（名師導學）2020版高考數學總復習 第七章 不等式、推理與證明 第44講 數學歸納法練習 理（含解析）新人教A版

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1、第44講　數學歸納法 夯實基礎　【p94】 【學習目標】 了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題． 【基礎檢測】 1．一個關于自然數n的命題，如果驗證當n＝1時命題成立，并在假設當n＝k(k≥1且k∈N*)時命題成立的基礎上，證明了當n＝k＋2時命題成立，那么綜合上述，對于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．一切正整數命題成立B．一切正奇數命題成立 C．一切正偶數命題成立D．以上都不對 【解析】本題證的是對n＝1，3，5，7，…命題成立，即命題對一切正奇數成立． 【答案】B 2．用數學歸納法證明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)

2、，第一步應驗證不等式(　　) A．1＋＜2 B．1＋＋＜3 C．1＋＋＋＜3 D．1＋＋＜2 【解析】因n≥2，故應驗證n＝2，應選D. 【答案】D 3．用數學歸納法證明“2n>n2＋1對于n≥n0的正整數n都成立”時，第一步證明n的起始值n0應取________． 【解析】當n＝1時，21＝12＋1； 當n＝2時，22<22＋1；當n＝3時，23<32＋1； 當n＝4時，24<42＋1；而當n＝5時，25>52＋1. ∴n0＝5. 【答案】5 4．設數列{an}的前n項和為Sn，且對任意的自然數n都有(Sn－1)2＝anSn，通過計算S1，S2，S3，猜想Sn＝__

3、______． 【解析】由(S1－1)2＝S，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.猜想：Sn＝. 【答案】 【知識要點】 1．歸納法 由一系列有限的__特殊事例__得出__一般性結論__的推理方法叫做歸納法． 2．數學歸納法 對某些與正整數n有關的數學命題常采用下面的方法來證明它的正確性，先證明當n取第1個值n0時，命題成立；然后假設當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立，這種證明方法叫做__數學歸納法__． 3．數學歸納法證明步驟 (1)數學歸納法的證題步驟 一般地，證明

4、一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行： ①(歸納奠基)證明當n取__第一個值n0__時命題成立． ②(歸納遞推)假設__n＝k__(k≥n0，k∈N*)時命題成立，再證明當__n＝k＋1__時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以判定命題對從__n0__開始的所有正整數n都成立． (2)用框圖表示數學歸納法的步驟 　假設②__n＝k(k≥n0且k∈N*)__時結論成立， 推得③__n＝k＋1__時結論亦成立 　　　　　 典例剖析　【p94】 考點1　用數學歸納法證明等式 設f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．用數學歸納法證明：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)

5、＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 【解析】(1)當n＝2時，左邊＝f(1)＝1， 右邊＝2＝1，左邊＝右邊，等式成立． (2)假設n＝k(k≥2，k∈N*)時，結論成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，當n＝k＋1時， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴當n＝k＋1時結論仍然成立． 由(1)(2)可知f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈

6、N*)． 【點評】用數學歸納法證明與自然數有關的一些等式命題，關鍵在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律；等式的兩邊各有多少項，由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項；難點在于尋求等式中n＝k和n＝k＋1時之間的聯(lián)系． 考點2　用數學歸納法證明不等式 已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，用數學歸納法證明：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)． 【解析】(1)當n＝2時，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2時命題成立； (2)假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時命題成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋， 則當n＝k＋1時， S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ >1＋＋

7、＋＋…＋ >1＋＋ ＝1＋＋＝1＋， 故當n＝k＋1時，命題成立． 由(1)和(2)可知，對n≥2，n∈N*，不等式S2n>1＋都成立． 【點評】用數學歸納法證明不等式應注意的兩個問題： (1)當遇到與正整數n有關的不等式證明時，應用其他辦法不容易證，則可考慮應用數學歸納法． (2)用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時也成立，證明時用上歸納假設后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明． 考點3　用數學歸納法證明整除性問題 設n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2. (1)求f(1)，f(2)，f(3)的值； (2)證明：對任意正整數n

8、，f(n)是8的倍數． 【解析】(1)代入求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368. (2)①當n＝1時，f(1)＝8是8的倍數，命題成立. ②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時命題成立，即f(k)＝3k＋7k－2是8的倍數， 那么當n＝k＋1時，f(k＋1)＝3k＋1＋7k＋1－2＝3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)， 因為7k＋1是偶數，所以4(7k＋1)是8的倍數， 又由歸納假設知3(3k＋7k－2)是8的倍數， 所以f(k＋1)是8的倍數， 所以當n＝k＋1時，命題也成立． 根據①②知命題對任意n∈N*成立． 考點4　歸納—猜想—證明 已知數列{a

9、n}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)． (1)試求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達式； (2)證明你的猜想，并求出an的表達式． 【解析】(1)∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， ∴Sn＝n2(Sn－Sn－1)， ∴Sn＝Sn－1(n≥2)． ∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝. (2)證明：①當n＝1時，S1＝1，＝1等式成立． ②假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時，等式成立，即Sk＝. 當n＝k＋1時， Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝ak＋1＋Sk＝ak＋1＋， ∴ak＋1＝·＝， ∴Sk＋1＝(

10、k＋1)2·ak＋1＝(k＋1)2·＝＝， ∴n＝k＋1時，等式也成立． 綜上①②知，對于任意n∈N＋，Sn＝都成立． 又ak＋1＝，∴an＝. 【點評】解決數學歸納法中“歸納—猜想—證明”問題及不等式證明時，有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注： (1)歸納整理不到位得不出正確結果，從而給猜想造成困難． (2)證明n＝k到n＝k＋1這一步時，忽略了假設條件去證明，造成使用的不是純正的數學歸納法． (3)不等式證明過程中，不能正確合理地運用分析法、綜合法來求證． 另外需要熟練掌握數學歸納法中幾種常見的推證技巧，只有這樣，才能快速正確地解決問題． 方法總結　　【p95】

11、 1．數學歸納法是專門證明與正整數集有關的命題的一種方法．它是一種完全歸納法，是對不完全歸納法的完善． 2．證明代數恒等式的關鍵是第二步，將式子轉化成與歸納假設的結構相同的形式——湊假設，然后利用歸納假設，經過恒等變形，得到結論所需要的形式——湊結論． 3．用數學歸納法證明不等式的關鍵是第二步，利用證明不等式的方法(如放縮)把式子化為n＝k＋1成立時的式子． 4．用數學歸納法證明幾何問題時，要注意結合幾何圖形的性質，在求由“n＝k到n＝k＋1”增加的元素個數時，可以先用不完全歸納法找其變化規(guī)律． 5．由有限個特殊事例進行歸納、猜想，而得出一般性結論，然后加以證明是科學研究的重要思想方法

12、，研究與正整數有關的數學問題，此方法尤為重要，如猜想數列的通項an或前n項和Sn，解決與自然數有關的探索性、開放性問題等．猜想必須準確，證明必須正確．既用到合情推理，又用到演繹推理．猜想的準確與否可用證明來檢驗，否則不妨再分析，再猜想，再證明，猜想是證明的前提，證明可論證猜想的可靠性，二者相輔相成． 走進高考　　【p95】 1．(2017·浙江)已知數列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)． 證明：當n∈N*時， (1)0＜xn＋1＜xn； (2)2xn＋1－xn≤； (3)≤xn≤. 【解析】(1)用數學歸納法證明：xn>0. 當n＝1時，

13、x1＝1>0，假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，xk>0， 那么n＝k＋1時，若xk＋1≤0，則00， 因此xn>0(n∈N*)，所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1， 因此0xn＋1得xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)． 記函數f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)， 則f′(x)＝2x－2＋ln(1＋x)＋＝ln(1＋x)＋≥0， 所以函數f(x)在[0，

14、＋∞)上單調遞增，所以f(x)≥f(0)＝0， 因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0， 2xn＋1－xn≤(n∈N*)． (3)因為xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1， 所以xn≥，由(2)得≥2xn＋1－xn， －≥2， －≥2≥…≥2n－1＝2n－2， 故xn≤，≤xn≤(n∈N*)． 考點集訓　　【p227】 A組題 1．用數學歸納法證明：1＋＋＋…＋1)時，在第二步證明從n＝k到n＝k＋1成立時，左邊增加的項數是(　　) A．2k B．2k－1 C．2k－1 D．2

15、k＋1 【解析】因為2k＋1－1－2k＋1＝2k，所以左邊增加的項數是2k. 【答案】A 2．用數學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，n的初始值至少應取(　　) A．7 B．8 C．9D．10 【解析】左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗證可知n的最小值是8. 【答案】B 3．用數學歸納法證明不等式“＋＋…＋>(n>2)”的過程中，由n＝k到n＝k＋1(k>2)時，不等式的左邊(　　) A．增加了一項 B．增加了兩項＋ C．增加了一項，又減少了一項 D．增加了兩項＋，又減少了一項 【解析】當n＝k時左邊的代數式為＋＋…＋，共有k項，當n＝k＋1時，左邊的

16、代數式為＋＋…＋，共有k＋1項，故用n＝k＋1時左邊的代數式減去n＝k時左邊的代數式的結果＋－，即為不等式的左邊增加的項． 【答案】D 4．用數學歸納法證明“34n＋1＋52n＋1能被8整除”時，當n＝k＋1時，對于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為(　　) A．56·34k＋1＋25 B．34k＋1＋52k＋1 C．34×34k＋1＋52×52k＋1 D．25 【解析】當n＝k＋1時，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34×34k＋1＋25×52k＋1＝56·34k＋1＋25，兩個表達式都能被8整除． 【答案】A 5．利用數學歸納法證明不等式＋＋…＋>(n

17、>1，n∈N*)的過程中，用n＝k＋1時左邊的代數式減去n＝k時左邊的代數式的結果為__________. 【解析】n＝k時，不等式為＋＋…＋>，n＝k＋1時，不等式為＋＋…＋＋＋>，兩式相減后，左邊為＋－＝－. 【答案】－ 6．設數列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)猜想數列{Sn}的通項公式，并給出證明． 【解析】(1)當n＝1時，方程x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1， ∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 當n＝2時，方程x2－a2x－a2＝0有一根為S

18、2－1＝a1＋a2－1＝a2－， ∴－a2－a2＝0，解得a2＝. (2)由題意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得 SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝. 由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝. 猜想Sn＝(n∈N*)． 下面用數學歸納法證明這個結論． ①當n＝1時，S1＝＝，結論成立． ②假設n＝k(k∈N*，k≥1)時結論成立，即Sk＝. 當n＝k＋1時，Sk＋1＝＝＝＝. 即當n＝k＋1時結論成立． 由①②知Sn＝對任意的正整數n都成立． 7．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，

19、n∈N*. (1)當n＝1，2，3時，試比較f(n)與g(n)的大小關系； (2)猜想f(n)與g(n)的大小關系，并給出證明． 【解析】(1)當n＝1時，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)； 當n＝2時，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)

20、－ ＝－＝<0， 所以f(k＋1)<－＝g(k＋1)． 由①②可知，對一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立． B組題 1．設f(x)是定義在正整數集上的函數，且f(x)滿足：“當f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么，下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)<1成立，則f(10)<100成立 B．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k2成立 【解析】∵f(k)≥k2成立時，f(k＋1)≥(k＋1)2成立，∴f(4)≥16

21、時，有f(5)≥52，f(6)≥62，…，f(k)≥k2成立． 【答案】D 2．設平面內有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數，則f(4)＝______；當n>4時，f(n)＝______(用n表示)． 【解析】f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5， f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1) ＝2＋3＋4＋…＋(n－1) ＝(n＋1)(n－2)(n>4)． 【答案】5；(n＋1)(n－2)(n>4) 3．設平面上n個圓周最多把平面分成f(n)片(平面區(qū)域)，則f(2)＝________，

22、f(n)＝________．(n≥1，n∈N*) 【解析】易知2個圓周最多把平面分成4片；n個圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1個圓周，為了得到盡可能多的平面區(qū)域，第n＋1個圓應與前面n個圓都相交且交點均不同，有n條公共弦，其端點把第n＋1個圓周分成2n段，每段都把原來的每一片劃分成2片，共增加了2n片平面區(qū)域，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，從而f(n)＝n2－n＋2. 【答案】4；n2－n＋2 4．已知點Pn(an，bn)滿足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且點P1的坐標為(1，－1)． (

23、1)求過點P1，P2的直線l的方程； (2)試用數學歸納法證明：對于n∈N*，點Pn都在(1)中的直線l上． 【解析】(1)由題意得a1＝1，b1＝－1， b2＝＝，a2＝1×＝， ∴P2. ∴直線l的方程為＝， 即2x＋y＝1. (2)①當n＝1時， 2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假設n＝k(k∈N*)時，2ak＋bk＝1成立． 當n＝k＋1時，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1， ∴當n＝k＋1時，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立． 由①②知，對于n∈N*，都有2an＋bn＝1，即點Pn都在直線l上． 11