（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第44講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理（含解析）新人教A版

《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第44講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第44講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理（含解析）新人教A版（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第44講　數(shù)學(xué)歸納法 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p94】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)命題成立，并在假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)n＝k＋2時(shí)命題成立，那么綜合上述，對(duì)于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．一切正整數(shù)命題成立B．一切正奇數(shù)命題成立 C．一切正偶數(shù)命題成立D．以上都不對(duì) 【解析】本題證的是對(duì)n＝1，3，5，7，…命題成立，即命題對(duì)一切正奇數(shù)成立． 【答案】B 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)

2、，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(　　) A．1＋＜2 B．1＋＋＜3 C．1＋＋＋＜3 D．1＋＋＜2 【解析】因n≥2，故應(yīng)驗(yàn)證n＝2，應(yīng)選D. 【答案】D 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明n的起始值n0應(yīng)取________． 【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，21＝12＋1； 當(dāng)n＝2時(shí)，22<22＋1；當(dāng)n＝3時(shí)，23<32＋1； 當(dāng)n＝4時(shí)，24<42＋1；而當(dāng)n＝5時(shí)，25>52＋1. ∴n0＝5. 【答案】5 4．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的自然數(shù)n都有(Sn－1)2＝anSn，通過計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn＝__

3、______． 【解析】由(S1－1)2＝S，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.猜想：Sn＝. 【答案】 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．歸納法 由一系列有限的__特殊事例__得出__一般性結(jié)論__的推理方法叫做歸納法． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 對(duì)某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的方法來證明它的正確性，先證明當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí)，命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立，這種證明方法叫做__數(shù)學(xué)歸納法__． 3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明步驟 (1)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟 一般地，證明

4、一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： ①(歸納奠基)證明當(dāng)n取__第一個(gè)值n0__時(shí)命題成立． ②(歸納遞推)假設(shè)__n＝k__(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，再證明當(dāng)__n＝k＋1__時(shí)命題也成立． 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以判定命題對(duì)從__n0__開始的所有正整數(shù)n都成立． (2)用框圖表示數(shù)學(xué)歸納法的步驟 　假設(shè)②__n＝k(k≥n0且k∈N*)__時(shí)結(jié)論成立， 推得③__n＝k＋1__時(shí)結(jié)論亦成立 　　　　　 典例剖析　【p94】 考點(diǎn)1　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)

5、＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 【解析】(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝f(1)＝1， 右邊＝2＝1，左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論仍然成立． 由(1)(2)可知f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈

6、N*)． 【點(diǎn)評(píng)】用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律；等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)；難點(diǎn)在于尋求等式中n＝k和n＝k＋1時(shí)之間的聯(lián)系． 考點(diǎn)2　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)． 【解析】(1)當(dāng)n＝2時(shí)，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2時(shí)命題成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)命題成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ >1＋＋

7、＋＋…＋ >1＋＋ ＝1＋＋＝1＋， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由(1)和(2)可知，對(duì)n≥2，n∈N*，不等式S2n>1＋都成立． 【點(diǎn)評(píng)】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的兩個(gè)問題： (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明． 考點(diǎn)3　用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題 設(shè)n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2. (1)求f(1)，f(2)，f(3)的值； (2)證明：對(duì)任意正整數(shù)n

8、，f(n)是8的倍數(shù)． 【解析】(1)代入求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368. (2)①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝8是8的倍數(shù)，命題成立. ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)命題成立，即f(k)＝3k＋7k－2是8的倍數(shù)， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝3k＋1＋7k＋1－2＝3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)， 因?yàn)?k＋1是偶數(shù)，所以4(7k＋1)是8的倍數(shù)， 又由歸納假設(shè)知3(3k＋7k－2)是8的倍數(shù)， 所以f(k＋1)是8的倍數(shù)， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 根據(jù)①②知命題對(duì)任意n∈N*成立． 考點(diǎn)4　歸納—猜想—證明 已知數(shù)列{a

9、n}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)． (1)試求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式； (2)證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式． 【解析】(1)∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， ∴Sn＝n2(Sn－Sn－1)， ∴Sn＝Sn－1(n≥2)． ∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝. (2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1，＝1等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，等式成立，即Sk＝. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝ak＋1＋Sk＝ak＋1＋， ∴ak＋1＝·＝， ∴Sk＋1＝(

10、k＋1)2·ak＋1＝(k＋1)2·＝＝， ∴n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 綜上①②知，對(duì)于任意n∈N＋，Sn＝都成立． 又ak＋1＝，∴an＝. 【點(diǎn)評(píng)】解決數(shù)學(xué)歸納法中“歸納—猜想—證明”問題及不等式證明時(shí)，有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注： (1)歸納整理不到位得不出正確結(jié)果，從而給猜想造成困難． (2)證明n＝k到n＝k＋1這一步時(shí)，忽略了假設(shè)條件去證明，造成使用的不是純正的數(shù)學(xué)歸納法． (3)不等式證明過程中，不能正確合理地運(yùn)用分析法、綜合法來求證． 另外需要熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法中幾種常見的推證技巧，只有這樣，才能快速正確地解決問題． 方法總結(jié)　　【p95】

11、 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法．它是一種完全歸納法，是對(duì)不完全歸納法的完善． 2．證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是第二步，將式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相同的形式——湊假設(shè)，然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論所需要的形式——湊結(jié)論． 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是第二步，利用證明不等式的方法(如放縮)把式子化為n＝k＋1成立時(shí)的式子． 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時(shí)，要注意結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)，在求由“n＝k到n＝k＋1”增加的元素個(gè)數(shù)時(shí)，可以先用不完全歸納法找其變化規(guī)律． 5．由有限個(gè)特殊事例進(jìn)行歸納、猜想，而得出一般性結(jié)論，然后加以證明是科學(xué)研究的重要思想方法

12、，研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，此方法尤為重要，如猜想數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn，解決與自然數(shù)有關(guān)的探索性、開放性問題等．猜想必須準(zhǔn)確，證明必須正確．既用到合情推理，又用到演繹推理．猜想的準(zhǔn)確與否可用證明來檢驗(yàn)，否則不妨再分析，再猜想，再證明，猜想是證明的前提，證明可論證猜想的可靠性，二者相輔相成． 走進(jìn)高考　　【p95】 1．(2017·浙江)已知數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)． 證明：當(dāng)n∈N*時(shí)， (1)0＜xn＋1＜xn； (2)2xn＋1－xn≤； (3)≤xn≤. 【解析】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：xn>0. 當(dāng)n＝1時(shí)，

13、x1＝1>0，假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，xk>0， 那么n＝k＋1時(shí)，若xk＋1≤0，則00， 因此xn>0(n∈N*)，所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1， 因此0xn＋1得xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)． 記函數(shù)f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)， 則f′(x)＝2x－2＋ln(1＋x)＋＝ln(1＋x)＋≥0， 所以函數(shù)f(x)在[0，

14、＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(0)＝0， 因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0， 2xn＋1－xn≤(n∈N*)． (3)因?yàn)閤n＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1， 所以xn≥，由(2)得≥2xn＋1－xn， －≥2， －≥2≥…≥2n－1＝2n－2， 故xn≤，≤xn≤(n∈N*)． 考點(diǎn)集訓(xùn)　　【p227】 A組題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋1)時(shí)，在第二步證明從n＝k到n＝k＋1成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．2k B．2k－1 C．2k－1 D．2

15、k＋1 【解析】因?yàn)?k＋1－1－2k＋1＝2k，所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)是2k. 【答案】A 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，n的初始值至少應(yīng)取(　　) A．7 B．8 C．9D．10 【解析】左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8. 【答案】B 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“＋＋…＋>(n>2)”的過程中，由n＝k到n＝k＋1(k>2)時(shí)，不等式的左邊(　　) A．增加了一項(xiàng) B．增加了兩項(xiàng)＋ C．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng) D．增加了兩項(xiàng)＋，又減少了一項(xiàng) 【解析】當(dāng)n＝k時(shí)左邊的代數(shù)式為＋＋…＋，共有k項(xiàng)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊的

16、代數(shù)式為＋＋…＋，共有k＋1項(xiàng)，故用n＝k＋1時(shí)左邊的代數(shù)式減去n＝k時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果＋－，即為不等式的左邊增加的項(xiàng)． 【答案】D 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“34n＋1＋52n＋1能被8整除”時(shí)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對(duì)于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為(　　) A．56·34k＋1＋25 B．34k＋1＋52k＋1 C．34×34k＋1＋52×52k＋1 D．25 【解析】當(dāng)n＝k＋1時(shí)，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34×34k＋1＋25×52k＋1＝56·34k＋1＋25，兩個(gè)表達(dá)式都能被8整除． 【答案】A 5．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>(n

17、>1，n∈N*)的過程中，用n＝k＋1時(shí)左邊的代數(shù)式減去n＝k時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果為__________. 【解析】n＝k時(shí)，不等式為＋＋…＋>，n＝k＋1時(shí)，不等式為＋＋…＋＋＋>，兩式相減后，左邊為＋－＝－. 【答案】－ 6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并給出證明． 【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，方程x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1， ∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 當(dāng)n＝2時(shí)，方程x2－a2x－a2＝0有一根為S

18、2－1＝a1＋a2－1＝a2－， ∴－a2－a2＝0，解得a2＝. (2)由題意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得 SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝. 由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝. 猜想Sn＝(n∈N*)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論． ①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝＝，結(jié)論成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＋1＝＝＝＝. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立． 由①②知Sn＝對(duì)任意的正整數(shù)n都成立． 7．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，

19、n∈N*. (1)當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系； (2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明． 【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)； 當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)

20、－ ＝－＝<0， 所以f(k＋1)<－＝g(k＋1)． 由①②可知，對(duì)一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立． B組題 1．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么，下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)<1成立，則f(10)<100成立 B．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立 【解析】∵f(k)≥k2成立時(shí)，f(k＋1)≥(k＋1)2成立，∴f(4)≥16

21、時(shí)，有f(5)≥52，f(6)≥62，…，f(k)≥k2成立． 【答案】D 2．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)．若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)＝______；當(dāng)n>4時(shí)，f(n)＝______(用n表示)． 【解析】f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5， f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1) ＝2＋3＋4＋…＋(n－1) ＝(n＋1)(n－2)(n>4)． 【答案】5；(n＋1)(n－2)(n>4) 3．設(shè)平面上n個(gè)圓周最多把平面分成f(n)片(平面區(qū)域)，則f(2)＝________，

22、f(n)＝________．(n≥1，n∈N*) 【解析】易知2個(gè)圓周最多把平面分成4片；n個(gè)圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1個(gè)圓周，為了得到盡可能多的平面區(qū)域，第n＋1個(gè)圓應(yīng)與前面n個(gè)圓都相交且交點(diǎn)均不同，有n條公共弦，其端點(diǎn)把第n＋1個(gè)圓周分成2n段，每段都把原來的每一片劃分成2片，共增加了2n片平面區(qū)域，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，從而f(n)＝n2－n＋2. 【答案】4；n2－n＋2 4．已知點(diǎn)Pn(an，bn)滿足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，－1)． (

23、1)求過點(diǎn)P1，P2的直線l的方程； (2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于n∈N*，點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上． 【解析】(1)由題意得a1＝1，b1＝－1， b2＝＝，a2＝1×＝， ∴P2. ∴直線l的方程為＝， 即2x＋y＝1. (2)①當(dāng)n＝1時(shí)， 2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，2ak＋bk＝1成立． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立． 由①②知，對(duì)于n∈N*，都有2an＋bn＝1，即點(diǎn)Pn都在直線l上． 11