高三數學二輪復習 第1部分 專題6 突破點16 函數的圖象和性質教師用書 理

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專題六　函數與導數 　　　　　　　　建知識網絡　明內在聯系　　 　 高考點撥]　函數與導數專題是歷年高考的“常青樹”，在高考中常以“兩小一大”的形式呈現，其中兩小題中的一小題難度偏低，另一小題與一大題常在選擇題與解答題的壓軸題的位置呈現，命題角度多樣，形式多變，能充分體現學以致用的考查目的，深受命題人的喜愛．結合典型考題的研究，本專題將從“函數的圖象與性質”“函數與方程”“導數的應用”三大方面著手分析，引領考生高效備考． 突破點16　函數的圖象和性質 提煉1 函數的奇偶性 (1)若函數y＝f(x)為奇(偶)函數，則f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))． (2)奇函數y＝f(x)若在x＝0處有意義，則必有f(0)＝0. (3)判斷函數的奇偶性需注意：一是判斷定義域是否關于原點對稱；二是若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡；三是判斷f(－x)＝－f(x)，還是f(－x)＝f(x)，有時需用其等價形式f(－x)f(x)＝0來判斷． (4)奇函數的圖象關于原點成中心對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱． (5)奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反. 提煉2 函數的周期性 (1)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(x－a)(a≠0)，則函數y＝f(x)是以2|a|為周期的周期性函數． (2)若奇函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，則函數y＝f(x)是以4|a|為周期的周期性函數． (3)若偶函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，則函數y＝f(x)是以2|a|為周期的周期性函數． (4)若f(a＋x)＝－f(x)(a≠0)，則函數y＝f(x)是以2|a|為周期的周期性函數． (5)若y＝f(x)的圖象關于直線x＝a，x＝b(a≠b)對稱，則函數y＝f(x)是以2|b－a|為周期的周期性函數. 提煉3 函數的圖象 (1)由解析式確定函數圖象．此類問題往往需要化簡函數解析式，利用函數的性質(單調性、奇偶性、過定點等)判斷，常用排除法． (2)已知函數圖象確定相關函數的圖象．此類問題主要考查函數圖象的變換(如平移變換、對稱變換等)，要注意函數y＝f(x)與y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|等的相互關系． (3)借助動點探究函數圖象．解決此類問題可以根據已知條件求出函數解析式后再判斷函數的圖象；也可采用“以靜觀動”，即將動點處于某些特殊的位置處考察圖象的變化特征，從而作出選擇． 回訪1　函數的奇偶性與周期性 1．(2014全國卷Ⅰ)設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數 B．|f(x)|g(x)是奇函數 C．f(x)|g(x)|是奇函數 D．|f(x)g(x)|是奇函數 C　A：令h(x)＝f(x)g(x)，則h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(huán)(x)， ∴h(x)是奇函數，A錯． B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)， ∴h(x)是偶函數，B錯． C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數，C正確． D：令h(x)＝|f(x)g(x)|，則h(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)， ∴h(x)是偶函數，D錯．] 2．(2014全國卷Ⅱ)已知偶函數f(x)在0，＋∞)單調遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________． (－1,3)　∵f(x)是偶函數，∴圖象關于y軸對稱．又f(2)＝0，且f(x)在0，＋∞)單調遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示， 由f(x－1)>0，得－20，排除選項B.故選A. (2)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函數g(x)圖象如圖． 由得 ∴結合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1＜x≤1}．] 熱點題型2　函數性質的綜合應用 題型分析：函數性質的綜合應用是高考的熱點內容，解決此類問題時，性質的判斷是關鍵，應用是難點. 　(1)(2015全國卷Ⅱ)設函數f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C. D.∪ (2)設奇函數y＝f(x)(x∈R)，滿足對任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈時，f(x)＝－x2，則f(3)＋f的值等于________． (1)A　(2)－　(1)法一：∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)， ∴函數f(x)為偶函數． ∵當x≥0時，f(x)＝ln(1＋x)－， 在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)遞增，y＝－也遞增， 根據單調性的性質知，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增． 綜上可知：f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)?|x|>|2x－1|?x2>(2x－1)2?3x2－4x＋1<0?0， ∴x＝0不滿足f(x)>f(2x－1)，故C錯誤． 令x＝2，此時f(x)＝f(2)＝ln 3－，f(2x－1)＝f(3)＝ln 4－.∵f(2)－f(3)＝ln 3－ln 4－， 其中l(wèi)n 3f(2x－1)， 故B，D錯誤．故選A. (2)根據對任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，進而得到 f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－－f(t)]＝f(t)，得函數y＝f(x)的一個周期為2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f＝f＝－.所以f(3)＋f＝0＋＝－.] 函數性質的綜合應用類型 1．函數單調性與奇偶性的綜合．注意奇、偶函數圖象的對稱性，以及奇、偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上單調性的關系． 2．周期性與奇偶性的綜合．此類問題多為求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解． 3．單調性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解． 變式訓練2]　(1)(2016長春二模)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且在0，＋∞)上是增函數，則不等式＜f(1)的解集為(　　) 【導學號：85952059】 A. B．(0，e) C. D．(e，＋∞) (2)(2016江西師大附中二模)已知函數y＝f(x)是定義在R上的奇函數，?x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)成立，當x∈(0,1)且x1≠x2時，有＜0.給出下列命題： ①f(1)＝0； ②f(x)在－2,2]上有5個零點； ③點(2 014,0)是函數y＝f(x)圖象的一個對稱中心； ④直線x＝2 014是函數y＝f(x)圖象的一條對稱軸． 則正確命題的序號是________． (1)C　(2)①②③　(1)∵f(x)為R上的奇函數，則f＝f(－ln x)＝－f(ln x)，∴＝＝|f(ln x)|，即原不等式可化為|f(ln x)|＜f(1)，∴－f(1)＜f(ln x)＜f(1)，即f(－1)＜f(ln x)＜f(1)．又由已知可得f(x)在R上單調遞增，∴－1＜ln x＜1，解得＜x＜e，故選C. (2)令f(x－1)＝f(x＋1)中x＝0， 得f(－1)＝f(1)． ∵f(－1)＝－f(1)， ∴2f(1)＝0， ∴f(1)＝0，故①正確； 由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x)＝f(x＋2)， ∴f(x)是周期為2的周期函數， ∴f(2)＝f(0)＝0， 又當x∈(0,1)且x1≠x2時，有＜0， ∴函數在區(qū)間(0,1)上單調遞減，可作函數的簡圖如圖： 由圖知②③正確，④不正確，∴正確命題的序號為①②③.] 9