高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 學(xué)業(yè)分層測評10 一般形式的柯西不等式 新人教A版選修4-5

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 學(xué)業(yè)分層測評10 一般形式的柯西不等式 新人教A版選修4-5 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．設(shè)a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最大值是(　　) A．1 B. C．3 D.9 【解析】　由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤31＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號成立． ∴＋＋的最大值為.故選B. 【答案】　B 2．設(shè)a，b，c是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝9，則＋＋的最小值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：32750054】 A．4 B．3 C．6 D.2 【解析】　∵(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2] ≥ 2＝18. ∴＋＋≥2. 【答案】　D 3．設(shè)a1，a2，…，an為實(shí)數(shù)，P＝，Q＝，則P與Q的大小關(guān)系為(　　) A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D.不確定 【解析】　由柯西不等式知 ≥a1＋a2＋…＋an， ∴≥a1＋a2＋…＋an， 即得≥，∴P≥Q. 【答案】　B 4．若實(shí)數(shù)x＋y＋z＝1，則F＝2x2＋y2＋3z2的最小值為(　　) A．1　　　　B．6 C．11　　　　D. 【解析】　∵(2x2＋y2＋3z2)≥x＋y1＋z＝(x＋y＋z)2＝1， ∴2x2＋y2＋3z2≥＝，即F≥，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)＝3z時(shí)，取等號． 【答案】　D 5．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，則＋＋的最小值為(　　) A．24　　　　B．30　　　　C．36　　　　D．48 【解析】　(x＋y＋z) ≥2＝36， ∴＋＋≥36. 【答案】　C 二、填空題 6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，則(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是__________． 【解析】　由柯西不等式得：(4＋4＋1)[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2， ∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2. ∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥， ∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是. 【答案】　 7．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為________． 【解析】　∵a＋2b＋3c＝6，∴1a＋12b＋13c＝6. ∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即a＝2，b＝1，c＝時(shí)取等號． 【答案】　12 8．設(shè)x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，則3x－y－2z的取值范圍是__________．又3x－y－2z取最小值時(shí)，x的值為__________． 【解析】　[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2][32＋(－1)2＋ (－2)2]≥(3x－3－y－2－2z)2,414≥(3x－y－2z－5)2， ∴－2≤3x－y－2z－5≤2， 即5－2≤3x－y－2z≤5＋2. 若3x－y－2z＝5－2，又＝＝＝t， ∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－2， ∴t＝－，∴x＝－＋1. 【答案】　[5－2，5＋2]　－＋1 三、解答題 9．已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝1. (1)求證：＋＋≥； (2)求4x＋4y＋4z2的最小值． 【解】　(1)證明：(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥＋＋＝1， 即3≥1， ∴＋＋≥. (2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥3， 因?yàn)閤＋y＋z＝1， 所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝2＋≥， 故4x＋4y＋4z2≥3＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝，z＝時(shí)等號成立， 所以4x＋4y＋4z2的最小值為3. 10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系數(shù)均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：對于任何正數(shù)x1，x2，當(dāng)x1x2＝1時(shí)，必有f(x1)f(x2)≥1. 【證明】　由于f(x)＝ax2＋bx＋c， 且a，b，c大于0， ∴f(x1)f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c) ≥(x1x2＋＋c)2 ＝(ax1x2＋b＋c)2 ＝[f()]2＝[f(1)]2. 又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1， ∴f(x1)f(x2)≥1. [能力提升] 1．若2a＞b＞0，則a＋的最小值為(　　) A．1 B．3 C．8 D.12 【解析】　∵2a＞b＞0，∴2a－b＞0， ∴a＋＝ ≥3＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)2a－b＝b＝，即a＝b＝2時(shí)等號成立， ∴當(dāng)a＝b＝2時(shí)，a＋有最小值3. 【答案】　B 2．設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，則＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝＝時(shí)取等號，因此有＝. 【答案】　C 3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，則＋＋的最大值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：32750055】 【解析】　由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1＋1＋1)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(26＋4)＝48. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝， 即2a＝2b＋1＝2c＋3時(shí)等號成立． 又a＋b＋c＝6，∴a＝，b＝，c＝時(shí)， ＋＋取得最大值4. 【答案】　4 4．△ABC的三邊長為a，b，c，其外接圓半徑為R. 求證：(a2＋b2＋c2)≥36R2. 【證明】　由三角形中的正弦定理，得 sin A＝，所以＝， 同理＝，＝， 于是由柯西不等式可得 左邊＝(a2＋b2＋c2) ≥2＝36R2， ∴原不等式得證．