50° B．70° C．75° D．80° 10．如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正確的是（　?。? A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β 　 二、填空題（每小題3分，共18分） 11．已知：等腰三角形的一條邊長為2cm，另一條邊長為5cm，則它的周長是　 　cm． 12．如圖，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，則∠B=　 ?。? 13．如圖，∠ACD是△ABC的一個外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，則∠DCE的大小是　 　度． 14．如圖，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點(diǎn)D、E，AD=3，BE=1，則DE的長是　 ?。? 15．如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交邊AB于D點(diǎn)，交邊AC于E點(diǎn)，若△ABC與△EBC的周長分別是40cm，24cm，則AB=　 　cm． 16．請你仔細(xì)觀察圖中等邊三角形圖形的變換規(guī)律，寫出你發(fā)現(xiàn)關(guān)于等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離的數(shù)學(xué)事實：　 ?。? 　 二、解答題：（共52分） 17．（5分）如圖，在△ABC中，BD⊥AC，垂足為D．∠ABD=54°，∠DBC=18°．求∠A，∠C的度數(shù)． 18．（6分）已知：如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求證：BC=ED． 19．（7分）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°． （1）尺規(guī)作圖：作∠B的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）判斷△DBC是否為等腰三角形，并說明理由． 20．（7分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，先描出點(diǎn)A（1，3），點(diǎn)B（4，1）． （1）描出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A1的位置，寫出A1的坐標(biāo)　 　； （2）用尺規(guī)在x軸上找一點(diǎn)C，使AC+BC的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡）； （3）用尺規(guī)在x軸上找一點(diǎn)P，使PA=PB（保留作圖痕跡）． 21．（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，E在CA延長線上，AE=AF，AD是高，試判斷EF與BC的位置關(guān)系，并說明理由． 22．（9分）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度數(shù)； （2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線． 23．（10分）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題： 例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度數(shù)．（答案：35°） 例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度數(shù)，（答案：40°或70°或100°） 張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下一題： 變式 等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度數(shù)． （1）請你解答以上的變式題． （2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A=x°，當(dāng)∠B有三個不同的度數(shù)時，請你探索x的取值范圍． 　  2018-2019學(xué)年山東省濟(jì)寧市曲阜市八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（下列各題的四個選項中，只有一項符合題意，每小題3分，共30分） 1．下列圖形具有穩(wěn)定性的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性進(jìn)行判斷． 【解答】解：三角形具有穩(wěn)定性． 故選：A． 【點(diǎn)評】此題考查了三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，正確掌握三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 2．已知三角形兩邊的長分別是3和7，則此三角形第三邊的長可能是（　?。? A．1 B．2 C．8 D．11 【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可． 【解答】解：設(shè)三角形第三邊的長為x，由題意得：7﹣3＜x＜7+3， 4＜x＜10， 故選：C． 【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊．三角形的兩邊差小于第三邊． 3．下列四個圖案中，不是軸對稱圖案的是（　?。? A． B． C． D． 【分析】根據(jù)軸對稱的概念對各選項分析判斷利用排除法求解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項錯誤； B、不是軸對稱圖形，故本選項正確； C、是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、是軸對稱圖形，故本選項錯誤． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 4．平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)（﹣2，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　） A．（﹣2，﹣1 ） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2） 【分析】根據(jù)一個點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，它橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可以解答本題． 【解答】解：點(diǎn)（﹣2，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）， 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解答本題的關(guān)鍵是明確一個點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的特點(diǎn)． 5．如果n邊形的內(nèi)角和是它外角和的3倍，則n等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式180°（n﹣2）和外角和為360°可得方程180（n﹣2）=360×3，再解方程即可． 【解答】解：由題意得：180（n﹣2）=360×3， 解得：n=8， 故選：C． 【點(diǎn)評】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和與外角和，要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系來尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解． 6．如圖，已知∠ABC=∠DCB，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　?。? A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC 【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)定理逐個判斷即可． 【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤； B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤； C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本選項正確； D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤； 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS． 7．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC=50°，∠ABC=60°，則∠EAD+∠ACD=（　?。? A．75° B．80° C．85° D．90° 【分析】依據(jù)AD是BC邊上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依據(jù)∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根據(jù)△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°． 【解答】解：∵AD是BC邊上的高，∠ABC=60°， ∴∠BAD=30°， ∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC， ∴∠BAE=25°， ∴∠DAE=30°﹣25°=5°， ∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°， ∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°， 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．解決問題的關(guān)鍵是三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用． 8．已知∠AOB=30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OA對稱，P2與P于OB對稱，則△P1OP2的形狀一定是（　?。? A．直角三角形 B．等邊三角形 C．底邊和腰不相等的等腰三角形 D．鈍角三角形 【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定求解． 【解答】解：∵P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)分別為P1、P2， ∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°， ∴△OP1P2是等邊三角形． 故選：B． 【點(diǎn)評】此題考查了軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個對應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等． 9．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點(diǎn)D和E，∠B=60°，∠C=25°，則∠BAD為（　　） A．50° B．70° C．75° D．80° 【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC=∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，計算即可． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=25°， ∵∠B=60°，∠C=25°， ∴∠BAC=95°， ∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°， 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵． 10．如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正確的是（　?。? A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β 【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得結(jié)論． 【解答】解：由折疊得：∠A=∠A'， ∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ， ∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β， 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是關(guān)鍵． 　 二、填空題（每小題3分，共18分） 11．已知：等腰三角形的一條邊長為2cm，另一條邊長為5cm，則它的周長是　12　cm． 【分析】因為已知長度為2cm和5cm兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論． 【解答】解：①當(dāng)2cm為底時，其它兩邊都為5cm， 2cm、5cm、5cm可以構(gòu)成三角形， 周長為12cm； ②當(dāng)2cm為腰時， 其它兩邊為2cm和5cm， ∵2+2＜5， ∴不能構(gòu)成三角形，故舍去， 故答案為：12． 【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵． 12．如圖，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，則∠B=　120°?。? 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠C的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可． 【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C=∠C′=24°， ∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=120°， 故答案為：120°． 【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵． 13．如圖，∠ACD是△ABC的一個外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，則∠DCE的大小是　50　度． 【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠ACE=∠ECD，利用三角形的外角性質(zhì)解答即可． 【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一個外角，∠A=60°，∠B=40°， ∴∠ACD=60°+40°=100°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ECD=50°， 故答案為：50． 【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵． 14．如圖，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點(diǎn)D、E，AD=3，BE=1，則DE的長是　2?。? 【分析】根據(jù)條件可以得出∠E=∠ADC=90°，進(jìn)而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值． 【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E=∠ADC=90°， ∴∠EBC+∠BCE=90°． ∵∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠EBC=∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE=DC=1，CE=AD=3． ∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2 故選答案為2． 【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會正確尋找全等三角形，屬于中考?？碱}型． 15．如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交邊AB于D點(diǎn)，交邊AC于E點(diǎn)，若△ABC與△EBC的周長分別是40cm，24cm，則AB=　16　cm． 【分析】首先根據(jù)DE是AB的垂直平分線，可得AE=BE；然后根據(jù)△ABC的周長=AB+AC+BC，△EBC的周長=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周長﹣△EBC的周長=AB，據(jù)此求出AB的長度是多少即可． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線， ∴AE=BE； ∵△ABC的周長=AB+AC+BC，△EBC的周長=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC， ∴△ABC的周長﹣△EBC的周長=AB， ∴AB=40﹣24=16（cm）． 故答案為：16． 【點(diǎn)評】（1）此題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等． （2）此題還考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的周長的求法，要熟練掌握． 16．請你仔細(xì)觀察圖中等邊三角形圖形的變換規(guī)律，寫出你發(fā)現(xiàn)關(guān)于等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離的數(shù)學(xué)事實：　等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和等于該等邊三角形的高?。? 【分析】在這三個圖形中，白色的三角形是等邊三角形，里邊鑲嵌著三個黑色三角形．從左向右觀察，其中上邊兩個黑色三角形按照順時針的方向發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，但是形狀沒有發(fā)生變化，當(dāng)然黑色三角形的高也沒有發(fā)生變化．左起第一個圖形里黑色三角形高的和是等邊三角形里一點(diǎn)到三邊的距離和，最后一個圖形里，三個黑色三角形高的和是等邊三角形的高．所以，等邊三角形里任意一點(diǎn)到三邊的距離和等于它的高． 【解答】解：由圖可知，等邊三角形里任意一點(diǎn)到三邊的距離和等于它的高． 【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)；有些題目，雖然形式發(fā)生了變化，但是本質(zhì)并沒有改變．我們只要在觀察形式變化的過程中，始終注意尋找它的不變量，就可以揭示出事物的本質(zhì)規(guī)律． 　 二、解答題：（共52分） 17．（5分）如圖，在△ABC中，BD⊥AC，垂足為D．∠ABD=54°，∠DBC=18°．求∠A，∠C的度數(shù)． 【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和三角形內(nèi)角和可以求得∠A和∠C的度數(shù)，本題得以解決． 【解答】解：∵在△ABC中，BD⊥AC，∠ABD=54°， ∴∠BDA=90°， ∴∠A=∠BDA﹣∠ABD=90°﹣54°=36°， ∵∠ABD=54°，∠DBC=18°， ∴∠ABC=72°， ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠ABC=72°， 即∠A=36°，∠C=72°． 【點(diǎn)評】本題考查三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答． 18．（6分）已知：如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求證：BC=ED． 【分析】由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有條件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA證明△ABC≌△AED，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BC=ED． 【解答】證明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD， 即：∠EAD=∠BAC， 在△EAD和△BAC中， ∴△ABC≌△AED（ASA）， ∴BC=ED． 【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具． 19．（7分）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°． （1）尺規(guī)作圖：作∠B的角平分線BD，交AC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）判斷△DBC是否為等腰三角形，并說明理由． 【分析】（1）以B為圓心，以任意長為半徑畫弧交AB、AC于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)的距離的一半為半徑畫弧，交于一點(diǎn)，過這點(diǎn)和B作直線即可； （2）由∠A=36°，求出∠C、∠ABC的度數(shù)，能求出∠ABD和∠CBD的度數(shù)，即可求出∠BDC，根據(jù)等角對等邊即可推出答案． 【解答】解：（1）如圖所示： BD即為所求； （2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）÷2=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=36°， ∴∠BDC=36°+36°=72°， ∴BD=BC， ∴△DBC是等腰三角形． 【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，作圖與基本作圖等知識點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是能正確畫圖和求出∠C、∠BDC的度數(shù)． 20．（7分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，先描出點(diǎn)A（1，3），點(diǎn)B（4，1）． （1）描出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A1的位置，寫出A1的坐標(biāo)?。?，﹣3）　； （2）用尺規(guī)在x軸上找一點(diǎn)C，使AC+BC的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡）； （3）用尺規(guī)在x軸上找一點(diǎn)P，使PA=PB（保留作圖痕跡）． 【分析】（1）直接利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案； （2）利用軸對稱求最短路線作法得出答案； （3）利用線段垂直平分線的作法得出答案． 【解答】解：（1）如圖所示：A1的坐標(biāo)（1，﹣3）； 故答案為：（1，﹣3）； （2）如圖所示：點(diǎn)C即為所求； （3）如圖所示：點(diǎn)P即為所求． 【點(diǎn)評】此題主要考查了垂直平分線的作法以及軸對稱變換，正確得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵． 21．（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，E在CA延長線上，AE=AF，AD是高，試判斷EF與BC的位置關(guān)系，并說明理由． 【分析】EF與BC垂直，理由為：由三角形ABC為等腰三角形且AD為底邊上的高，利用三線合一得到AD為角平分線，再由AE=AF，利用等邊對等角得到一對角相等，利用外角性質(zhì)得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行得到EF與AD平行，進(jìn)而確定出EF與BC垂直． 【解答】解：EF⊥BC，理由為： 證明：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AE=AF， ∴∠E=∠EFA， ∵∠BAC=∠E+∠EFA=2∠EFA， ∴∠EFA=∠BAD， ∴EF∥AD， ∵AD⊥BC， ∴EF⊥BC， 則EF與BC的位置關(guān)系是垂直． 【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，外角性質(zhì)，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 22．（9分）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． （1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度數(shù)； （2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線． 【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解決問題； （2）只要證明AE=AC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明； 【解答】（1）解：∵∠BAC=50°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠BAC=25°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°， ∴∠EDA=90°﹣25°=65°． （2）證明∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°=∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAC， ∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD， ∴AE=AC， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE， 即直線AD是線段CE的垂直平分線． 【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形三線合一定理，解題的關(guān)鍵是證明AE=AC． 23．（10分）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題： 例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度數(shù)．（答案：35°） 例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度數(shù)，（答案：40°或70°或100°） 張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下一題： 變式 等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度數(shù)． （1）請你解答以上的變式題． （2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A=x°，當(dāng)∠B有三個不同的度數(shù)時，請你探索x的取值范圍． 【分析】（1）由于等腰三角形的頂角和底角沒有明確，因此要分類討論； （2）分兩種情況：①90≤x＜180；②0＜x＜90，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可． 【解答】解：（1）若∠A為頂角，則∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°； 若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=180°﹣2×80°=20°； 若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=80°； 故∠B=50°或20°或80°； （2）分兩種情況： ①當(dāng)90≤x＜180時，∠A只能為頂角， ∴∠B的度數(shù)只有一個； ②當(dāng)0＜x＜90時， 若∠A為頂角，則∠B=（）°； 若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=（180﹣2x）°； 若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=x°． 當(dāng)≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x， 即x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)． 綜上所述，可知當(dāng)0＜x＜90且x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)． 【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．