高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 64 條件概率與事件的獨(dú)立性學(xué)案 理
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第六十四課時(shí) 條件概率與事件的獨(dú)立 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.理解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念； 2.掌握n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布的概念； 3.掌握二項(xiàng)分布的含義，會(huì)從實(shí)際問題中抽象出二項(xiàng)分布模型． 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1． 條件概率及其性質(zhì) 條件概率的定義 條件概率公式 對于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“ ”表示 P(B|A)＝ ，其中P(A)>0，A∩B稱為事件A與B的交(或積). 2． 事件的獨(dú)立性 (1)相互獨(dú)立的定義： 事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率 ，即 ，這時(shí)，稱兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件． (2)概率公式： 條件 公式 A，B相互獨(dú)立 P(A∩B)＝ A1，A2，…，An相互獨(dú)立 P(A1∩A2∩…∩An)＝ 3． 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)： ①定義：在 的條件下，重復(fù)地做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果 ，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)． ②概率公式：在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝ (k＝0,1,2，…，n)． (2)二項(xiàng)分布： 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)用X表示，事件A不發(fā)生的概率為q＝1－p，則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X＝k)＝ ，其中k＝0,1,2，…，n.于是X的分布列： X 0 1 … k … n P … … 此時(shí)稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～ . 預(yù)習(xí)自測 1． 如圖所示的電路，有a，b，c三個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)開或關(guān)的概率都是， 且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為________． 2． 某次知識(shí)競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級下一輪的概率為________． 3． 某一部件由三個(gè)電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為________． 4． 把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)正面”為事件B，則P(B|A)等于 ( ) A. B. C. D. 5． 如果X～B，則使P (X＝k)取最大值的k值為 ( ) A．3 B．4 C．5 D．3或4 課堂探究案 典型例題 考點(diǎn)1 條件概率 【典例1】在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一 件，則在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率為________． 【變式1】如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將 一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH 內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則 (1)P(A)＝________； (2)P(B|A)＝________. 考點(diǎn)2 相互獨(dú)立事件的概率 【典例2】甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2 次均未命中的概率為. (1)求乙投球的命中率p； (2)求甲投球2次，至少命中1次的概率； (3)若甲、乙兩人各投球2次，求共命中2次的概率． 【變式2】紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立． (1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率； (2)用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 考點(diǎn)3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 【典例3】某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算：(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位) (1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率； (2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率； (3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率． 【變式3】某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響． (1)任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率； (2)任選3名下崗人員，記X為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求X的分布列． 當(dāng)堂檢測 1．從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于 ( ) A. B. C. D. 2． 如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為( ) A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 3．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為( ) A. B. C. D. 4． 已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B(6，)，則P(X＝2)等于 ( ) A. B. C. D. 5． 明天上午李明要參加奧運(yùn)志愿者活動(dòng)，為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己．假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率為0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是________． 課后拓展案 A組全員必做題 1． 某種元件的使用壽命超過1年的概率為0.6，使用壽命超過2年的概率為0.3，則使用壽命超過1年的元件還能繼續(xù)使用的概率為 ( ) A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．1 2． 位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右移?dòng)的概率都是.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是( ) A.5 B．C5 C．C3 D．CC5 3． 兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為 ( ) A. B. C. D. 4． 在一段線路中并聯(lián)兩個(gè)自動(dòng)控制的常用開關(guān)，只要其中有一個(gè)開關(guān) 能夠閉合，線路就能正常工作．假定在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉 合的概率都是0.7，則這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率為_______． 5． 某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為________． 6． 市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到一個(gè)是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是______． B組提高選做題 1.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的編號) ①P(B)＝； ②P(B|A1)＝； ③事件B與事件A1相互獨(dú)立； ④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件； ⑤P(B)的值不能確定，因?yàn)樗cA1，A2，A3中究竟哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)． 2．某籃球隊(duì)與其他6支籃球隊(duì)依次進(jìn)行6場比賽，每場均決出勝負(fù)，設(shè)這支籃球隊(duì)與其他籃球隊(duì)比賽勝場的事件是獨(dú)立的，并且勝場的概率是. (1)求這支籃球隊(duì)首次勝場前已經(jīng)負(fù)了兩場的概率； (2)求這支籃球隊(duì)在6場比賽中恰好勝了3場的概率． 3.某公司是否對某一項(xiàng)目投資，由甲、乙、丙三位決策人投票決定，他們?nèi)硕加小巴狻?、“中立”、“反對”三類票各一張，投票時(shí)，每人必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，他們的投票相互沒有影響，規(guī)定：若投票結(jié)果中至少有兩張“同意”票，則決定對該項(xiàng)目投資；否則，放棄對該項(xiàng)目的投資． (1)求該公司決定對該項(xiàng)目投資的概率； (2)求該公司放棄對該項(xiàng)目投資且投票結(jié)果中最多有一張“中立”票的概率． 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1． 【答案】 【解析】理解事件之間的關(guān)系，設(shè)“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則燈亮應(yīng)為事件AC，且A，C，之間彼此獨(dú)立，且P(A)＝P()＝P(C)＝. 所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝. 2．【答案】0.128 【解析】依題意可知，該選手的第二個(gè)問題必答錯(cuò)，第三、四個(gè)問題必答對，故該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級下一輪的概率P＝10.20.80.8＝0.128. 3．【答案】 【解析】設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)＝P(B)＝P(C)＝， ∴該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件為(＋＋AB)C， ∴該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率 P＝＝. 4． 【答案】 A 【解析】 P(B|A)＝＝＝. 5． 【答案】 D 【解析】 ∵P(X＝3)＝C312，P(X＝4)＝C411， P(X＝5)＝C510，從而易知P(X＝3)＝P(X＝4)>P(X＝5)． 典型例題 【典例1】【答案】 【解析】方法一 設(shè)A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，則P(AB)＝， 所以P(B|A)＝＝＝. 方法二 第一次取到不合格品后還剩余99件產(chǎn)品，其中有4件不合格品， 故第二次取到不合格品的概率為. 【變式1】【答案】（1）；（2） 【解析】(1)由題意可得，事件A發(fā)生的概率 P(A)＝＝＝. (2)事件AB表示“豆子落在△EOH內(nèi)”， 則P(AB)＝＝＝. 故P(B|A)＝＝＝. 【典例2】【解】 (1)方法一 設(shè)“甲投一次球命中”為事件A，“乙投一次球命中”為事件B. 由題意得[1－P(B)]2＝(1－p)2＝， 解得p＝或p＝(舍去)， 所以乙投球的命中率為. 方法二 設(shè)“甲投一次球命中”為事件A，“乙投一次球命中”為事件B. 由題意得：P()P()＝， 于是P()＝或P()＝－(舍去)． 故p＝1－P()＝. 所以乙投球的命中率為. (2)方法一 由題設(shè)知，P(A)＝，P()＝. 故甲投球2次，至少命中1次的概率為 1－P()＝. 方法二 由題設(shè)知，P(A)＝，P()＝. 故甲投球2次，至少命中1次的概率為 CP(A)P ()＋P(A)P(A)＝. (3)由題設(shè)和(1)知， P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝. 甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次． 概率分別為CP(A)P()CP(B)P()＝， P(A)P (A)P()P()＝， P()P()P(B)P(B)＝. 所以甲、乙兩人各投球2次，共命中2次的概率為 ＋＋＝. 【變式2】解 (1)設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則，，分別表示甲不勝A，乙不勝B，丙不勝C的事件． 因?yàn)镻(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5， 由對立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5， P()＝0.5. 紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有DE，DF，EF，DEF. 由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立， 因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為 P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF) ＝0.60.50.5＋0.60.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.55. (2)由題意知ξ可能的取值為0,1,2,3. 又由(1)知 F，E，D 是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立， 因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.40.50.5＝0.1， P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D ) ＝0.40.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5 ＝0.35， P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.60.50.5＝0.15. 由對立事件的概率公式得 P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E(ξ)＝00.1＋10.35＋20.4＋30.15＝1.6. 【典例3】解 令X表示5次預(yù)報(bào)中預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的次數(shù)，則X～B，故其分布列為P(X＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)． (1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X＝2)＝C23＝10≈0.05. (2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C05－C4＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99. (3)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的概率為C3≈0.02. 【變式3】解 (1)任選1名下崗人員，記“該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件A，“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件B，由題設(shè)知，事件A與B相互獨(dú)立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75. 所以，該下崗人員沒有參加過培訓(xùn)的概率是 P( )＝P()P()＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1. ∴該人參加過培訓(xùn)的概率為1－0.1＝0.9. (2)因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的，所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布X～B(3,0.9)， P(X＝k)＝C0.9k0.13－k，k＝0,1,2,3， ∴X的分布列是 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 當(dāng)堂檢測 1．【答案】B 【解析】P(A)＝＝，P(AB)＝＝， P(B|A)＝＝. 2． 【答案】B 【解析】 方法一 由題意知K，A1，A2正常工作的概率分別為P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8， ∵K，A1，A2相互獨(dú)立， ∴A1，A2至少有一個(gè)正常工作的概率為P(A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)0.8＋0.8(1－0.8)＋0.80.8＝0.96. ∴系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[P(A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.90.96＝0.864. 方法二 A1，A2至少有一個(gè)正常工作的概率為1－P(1 2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[1－P(1 2)]＝0.90.96＝0.864. 3【答案】D 【解析】甲隊(duì)若要獲得冠軍，有兩種情況，可以直接勝一局，獲得冠軍，概率為，也可以乙隊(duì)先勝一局，甲隊(duì)再勝一局，概率為＝，故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為＋＝. 4．【答案】 D 【解析】 P(X＝2)＝C(24＝. 5．【答案】 0.98 【解析】 1－(1-0.80)(1-0.90)＝1－0.02＝0.98. A組全員必做題 1． 【答案】 B 【解析】 設(shè)事件A為“該元件的使用壽命超過1年”，B為“該元件的使用壽命超過2年”，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.3. 因?yàn)锽?A，所以P(AB)＝P(B)＝0.3，于是P(B|A)＝＝＝0.5. 2．【答案】 B 3．【答案】B 【解析】設(shè)事件A：甲實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品； 事件B：乙實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品， 則P(A)＝，P(B)＝， 所以這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝＋＝. 4． 【答案】 0.91 【解析】線路不能正常工作的概率為P( )＝P()P()＝(1－0.7)(1－0.7)＝0.09. ∴能夠正常工作的概率為1－0.09＝0.91. 5．【答案】 【解析】 設(shè)該隊(duì)員每次罰球的命中率為p(其中0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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