高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 學業(yè)分層測評10 復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義 新人教A版選修1-2

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 學業(yè)分層測評10 復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義 新人教A版選修1-2 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的結果為(　　) A．5－3i　 B．3＋5i C．7－8i D．7－2i 【解析】　(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i) ＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i ＝7－8i. 【答案】　C 2．在復平面內，復數(shù)1＋i和1＋3i分別對應向量和，其中O為坐標原點，則||＝(　　) A. B．2 C. D．4 【解析】　由復數(shù)減法運算的幾何意義知， 對應的復數(shù)為(1＋3i)－(1＋i)＝2i， ∴||＝2. 【答案】　B 3．復數(shù)z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它們的和為實數(shù)，差為純虛數(shù)，則實數(shù)a，b的值為(　　) A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4 C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4 【解析】　由題意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是實數(shù)，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是純虛數(shù)，故 解得a＝－3，b＝－4. 【答案】　A 4．(2016石家莊高二檢測)A，B分別是復數(shù)z1，z2在復平面內對應的點，O是原點，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則△AOB一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 【解析】　根據(jù)復數(shù)加(減)法的幾何意義，知以，為鄰邊所作的平行四邊形的對角線相等，則此平行四邊形為矩形，故△AOB為直角三角形． 【答案】　B 5．設z＝3－4i，則復數(shù)z－|z|＋(1－i)在復平面內的對應點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】　∵z＝3－4i， ∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i ＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i. 【答案】　C 二、填空題 6．計算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝_______________________. 【導學號：19220046】 【解析】　原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i. 【答案】　16i 7．z為純虛數(shù)且|z－1－i|＝1，則z＝________. 【解析】　設z＝bi(b∈R且b≠0)，|z－1－i|＝|－1＋(b－1)i|＝＝1，解得b＝1， ∴z＝i. 【答案】　i 8．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，則|z－z1|的最大值為________． 【解析】　|z|＝1，即|OZ|＝1，∴滿足|z|＝1的點Z的集合是以(0,0)為圓心，以1為半徑的圓，又復數(shù)z1＝2(1－i)在坐標系內對應的點為(2，－2)．故|z－z1|的最大值為點Z1(2，－2)到圓上的點的最大距離，即|z－z1|的最大值為2＋1. 【答案】　2＋1 三、解答題 9．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i，(a，b∈R)，且z1－z2＝4，求復數(shù)z＝a＋bi. 【解】　z1－z2＝－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i， ∴ 解得 ∴z＝2＋i. 10．如圖323，已知復數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復平面上的對應點是一個正方形ABCD的三個頂點A，B，C，求這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù)． 圖323 【解】　法一：設正方形的第四個點D對應的復數(shù)為 x＋yi(x，y∈R)， ∴＝－對應的復數(shù)為 (x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i， ＝－對應的復數(shù)為 (－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. ∵＝， ∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， 即解得 故點D對應的復數(shù)為2－i. 法二：∵點A與點C關于原點對稱， ∴原點O為正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0， ∴x＝2，y＝－1，故點D對應的復數(shù)為2－i. [能力提升] 1．(2016昆明高二檢測)實數(shù)x，y滿足z1＝y(tǒng)＋xi，z2＝y(tǒng)i－x，且z1－z2＝2，則xy的值是(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 【解析】　z1－z2＝(y＋xi)－(－x＋yi)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2， ∴ ∴x＝y(tǒng)＝1，∴xy＝1. 【答案】　A 2．△ABC的三個頂點對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，若復數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點為△ABC的(　　) 【導學號：19220047】 A．內心 B．垂心 C．重心 D．外心 【解析】　由已知z對應的點到z1，z2，z3對應的點A，B，C的距離相等．所以z對應的點為△ABC的外心． 【答案】　D 3．已知|z|＝2，則|z＋3－4i|的最大值是________． 【解析】　由|z|＝2知復數(shù)z對應的點在圓x2＋y2＝4上，圓心為O(0,0)，半徑r＝2. 而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示復數(shù)z對應的點與M(－3,4)之間的距離，由于|OM|＝5， 所以|z＋3－4i|的最大值為|OM|＋r＝5＋2＝7. 【答案】　7 4．在復平面內，A，B，C三點分別對應復數(shù)1,2＋i，－1＋2i. (1)求，，對應的復數(shù)； (2)判斷△ABC的形狀． 【解】　(1)∵A，B，C三點對應的復數(shù)分別為1,2＋i，－1＋2i. ∴，，對應的復數(shù)分別為1,2＋i，－1＋2i(O為坐標原點)， ∴＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)． ∴＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)， ＝－＝(－3,1)． 即對應的復數(shù)為1＋i，對應的復數(shù)為－2＋2i，對應的復數(shù)為－3＋i. (2)∵||＝＝，||＝＝， ||＝＝， ∴||2＋||2＝10＝||2. 又∵||≠||， ∴△ABC是以角A為直角的直角三角形.