中考數(shù)學(xué) 第一部分 考點(diǎn)研究 第三章 函數(shù) 第四節(jié) 二次函數(shù)試題

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第三章 函 數(shù) 第四講　二次函數(shù) 玩轉(zhuǎn)廣東省卷6年中考真題（2011~2016） 命題點(diǎn)1　二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)(省卷6年5考) 1. (2014省卷10，3分)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致圖象如圖所示，關(guān)于該二次函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A. 函數(shù)有最小值 B. 對(duì)稱軸是直線x＝ C. 當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而減小 D. 當(dāng)－1＜x＜2時(shí)，y＞0 第1題圖 【拓展猜押】已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋a，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A. 當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小 B. 若圖象與x軸有交點(diǎn)，則a≤4 C. 當(dāng)a＝3時(shí)，不等式x2－4x＋a＞0的解集是1＜x＜3 D. 若將圖象向上平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后過(guò)點(diǎn)(1， －2)，則a＝－3 命題點(diǎn)3　二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系(省卷僅2011年考查) 2. (2011省卷15，6分)已知拋物線y＝x2＋x＋c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)． (1)求c的取值范圍； (2)試確定直線y＝cx＋1經(jīng)過(guò)的象限，并說(shuō)明理由． 命題點(diǎn)4　二次函數(shù)綜合題(省卷6年3考) 3. (2013省卷23，9分)已知二次函數(shù)y＝x2－2mx＋m2－1. (1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)時(shí)，求二次函數(shù)的解析式； (2)如圖，當(dāng)m＝2時(shí)，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)在(2)的條件下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC＋PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 第3題圖 4. (2012省卷22，9分)如圖，拋物線y＝x2－x－9與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC、AC. (1)求AB和OC的長(zhǎng)； (2)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合)，過(guò)點(diǎn)E作直線l平行BC，交AC于點(diǎn)D.設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△ADE的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍； (3)在(2)的條件下，連接CE，求△CDE面積的最大值；此時(shí)，求出以點(diǎn)E為圓心，與BC相切的圓的面積(結(jié)果保留π)． 第4題圖 5. (2011省卷22，9分)如圖，拋物線y＝－x2＋x＋1與y軸交于A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C(3，0)． (1)求直線AB的函數(shù)關(guān)系式； (2)動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)O出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長(zhǎng)度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍； (3)設(shè)在(2)的條件下(不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合的情況)，連接CM、BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問(wèn)對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCMN是否為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由． 第5題圖 【答案】 1．D　【解析】A.由拋物線的開(kāi)口向上，可知a＞0，函數(shù)有最小值，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B.由圖象可知，對(duì)稱軸為x＝，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C.因?yàn)閍＞0，所以，當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而減小，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D.由圖象可知，當(dāng)－1＜x＜2時(shí)，y＜0，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意． 【拓展猜押】　C　【解析】∵y＝x2－4x＋a，∴對(duì)稱軸x＝2，畫二次函數(shù)的草圖如解圖，A.當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，所以A選項(xiàng)正確；B.∵b2－4ac＝16－4a≥0，即a≤4時(shí)，二次函數(shù)和x軸有交點(diǎn)，所以B選項(xiàng)正確；C.當(dāng)a＝3時(shí)，不等式x2－4x＋a＞0的解集是x＜1或x＞3，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.y＝x2－4x＋a配方后是y＝(x－2)2＋a－4，向上平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后，函數(shù)解析式是y＝(x＋1)2＋a－3，把(1，－2)代入函數(shù)解析式，易求a＝－3，所以D選項(xiàng)正確，故選C. 拓展猜押題解圖 2．解：(1)∵拋物線y＝x2＋x＋c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)， ∴方程x2＋x＋c＝0無(wú)解，…………………………………(2分) 即b2－4ac＝1－2c＜0，解得c＞；…………………………(3分) (2)直線y＝cx＋1經(jīng)過(guò)一、二、三象限，理由如下： ∵c＞＞0，則一次函數(shù)y＝cx＋1中c＞0，b＝1＞0， ∴直線y＝cx＋1經(jīng)過(guò)一、二、三象限．……………………(6分) 3．解：(1) 把點(diǎn)O(0，0)代入解析式y(tǒng)＝x2－2mx＋m2－1， 得0＝m2－1，解得m＝1， ∴二次函數(shù)解析式為y＝x2＋2x或y＝x2－2x；……………(3分) (2)當(dāng)m＝2時(shí)，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，－1)， 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)；………………………………………(6分) (3)存在．………………………………………………………(7分) 如解圖，連接CD，交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求． 設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將點(diǎn)C(0，3)、D(2， －1)代入，得 ，解得， ∴直線CD的解析式為y＝－2x＋3. 當(dāng)y＝0時(shí)，－2x＋3＝0，x＝， ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)．………………………………………(9分) 第3題解圖 4．解：(1)令y＝0，則有x2－x－9＝0， 解得x1＝－3，x2＝6， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0)， ∴AB＝9，………………………………………………………(1分) ∵拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，－9)， ∴OC＝9；……………………………………………………(2分) (2)設(shè)△ADE的邊AE上的高為h， ∵直線l∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴＝，即＝， ∴h＝m，………………………………………………………(4分) ∴S＝m2(0＜m＜9)；…………………………………………(5分) (3)∵＝－＝m－m2 ＝－(m－)2＋(0＜m＜9)， ∴當(dāng)m＝時(shí)，△CDE的面積最大，最大面積是，………(7分) ∴BE＝AB－AE＝， ∴＝9＝， ∵BC＝＝＝3， ∴點(diǎn)E到BC的距離為23＝， ∴以點(diǎn)E為圓心，與BC相切的圓的面積為π()2＝π. …………………………………………………………………(9分) 5．解：(1)設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y＝ax＋b(a≠0)， 對(duì)于拋物線y＝－x2＋x＋1， 令x＝0，得y＝1，即有A(0，1)， 將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線AB的函數(shù)關(guān)系式，得b＝1， 令x＝3，得y＝，即有B(3，)， 將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線AB的函數(shù)關(guān)系式，得a＝， ∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y＝x＋1；………………………(3分) (2)顯然OP＝t，即P(t，0)， 將x＝t代入拋物線解析式可得y＝－t2＋t＋1， 即N(t，－t2＋t＋1)， 將x＝t代入直線AB的函數(shù)關(guān)系式可得y＝t＋1， 即M(t，t＋1)， ∴s＝MN＝－t2＋t＋1－(t＋1)， ∴s＝－t2＋t(0≤t≤3)；……………………………………(6分) (3)顯然NM∥BC， ∴要使得四邊形BCMN為平行四邊形，只要MN＝BC， 即s＝－t2＋t＝， 解得t＝1或t＝2. ①當(dāng)t＝1時(shí)，M(1，)， ∴MP＝，CP＝OC－OP＝2. 在Rt△MPC中，CM＝＝＝BC， ∴四邊形BCMN為菱形； ②當(dāng)t＝2時(shí)，M(2，2)， ∴MP＝2，CP＝1. 在Rt△MPC中，CM＝＝≠BC. ∴四邊形BCMN不是菱形． 綜上，當(dāng)t＝1或t＝2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形；當(dāng)t＝1 時(shí)，平行四邊形BCMN為菱形．……………………………(9分)