高中數(shù)學 4_2 曲線的極坐標方程 5 常見曲線的極坐標方程學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 4.2 曲線的極坐標方程 5 常見曲線的極坐標方程學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時：45分鐘) 學業(yè)達標] 1．極坐標方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是什么？ 【解】　由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以極點為圓心，半徑為1的圓，θ＝π表示以極點為起點與Ox反向的射線． 2．在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1與ρ(sin θ－cos θ)＝1的交點的極坐標． 【解】　曲線ρ(cos θ＋sin θ)＝1與ρ(sin θ－cos θ)＝1的直角坐標方程分別為x＋y＝1和y－x＝1，兩條直線的交點的直角坐標為(0,1)，化為極坐標為(1，)． 3．在極坐標系中，圓ρ＝4sin θ的圓心到直線θ＝(ρ∈R)的距離． 【解】　極坐標系中的圓ρ＝4sin θ轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系中的一般方程為：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圓心為(0,2)，直線θ＝轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系中的方程為y＝x，即x－3y＝0. ∴圓心(0,2)到直線x－3y＝0的距離為＝. 4．已知A是曲線ρ＝3cos θ上任意一點，則點A到直線ρcos θ＝1距離的最大值和最小值分別為多少？ 【解】　將極坐標方程ρ＝3cos θ轉(zhuǎn)化成直角坐標方程： x2＋y2＝3x， 即2＋y2＝. ρcos θ＝1即x＝1，直線與圓相交，所以所求距離的最大值為2，最小值為0. 圖423 5．如圖423，點A在直線x＝5上移動，等腰三角形OPA的頂角∠OPA＝120(O、P、A按順時針方向排列)，求點P的軌跡方程． 【解】　取O為極點，x軸正半軸為極軸正方向建立極坐標系，則直線x＝5的極坐標方程為ρcos θ＝5. 設P、A的坐標依次為(ρ，θ)，(ρ0，θ0)， 則ρ0＝ρ，θ0＝θ－30. 代入直線的極坐標方程ρcos θ＝5，得ρcos(θ－30)＝5，即為點P的軌跡方程． 6．在極坐標系中，已知圓C的圓心C，半徑r＝3. (1)寫出圓C的極坐標方程； (2)若點Q在圓C上運動，點P在OQ的延長線上，且OQ∶QP＝3∶2，求動點P的軌跡方程． 【導學號：98990014】 【解】　(1)圓C的極坐標方程為ρ＝6cos. (2)設P的坐標為(ρ，θ)，因為P在OQ的延長線上，且OQ∶QP＝3∶2，所以點Q的坐標為，因為點Q在圓C上運動，所以ρ＝6cos，即ρ＝10cos，故點P的軌跡方程為ρ＝10cos. 7．已知圓M的極坐標方程為ρ2－4ρcos＋6＝0，求ρ的最大值． 【解】　原方程化為ρ2－4ρ(cos θ＋sin θ)＋6＝0. 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0 ∴圓的直角坐標方程為x2＋y2－4x－4y＋6＝0， 圓心M(2,2)，半徑為， ∴ρmax＝OM＋＝2＋＝3. 能力提升] 8．(江蘇高考)在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點P，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點，求圓C的極坐標方程． 【解】　在ρsin(θ－)＝－中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圓C的圓心坐標為(1,0)． 因為圓C經(jīng)過點P(，)， 所以圓C的半徑 PC＝＝1， 于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ.