（浙江專用）2020高考數(shù)學二輪復習 專題六 計數(shù)原理與古典概率 第2講 古典概率與離散型隨機變量的分布列、均值和方差專題強化訓練

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1、第2講 古典概率與離散型隨機變量的分布列、均值和方差 專題強化訓練 [基礎達標] 1．某同學求得一離散型隨機變量的分布列為 X 0 1 2 P 0.2 0.3 3a－1 則a的值為(　　) A．0.3　　　B．0.4　　　C．0.5　　　D．0.6 解析：選C.由分布列性質(zhì)得0.2＋0.3＋3a－1＝1， 所以a＝0.5，故選C. 2．袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，取出白球的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.從15個球中任取一球有15種取法，取出白球有6種，所以取出白球的概率P＝＝.

2、 3．設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于(　　) A．0 B. C. D. 解析：選C.設X的分布列為 X 0 1 P p 2p 即“X＝0”表示試驗失敗，“X＝1”表示試驗成功，由p＋2p＝1，得p＝，故應選C. 4．(2019·嘉興市一中高考適應性考試)隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝(　　) X 0 2 a P p A.2 B．3 C．4 D．5 解析：選C.由題意可得：＋p＋＝1，解得p＝，因為E(X)＝2

3、，所以0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3. D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.D(2X－3)＝4D(X)＝4.故選C. 5．若隨機變量X的分布列為，其中C為常數(shù)，則下列結論正確的是(　　) A．E(X)＝D(X)＝0 B．E(X)＝C，D(X)＝0 C．E(X)＝0，D(X)＝C D．E(X)＝D(X)＝C 解析：選B.E(X)＝C×1＝C，D(X)＝(E(X)－C)2×1＝0，故選B. 6．設隨機變量Y的分布列如下表： Y －1 2 3 P m 則“≤Y≤”的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.

4、依題意知，＋m＋＝1，則m＝. 故P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝. 7．已知M＝{1，2，3，4}，若a∈M，b∈M，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選A.記事件A為“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)”． 因為f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1.當函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)時，f′(x)≥0在R上恒成立． 又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥. 當b＝1時，有a≥，故a可取1，2，3

5、，4，共4個數(shù)； 當b＝2時，有a≥，故a可取2，3，4，共3個數(shù)； 當b＝3時，有a≥3，故a可取3，4，共2個數(shù)； 當b＝4時，有a≥，故a無值可?。? 綜上，事件A包含的基本事件有 4＋3＋2＝9(個)． 又a, b∈{1，2，3，4}，所以所有的基本事件共有4×4＝16(個)．故所求事件A的概率為P(A)＝.故選A. 8．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c∈(0，1))．已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為2(不計其他得分情況)，則ab的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由題

6、意知該運動員投籃一次得分的數(shù)學期望為E＝0×c＋2×b＋3×a＝3a＋2b＝2.由均值不等式知3a＋2b≥2， 所以2≤2，即ab≤. 9．一個射箭運動員在練習時只記射中9環(huán)和10環(huán)的成績，未射中9環(huán)或10環(huán)就以0環(huán)記，該運動員在練習時射中10環(huán)的概率為a，射中9環(huán)的概率為b，即未射中9環(huán)也未射中10環(huán)的概率為c(a，b，c∈[0，1))，如果已知該運動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)，則當＋取最小值時，c的值為(　　) A. B. C. D．0 解析：選A.由該運動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)得10a＋9b＝9，所以＋＝＝＋10， 當且僅當＝，即a＝9b時，

7、＋取得最小值，解得此時c＝1－a－b＝1－－＝. 10．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次．一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止，設學生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學期望E(X)>，則p的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C.由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<，又由p∈(0, 1)可得p∈(0，

8、)． 11．(2019·浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)已知隨機變量X的分布列是： X 0 1 2 P m 則m＝________，E(X)＝________． 解析：因為＋＋m＝1，所以m＝.所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 答案：　 12．(2019·浙江新高考沖刺卷)某中學的十佳校園歌手有6名男同學，4名女同學，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個班，現(xiàn)從10名同學中隨機選擇3名參加文藝晚會，則選出的3名同學來自不同班級的概率為________，設X為選出3名同學中女同學的人數(shù)，則該變量X的數(shù)學期望為________． 解析：設“選出的3名同學是來自互不

9、相同班級”為事件A，則P(A)＝＝. 隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)． 所以隨機變量X的分布列是： X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝. 答案：　 13．從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有________種，記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數(shù)為X，則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝________． 解析：①從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC＝48. ②X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝

10、. X的分布列為： X 0 1 2 P E(X)＝0＋1×＋2×＝. 答案：48　 14．隨機變量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝，則D(ξ)的值是________． 解析：由題意可得 解得 所以D(ξ)＝×＋×＋×＝. 答案： 15．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一點，O為坐標原點，則直線OA與拋物線y＝x2＋1有交點的概率是________． 解析：易知過點(0，0)與拋物線y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0

11、的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4個，由古典概型的概率計算公式知概率為P＝＝. 答案： 16．將兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝________． 解析：將兩封信投入A，B，C三個空郵箱，投法種數(shù)是32＝9， A中沒有信的投法種數(shù)是2×2＝4，概率為； A中僅有一封信的投法種數(shù)是C×2＝4，概率為； A中有兩封信的投法種數(shù)是1，概率為. 故A郵箱的信件數(shù)ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝. 答案： 17．(2019·溫州市高考模擬)袋中有6個編號不

12、同的黑球和3個編號不同的白球，這9個球的大小及質(zhì)地都相同，現(xiàn)從該袋中隨機摸取3個球，則這三個球中恰有兩個黑球和一個白球的方法總數(shù)是________，設摸取的這三個球中所含的黑球數(shù)為X，則P(X＝k)取最大值時，k的值為________． 解析：袋中有6個編號不同的黑球和3個編號不同的白球，這9個球的大小及質(zhì)地都相同，現(xiàn)從該袋中隨機摸取3個球，則這三個球中恰有兩個黑球和一個白球的方法總數(shù)是： n＝CC＝45. 設摸取的這三個球中所含的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以P(X＝k)取最大

13、值時，k的值為2. 答案：45　2 18．(2019·湖州市高三期末考試)袋中裝有9個形狀大小相同但顏色不同的小球，其中紅色、藍色、黃色球各3個，現(xiàn)從中隨機地連取3次球，每次取1個，記事件A為“3個球都是紅球”，事件B為“3個球顏色不全相同”． (1)若每次取球后不放回，分別求出事件A和事件B的概率(用數(shù)字作答)； (2)若每次取球后放回，分別求出事件A和事件B的概率(用數(shù)字作答)． 解：(1)袋中裝有9個形狀大小相同但顏色不同的小球，其中紅色、藍色、黃色球各3個，現(xiàn)從中隨機地連取3次球，每次取1個，記事件A為“3個球都是紅球”，事件B為“3個球顏色不全相同”， 每次取后不放回，基

14、本事件總數(shù)n＝9×8×7＝504， 事件A包含的基本事件個數(shù)mA＝3×2×1＝6， 事件B的對立事件是“3個球顏色全相同”， 所以事件A的概率P(A)＝＝ 事件B的概率P(B)＝1－＝. (2)每次取后放回，基本事件總數(shù)n′＝9×9×9＝729，事件A包含的基本事件個數(shù)mA′＝3×3×3＝27， 事件B的對立事件是“3個球顏色全相同”， 所以事件A的概率P(A)＝＝＝. 事件B的概率P(B)＝1－＝. 19．(2019·浙江金華十校期末調(diào)研)甲、乙同學參加學?！耙徽镜降住标J關活動，活動規(guī)則：①依次闖關過程中，若闖關成功則繼續(xù)答題；若沒通關則被淘汰；②每人最多闖3關；③闖第一關

15、得10分，闖第二關得20分，闖第三關得30分，一關都沒過則沒有得分．已知甲每次闖關成功的概率為，乙每次闖關成功的概率為. (1)設乙的得分總數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望； (2)求甲恰好比乙多30分的概率． 解：(1)ξ的取值為0，10，30，60. P(ξ＝0)＝1－＝，P(ξ＝10)＝×(1－)＝，P(ξ＝30)＝××(1－)＝，P(ξ＝60)＝()3＝. 則ξ的分布列如下表： ξ 0 10 30 60 P E(ξ)＝0×＋10×＋30×＋60×＝. (2)設甲恰好比乙多30分為事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分為事件B1，甲恰好得60分且乙恰

16、好得30分為事件B2，則A＝B1∪B2，B1、B2為互斥事件． P(A)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝()2××＋()3×＝. 所以，甲恰好比乙多30分的概率為. [能力提升] 1．某射擊運動員在一次射擊比賽中所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，則y的值為(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 解析：選C.由題意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，兩式聯(lián)立解得y＝0.2. 2．若p為非負實數(shù)，隨機變量ξ

17、的分布列為 ξ 0 1 2 P －p p 則E(ξ)的最大值為(　　) A．1 B. C. D．2 解析：選B.由，得0≤p≤，E(ξ)＝p＋1≤. 3．設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，則D(X)等于(　　) A．5 B．8 C．10 D．16 解析：選B.因為E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6， 所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 4．已知離散型隨機變量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，則a，b的值分別為(　　) X －1 0 1 2 P a

18、 b c A.， B.， C.， D.， 解析：選A.由題意知a＋b＋c＝，－a＋c＋＝0，(－1)2a＋12c＋22×＝1，解得a＝，b＝. 5．設擲1枚骰子的點數(shù)為ξ，則(　　) A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ 解析：選B.隨機變量ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 6 P 從而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5， D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)

19、2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝. 6．如圖，將一個各面都凃了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B.依題意得X的取值可能為0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 7．(2019·杭州高考二模)已知隨機變量ξ的概率分布列為： ξ 0 1 2 P 則E(ξ)＝________，D(ξ)＝______

20、__． 解析：由隨機變量ξ的概率分布列，知 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1， D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝. 答案：1　 8．在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)X的分布列為________． 解析：X的所有可能值為0，1，2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 答案： X 0 1 2 P 9.在集合A＝{2，3}中隨機取一個元素m，在集合B＝{1，2，3}

21、中隨機取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________． 解析：點P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6種情況，只有(2，1)，(2，2)這2種情況滿足在圓x2＋y2＝9內(nèi)部，所以所求概率為＝. 答案： 10．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，a，b，c∈(0，1)，已知他投籃得分的數(shù)學期望是2，則＋的最小值為________． 解析：由數(shù)學期望的定義可知3a＋2b＝2， 所以＋＝(3a＋2b)· ＝≥＝， 當且僅當＝即a＝，b＝時取得等號． 答案

22、： 11．在某項大型活動中，甲、乙等五名志愿者被隨機地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者． (1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率； (2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率； (3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務的概率． 解：(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務”為事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率是. (2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務”為事件E，那么P(E)＝＝， 所以甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是 P()＝1－P(E)＝. (3)有兩人同時參加A崗位服務的概率P2＝＝，所以僅有一人參加

23、A崗位服務的概率P1＝1－P2＝. 12．小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊．游戲規(guī)則為：以O為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)，這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X＝0就參加學校合唱團，否則就參加學校排球隊． (1)求小波參加學校合唱團的概率； (2)求X的分布列． 解：(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有C＝28(種)，當X＝0時，兩向量夾角為直角，共有8種情形，所以小波參加學校合唱團的概率為P(X＝0)＝＝. (2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為－2，－1，0，1，X＝－2時，

24、有2種情形；X＝1時，有8種情形；X＝－1時，有10種情形．所以X的分布列為 X －2 －1 0 1 P 13.某小組共10人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會． (1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望與方差． 解：(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以，事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2. P(X＝0)＝＝，

25、 P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以，隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 P 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 方差D(X)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝. 14．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 解：(1)X的取值為0，1，2，3，4，其分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5， D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2， 又E(Y)＝aE(X)＋b， 所以當a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 當a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， 所以或 - 13 -