高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理（二） 習題 蘇教版選修2-2

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2.1.1　合情推理(二) 明目標、知重點　1.通過具體實例理解類比推理的意義.2.會用類比推理對具體問題作出判斷． 1．類比推理 (1)類比推理的定義 根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理，簡稱類比法． (2)類比推理的思維過程 →→ 2．合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實、正確的結論、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程．歸納推理和類比推理都是數(shù)學活動中常用的合情推理． [情境導學] 春秋時代魯班受到路邊的齒形草能割破行人的腿的啟發(fā)，發(fā)明了鋸子，他的思維過程為：齒形草能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們在功能上是類似的，因此，它們形狀上也應該類似，“鋸子”應該是齒形的．這就是類比推理． 探究點一　類比推理 閱讀下面的推理，回答后面提出的思考： 1．科學家對火星進行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征： (1)火星也是繞太陽運行、繞軸自轉的行星； (2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)變更； (3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等． 由此科學家猜想：火星上也可能有生命存在． 2．對比圓和球，有類似特征： (1)完美對稱； (2)都是到定點距離等于定長的點的集合； (3)形狀相近． 根據(jù)“圓的圓心到其切線的距離等于半徑”，我們猜想“球的球心到其切面的距離等于半徑”． 思考1　這兩個推理實例在思維方式上有什么共同特點？ 答　兩個實例均是根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理，簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 思考2　猜想正確嗎？ 答　不一定正確． 思考3　類比圓的特征，填寫下表中球的有關特征 圓的概念和性質 球的類似概念和性質 圓的周長 球的表面積 圓的面積 球的體積 圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦 球心與截面圓(不經過球心的截面圓)圓心的連線垂直于截面圓 與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長 與球心距離相等的兩個截面圓面積相等；與球心距離不等的兩個截面圓面積不等，距球心較近的截面圓面積較大 以點P(x0，y0)為圓心，r為半徑的圓的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 以點P(x0，y0，z0)為球心，r為半徑的球的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2 小結　在進行類比推理時要注意對應關系：平面圖形中的“線”對應空間圖形中的“面”；平面圖形中的“面”對應空間圖形中的“體”；平面圖形中的“邊長”對應空間圖形中的“面積”；平面圖形中的“面積”對應空間圖形中的“體積”． 探究點二　平面圖形與立體圖形間的類比 例1　在平面幾何里，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空間(如圖)，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的結論是_________________________． 答案　設三棱錐A—BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則S＋S＋S＝S 解析　類比條件： 兩邊AB、AC互相垂直側面ABC、ACD、ADB互相垂直． 結論：AB2＋AC2＝BC2S＋S＋S＝S. 反思與感悟　類比推理的一般步驟：①找出兩類對象之間可以確切表述的相似性(或一致性)；②用一類對象的性質去推測另一類對象的性質，從而得出一個明確的命題(猜想)． 跟蹤訓練 1　(1)如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝bcos C＋ccos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質的猜想． (2)已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面體A－BCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，說明猜想是否正確并給出理由． 解　(1)如圖所示，在四面體P－ABC中，設S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PB C，面PCA與底面ABC所成二面角的大?。? 我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應為：S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ. (2) 類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則＝＋＋.猜想正確． 如圖所示，連結BE，并延長交CD于F，連結AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋. ∴＝＋＋，故猜想正確． 探究點三　定義、定理或性質中的類比 例2　在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，證明等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，并類比上述性質相應的在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式__________成立． 答案　b1 b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*) 解析　在等差數(shù)列{an}中，由a10＝0， 得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， ∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0， 即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1， 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1， ∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n. 若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n. 相應地，類比此性質在等比數(shù)列{bn}中， 可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n，(n≤17，n∈N*)． 反思與感悟　(1)運用類比思想找出項與項的聯(lián)系，應用等差、等比數(shù)列的性質解題是解決該題的關鍵． (2)等差數(shù)列和等比數(shù)列有非常類似的運算和性質，一般情況下等差數(shù)列中的和(或差)對應著等比數(shù)列中的積(或商)． 跟蹤訓練2　設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結論有：設等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，________，________， 成等比數(shù)列． 答案　　 1．把下面在平面內成立的結論類比地推廣到空間，結論仍然正確的是________．(填序號) ①如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則也與另一條相交； ②如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則也與另一條垂直； ③如果兩條直線同時與第三條直線相交，則這兩條直線相交或平行； ④如果兩條直線同時與第三條直線垂直，則這兩條直線平行． 答案?、? 解析　推廣到空間以后，對于①③④均有可能異面． 2．在平面上，若兩個正三角形的邊長比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1∶2，則它們的體積比為________． 答案　1∶8 解析　∵兩個正三角形是相似的三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個正四面體是相似的幾何體，體積之比為相似比的立方，∴它們的體積比為1∶8. 3．若數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，則當dn＝時，數(shù)列{dn}也是等差數(shù)列，類比上述性質，若數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當bn＝________時，數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列． 答案　 4．對命題“正三角形的內切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體的內切球切于四面各正三角形的________． 答案　中心 [呈重點、現(xiàn)規(guī)律] 1．合情推理主要包括歸納推理和類比推理．數(shù)學研究中，在得到一個新結論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結論，在證明一個數(shù)學結論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向． 2．合情推理的過程概括為 ―→―→―→ 一、基礎過關 1．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝，可推知扇形面積公式S扇＝________. 答案　lr 2．下列推理正確的是________．(填序號) ①把a(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logay； ②把a(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sin x＋sin y； ③把a(b＋c)與ax＋y類比，則有ax＋y＝ax＋ay； ④把a(b＋c)與a(b＋c)類比，則有a(b＋c)＝ab＋ac. 答案?、? 3．下面幾種推理是合情推理的是________．(填序號) ①由圓的性質類比出球的有關性質； ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180，歸納出所有三角形的內角和都是180； ③張軍某次考試成績是100分，由此推出全班同學的成績都是100分； ④三角形內角和是180，四邊形內角和是360，五邊形內角和是540，由此得凸多邊形內角和是(n－2)180. 答案?、佗冖? 解析?、偈穷惐韧评?；②是歸納推理；④是歸納推理．所以①、②、④是合情推理． 4．把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補成一個矩形，則矩形的對角線長即為直角三角形外接圓直徑，以此可求得外接圓半徑r＝(其中a，b為直角三角形兩直角邊長)．類比此方法可得三條側棱長分別為a，b，c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R＝________. 答案　 解析　由平面類比到空間，把矩形類比為長方體，從而得出外接球半徑. 5．設△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r＝，類比這個結論可知：四面體S—ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內切球半徑為R，四面體S—ABC的體積為V，則R＝________. 答案　 解析　設四面體的內切球的球心為O， 則球心O到四個面的距離都是R， 所以四面體的體積等于以O為頂點， 分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和． 則四面體的體積為V四面體S—ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R， ∴R＝. 6．在等差數(shù)列{an}中，若an>0，公差d>0，則有a4a6>a3a7，類比上述性質，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，q>1，則下列有關b4，b5，b7，b8的不等關系正確的是________． ①b4＋b8>b5＋b7； ②b5＋b7>b4＋b8； ③b4＋b7>b5＋b8； ④b4＋b5>b7＋b8. 答案?、? 7．在△ABC中，若∠C＝90，則cos2A＋cos2B＝1，用類比的方法，猜想三棱錐的類似性質，并證明你的猜想． 解　由平面類比到空間，有如下猜想：“在三棱錐P－ABC中，三個側面PAB，PBC，PCA兩兩垂直，且與底面所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”． 證明：設P在平面ABC的射影為O，延長CO交AB于M，記PO＝h， 由PC⊥PA，PC⊥PB，得PC⊥面PAB，從而PC⊥PM，又∠PMC＝α， cos α＝sin∠PCO＝，cos β＝，cos γ＝. ∵VP－ABC＝PAPBPC＝(PAPBcos α＋ PBPCcos β＋PCPA cos γ)h， ∴(＋＋)h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 二、能力提升 8．類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推知正四面體的下列性質中，你認為比較恰當?shù)氖莀_______．(填序號) ①各棱長相等，同一頂點上的兩條棱的夾角都相等； ②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等； ③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等． 答案?、佗冖? 解析　因為正三角形的邊和角可以與正四面體的面(或棱)和相鄰的兩面所成的二面角(或共頂點的兩棱夾角)類比，所以①②③都恰當． 9．類比平面直角坐標系中△ABC的重心G(，)的坐標公式(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3))，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z4)為頂點的四面體A—BCD的重心G(，，)的公式為________________． 答案　 10．公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}中，Sn是{an}的前n項和，則數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列，且公差為100d，類比上述結論，相應地在公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項積，則有__________________________． 答案　，，也成等比數(shù)列，且公比為q100 11．如圖(1)，在平面內有面積關系＝，寫出圖(2)中類似的體積關系，并證明你的結論． 解　類比＝， 有＝ 證明：如圖：設C′，C到平面PAB的距離分別為h′，h. 則＝，故＝ ＝＝. 12. 如圖，在長方形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α、β，則cos2α＋cos2β＝1，則在立體幾何中，給出類比猜想． 解　在長方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝()2＋()2＝＝＝1. 于是類比到長方體中，猜想其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為α、β、γ，如圖． 則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 證明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝()2＋()2＋()2＝＝＝1. 三、探究與拓展 13.橢圓C：＋＝1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點，點P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：為定值b2－a2. (2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線－＝1(a>0，b>0)與x軸交于A、B兩點，點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：為定值，請寫出這個定值(不要求寫出解題過程)． (1)證明　設點P(x0，y0)，(x0≠a)． 依題意，得A(－a,0)，B(a,0)， 所以直線PA的方程為y＝(x＋a)， 令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－. 所以yMyN＝. 又點P(x0，y0)在橢圓上，所以＋＝1， 因此y＝(a2－x)． 所以yMyN＝＝b2. 因為＝{a，yN}，＝(－a，yM)， 所以＝－a2＋yMyN＝b2－a2. (2)解　定值為－(a2＋b2)．