高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)15 專題5 突破點15 圓錐曲線中的綜合問題 理

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專題限時集訓(xùn)(十五)　圓錐曲線中的綜合問題 建議用時：45分鐘] 1．(2016中原名校聯(lián)盟二模)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點B(0，)為短軸的一個端點，∠OF2B＝60. 圖153 (1)求橢圓C的方程； (2)如圖153，過右焦點F2，且斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于D，E兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AD分別交直線x＝3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′.試問kk′是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由． 解]　(1)由條件可知a＝2，b＝，故所求橢圓方程為＋＝1.4分 (2)設(shè)過點F2(1,0)的直線l的方程為y＝k(x－1)． 由可得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.5分 因為點F2(1,0)在橢圓內(nèi)，所以直線l和橢圓都相交，即Δ＞0恒成立．設(shè)點E(x1，y1)，D(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝.6分 因為直線AE的方程為y＝(x－2)，直線AD的方程為y＝(x－2)， 令x＝3，可得M，N，所以點P的坐標.8分 直線PF2的斜率為k′＝ ＝＝ ＝＝－， 所以kk′為定值－.12分 2．(2016衡水二模)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋12＝0相切． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)A(－4,0)，過點R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P，Q兩點，連接AP，AQ分別交直線x＝于M，N兩點，若直線MR，NR的斜率分別為k1，k2，試問：k1k2是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：85952057】 解]　(1)由題意得∴故橢圓C的方程為＋＝1.4分 (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為x＝my＋3，由∴(3m2＋4)y2＋18my－21＝0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝.6分 由A，P，M三點共線可知＝，∴yM＝.8分 同理可得yN＝，∴k1k2＝＝＝.10分 ∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7)＝m2y1y2＋7m(y1＋y2)＋49，∴k1k2＝＝－.12分 ∴k1k2為定值－. 3．(2016太原一模)已知橢圓M：＋＝1(a＞0)的一個焦點為F(－1,0)，左、右頂點分別為A，B.經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C，D兩點． (1)求橢圓方程； (2)當(dāng)直線l的傾斜角為45時，求線段CD的長； (3)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2，求|S1－S2|的最大值． 解]　(1)因為F(－1,0)為橢圓的焦點，所以c＝1，又b2＝3， 所以a2＝4，所以橢圓方程為＋＝1.3分 (2)因為直線的傾斜角為45，所以直線的斜率為1， 所以直線方程為y＝x＋1，和橢圓方程聯(lián)立得到消掉y，得到7x2＋8x－8＝0，4分 所以Δ＝288，x1＋x2＝－，x1x2＝－，5分 所以|CD|＝|x1－x2|＝＝.6分 (3)當(dāng)直線l斜率不存在時，直線方程為x＝－1， 此時D，C，△ABD，△ABC面積相等，|S1－S2|＝0，7分 當(dāng)直線l斜率存在(顯然k≠0)時，設(shè)直線方程為y＝k(x＋1)(k≠0)． 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)， 和橢圓方程聯(lián)立得到消掉y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，8分 顯然Δ＞0，方程有根，且x1＋x2＝－，x1x2＝，9分 此時|S1－S2|＝2||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)| ＝2|k(x2＋x1)＋2k|＝＝≤＝＝(k＝時等號成立)， 所以|S1－S2|的最大值為.12分 4．(2016開封二模)已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點. 圖154 (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍． 解]　(1)由題意可設(shè)橢圓方程為 ＋＝1(a＞b＞0)， 則＝(其中c2＝a2－b2，c＞0)，且＋＝1，故a＝2，b＝1. 所以橢圓的方程為＋y2＝1.4分 (2)由題意可知，直線l的斜率存在且不為0.故可設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，5分 則Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0， 且x1＋x2＝－，x1x2＝.6分 故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，7分 因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列， 所以＝＝k2，即－＋m2＝0.8分 又m≠0，所以k2＝，即k＝.9分 由于直線OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2，且m2≠1. 設(shè)d為點O到直線l的距離，則d＝，10分 |PQ|＝＝，11分 所以S＝|PQ|d＝＜＝1(m2≠1)， 故△OPQ面積的取值范圍為(0,1).12分